资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩16页未读，
继续阅读
第二章 重点突破训练：相交线平行线类型题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）
展开
这是一份第二章 重点突破训练：相交线平行线类型题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版），文件包含第二章重点突破训练相交线平行线类型题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练解析版北师大版docx、第二章重点突破训练相交线平行线类型题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练原卷版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
第二章 重点突破训练：相交线平行线类型题举例
典例体系（本专题62题51页）
考点1：相交线所成的角
典例：（2021·江苏扬州市·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF=38°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度数．
方法或规律点拨
本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．
巩固练习
1．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，直线m和n相交于点O，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
2．（2021·湖北随州市·七年级期末）如图，直线，交于点，射线平分，如果，那么等于（ ）
A．38° B．37° C．36° D．52°
3．（2021·广西桂林市·七年级期末）按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，AO平分，且，则的度数是________．
5．（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，射线OE在内部，OA平分．
（1）当时，写出图中所有与互补的角．
（2）当时，求的度数．
6．（2021·浙江湖州市·七年级期末）如图，已知直线与相交于点为的角平分线．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
7．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，已知直线，相交于点，平分，平分．若，
求：（1）的度数；
（2）的度数．
7．（2021·重庆长寿区·七年级期末）如图，直线、相交于点，平分，平分，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
8．（2021·四川宜宾市·七年级期末）如图，点是直线上的一点，，平分，于点．
（1）求的度数；
（2）试说明平分．
9．（2021·湖北鄂州市·七年级期末）如图，点在直线上，与互补，平分．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若，求的度数．
10．（2021·江苏泰州市·七年级期末）如图，已知直线，相交于点，与互余．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
11．（2021·广东东莞市·七年级期末）如图为直线上一点，，平分，．
（1）求的度数；
（2）试判断是否平分，并说明理由；
（3）的余角是 ．
考点2：在生活中应用平行线性质和判定
典例：（2020·江苏泰兴市实验初级中学七年级月考）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
方法或规律点拨
本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论．
巩固练习
1．（2021·山西朔州市·七年级期末）一艘船停留在海面上，如果从船上看灯塔位于北偏东30°，那么从灯塔看船上位于灯塔的（ ）
A．北偏东30° B．北偏东60° C．南偏西30° D．南偏西60°
2．（2021·甘肃白银市·七年级期末）一条船停留在海面上，从船上看灯塔位于北偏东60°方向，那么从灯塔看船位于灯塔的 方向（ ）
A．南偏西60° B．西偏南60° C．南偏西30° D．北偏西30°
3．（2020·重庆璧山区·八年级期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（ ）
A．102° B．112° C．120° D．128°
4．（2019·山西九年级专题练习）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·河南省实验中学）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝160°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
6．（2019·山西七年级月考）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·陕西西安市·八年级期末）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
8．（2021·山东潍坊市·八年级期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质斜射进入另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，则的度数是_______．
9．（2021·全国七年级）如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东，若同时开工，则在乙地公路按南偏西___度的走向施工，才能使公路准确接通．
10．（2018·太原师范学院附属中学七年级月考）如图，要修建一条公路，从村沿北偏东75°方向到村，从村沿北偏西25°方向到村．若要保持公路与的方向一致，则的度数为______．
【答案】80°
11．（2014·陕西九年级专题练习）如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P点射出的一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是___________
12．（2021·全国七年级）如图，在、两处之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．
（1）地修公路的走向应该是 ；
（2）若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，试求到公路的距离？
13．（2020·山东临沂市·七年级期末）如图，点是内部一点，交于点．请你画出射线，并且，或的反向延长线交于点．
（1）补全图形；
（2）判断与的数量关系，并证明．
14．（2020·银川九中英才学校七年级期中）如图是种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数．
考点3：平行线中的折点问题
典例：（2020·宁波市惠贞书院七年级期中）如图，，设，那么，，的关系式______．
方法或规律点拨
本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；
1．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·四川攀枝花市·七年级期末）如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．50°
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图：，，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·重庆市万州第二高级中学九年级期中）如图，直线为直角，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国七年级）如图，已知，，，则____________
6．（2020·上海市民办立达中学七年级月考）如图，AB//CD，则图中_______________°；
7．（2021·全国九年级）如图，AEFC是折线，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所满足的关系式为_______________；
考点4：平行线性质与判定的综合问题
典例：（2020·重庆沙坪坝区·七年级期末）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．
（1）若点F是线段AE上一点，且BF⊥AE，求∠P的度数；
（2）若点F是直线AE上一动点（点F与点A不重合），请直接写出∠P与∠AFB之间的数量关系．
方法或规律点拨
此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，以及角平分线的性质，在相交线问题中通常作平行线利用平行线的性质解答，将角度转化由此求出答案．解题中运用分类思想解答问题．
巩固练习
1．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）已知：直线分别与直线，交于点，．平分，平分，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为．
2．（2020·福建福州市·七年级期末）已知两条直线l1，l2，l1∥l2，点A，B在直线l1上，点A在点B的左边，点C，D在直线l2上，且满足．
（1）如图①，求证：AD∥BC；
（2）点M，N在线段CD上，点M在点N的左边且满足，且AN平分∠CAD；
（Ⅰ）如图②，当时，求∠DAM的度数；
（Ⅱ）如图③，当时，求∠ACD的度数．
3．（2021·全国七年级）（探究）如图①，，点E在直线，之间．求证：．
（应用）如图②，，点E在直线，之间．若，，，平分，平分，则的大小为_________．
4．（2020·山东省青岛第五十九中学八年级期末）已知，，，试解答下列问题：
（1）如图①，则__________，则与的位置关系为__________
（2）如图②，若点E、F在线段上，且始终保持，．则的度数等于__________；
（3）在第（2）题的条件下，若平行移动到图③所示
①在移动的过程中，与的数量关系是否发生改变，若不改变，求出它们之间的数量关系；若改变，请说明理由．
②当时，求的度数．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知：和同一平面内的点．
（1）如图1，点在边上，过作交于，交于．根据题意，在图1中补全图形，请写出与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点在的延长线上，，．请判断与的位置关系，并说明理由．
（3）如图3，点是外部的一个动点．过作交直线于，交直线于，直接写出与的数量关系，并在图3中补全图形．
6．（2020·惠州市江南学校八年级期中）已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；
（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；
7．（2019·河北保定市·八年级月考）如图1所示的是北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为，，，，，，，并顺次首尾连接，若恰好经过点，且，．
（1）求的度数．
（2）连接，当与满足怎样的数量关系时，，并说明理由．
8．（2018·上海七年级零模）已知：AB∥DE．
（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，
例如（i）过点C作AB的平行线；
（ii）过点C作DE的平行线；
（iii）联结AD；
（iv）延长AC、DE相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．
（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2++∠D= 度，并说明理由．
（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2++…+∠Cn+1+∠D= 度．（不必说明理由）
9．（2019·河北唐山市·七年级期中）根据所给图形及已知条件，回答下列问题：
（1）①如图1所示，已知直线，，那么根据_________可得________；
②如图2，在①的条件下，如果平分，则________；
③如图3，在①、②的条件下，如果，则________．
（2）尝试解决下列问题：如图4，已知，，是的平分线，，求的度数．
10．（2020·洛阳市第二外国语学校七年级期中）如图1，D是△ABC延长线上的一点，CEAB．
（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；
（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．
（3）如图3，AHBD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．
考点5：与平行线、交线有关的作图问题
典例：（2021·江苏泰州市·七年级期末）如图是由相同边长的小正方形组成的网格图形，小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点都在格点上，利用网格画图．（注：所画格点、线条用黑色水笔描黑）
（1）过点画的垂线，并标出垂线所过格点；
（2）过点画的平行线，并标出平行线所过格点；
（3）画出向右平移8个单位长度后的位置；
（4）的面积为______．
方法或规律点拨
此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握相关性质以及结合网格画出对应点是解题关键．
巩固练习
1．（2021·江苏南京市·七年级期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．
（1）过点A画线段BC的垂线，垂足为E；
（2）过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点F；
（3）线段BE的长度是点 到直线 的距离；
（4）线段AE、BF、AF的大小关系是 ．（用“＜”连接）
2．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，已知同一平面内四个点，，，．
（1）同时过，，两点能作几条直线？作图并写出理由；
（2）在直线上画出符合下列条件的点和，并说明理由．
①使线段长度最小；
②使最小．
3．（2021·江苏南京市·七年级期末）在如图，所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
（1）经过点画的平行线．
（2）过点，画的垂线．
（3）过点，画的垂线．
（4）请直接写出、的位置关系．
4．（2020·北京七年级期末）如图，已知直线AB及直线AB外一点P，按下列要求完成画图和解答：（1）连接PA，PB，用量角器画出∠APB的平分线PC，交AB于点C；
（2）过点P作PD⊥AB于点D；
（3）用刻度尺取AB中点E，连接PE；
（4）根据图形回答：点P到直线AB的距离是线段 的长度．
5．（2020·莆田擢英中学七年级月考）如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只借助网格，需要写出结论）．
（1）过点B画出AC的平行线；
（2）画出三角形ABC向右平移5格，再向上平移2格后的△DEF；
（3）若每一个网格的单位长度为a，求三角形ABC的面积．
6．（2021·河南新乡市·七年级期末）画图并度量，已知点A是直线l上一点，点M、N是直线l外两点，画图：
（1）画线段，并用刻度尺找出它的中点B；
（2）画直线，交直线l于点C，并用量角器画出的平分线；
（3）画出点M到直线l的垂线段，并度量点M到直线l的距离为__．（精确到）
7．（2020·北京延庆区·七年级期中）已知：四点A，B，C，D的位置如图所示，
（1）连接AD；
（2）画射线AB与线段DC的延长线交于点E；
（3）过点B作BF⊥CD于点F．
8．（2020·巨野县育才实验学校七年级月考）如图，在方格纸中，直线m与n相交于点C，
（1）请过点A画直线AB，使AB⊥m，垂足为点B；
（2）请过点A画直线AD，使AD∥m；交直线n于点D．
9．（2020·黑龙江鸡西市·七年级期末）如图，已知点P、Q分别在∠AOB的边OA、OB上，按下列要求画图：
（1）画直线PQ；
（2）过点P画垂直于射线OB的射线PC，垂足为点C；
（3）过点Q画射线OA的垂线段QD，垂足为点D．
10．（2015·浙江杭州市·七年级单元测试）读语句作图：
(1)作直线AB；
(2)过点P作直线AB的垂线，垂足M；
(3)连结PA；
(4)画射线PB．
根据所作图填空：
①点A与点P的距离是图中线段 的长度．
②点P到直线AB的距离是 的长度．
③若Q为直线AB上任一点，则PQ与PM的关系是 ．其数学原理是 ．
11．（2019·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）如图，在所给网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）△ABC经过平移后得到△A1B1C1，请描述这个平移过程；
（2）过点C画AB的平行线CD；
（3）求出△ABC的面积．
12．（2020·河北秦皇岛市·）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上.
（1）画出△ABC向左平移3格，再向上平移2格所得的△A1B1C1；
（2）画出△ABC的中线CD和高AH；
（3）求△A1B1C1的面积.
13．（2020·江苏宿迁市·七年级期中）如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移格，再向上平移格．
（1）请在图中画出平移后的；
（2）画出的边上的中线；
（3）图中与的关系是_______；
（4）在平移过程中，线段所扫过的面积为_______．
第二章 重点突破训练：相交线平行线类型题举例
典例体系（本专题62题51页）
考点1：相交线所成的角
典例：（2021·江苏扬州市·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF=38°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度数．
方法或规律点拨
本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．
巩固练习
1．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，直线m和n相交于点O，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
2．（2021·湖北随州市·七年级期末）如图，直线，交于点，射线平分，如果，那么等于（ ）
A．38° B．37° C．36° D．52°
3．（2021·广西桂林市·七年级期末）按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，AO平分，且，则的度数是________．
5．（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，射线OE在内部，OA平分．
（1）当时，写出图中所有与互补的角．
（2）当时，求的度数．
6．（2021·浙江湖州市·七年级期末）如图，已知直线与相交于点为的角平分线．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
7．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，已知直线，相交于点，平分，平分．若，
求：（1）的度数；
（2）的度数．
7．（2021·重庆长寿区·七年级期末）如图，直线、相交于点，平分，平分，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
8．（2021·四川宜宾市·七年级期末）如图，点是直线上的一点，，平分，于点．
（1）求的度数；
（2）试说明平分．
9．（2021·湖北鄂州市·七年级期末）如图，点在直线上，与互补，平分．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若，求的度数．
10．（2021·江苏泰州市·七年级期末）如图，已知直线，相交于点，与互余．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
11．（2021·广东东莞市·七年级期末）如图为直线上一点，，平分，．
（1）求的度数；
（2）试判断是否平分，并说明理由；
（3）的余角是 ．
考点2：在生活中应用平行线性质和判定
典例：（2020·江苏泰兴市实验初级中学七年级月考）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
方法或规律点拨
本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论．
巩固练习
1．（2021·山西朔州市·七年级期末）一艘船停留在海面上，如果从船上看灯塔位于北偏东30°，那么从灯塔看船上位于灯塔的（ ）
A．北偏东30° B．北偏东60° C．南偏西30° D．南偏西60°
2．（2021·甘肃白银市·七年级期末）一条船停留在海面上，从船上看灯塔位于北偏东60°方向，那么从灯塔看船位于灯塔的 方向（ ）
A．南偏西60° B．西偏南60° C．南偏西30° D．北偏西30°
3．（2020·重庆璧山区·八年级期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（ ）
A．102° B．112° C．120° D．128°
4．（2019·山西九年级专题练习）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·河南省实验中学）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝160°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
6．（2019·山西七年级月考）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·陕西西安市·八年级期末）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
8．（2021·山东潍坊市·八年级期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质斜射进入另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，则的度数是_______．
9．（2021·全国七年级）如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东，若同时开工，则在乙地公路按南偏西___度的走向施工，才能使公路准确接通．
10．（2018·太原师范学院附属中学七年级月考）如图，要修建一条公路，从村沿北偏东75°方向到村，从村沿北偏西25°方向到村．若要保持公路与的方向一致，则的度数为______．
【答案】80°
11．（2014·陕西九年级专题练习）如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P点射出的一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是___________
12．（2021·全国七年级）如图，在、两处之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．
（1）地修公路的走向应该是 ；
（2）若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，试求到公路的距离？
13．（2020·山东临沂市·七年级期末）如图，点是内部一点，交于点．请你画出射线，并且，或的反向延长线交于点．
（1）补全图形；
（2）判断与的数量关系，并证明．
14．（2020·银川九中英才学校七年级期中）如图是种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数．
考点3：平行线中的折点问题
典例：（2020·宁波市惠贞书院七年级期中）如图，，设，那么，，的关系式______．
方法或规律点拨
本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；
1．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·四川攀枝花市·七年级期末）如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．50°
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图：，，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·重庆市万州第二高级中学九年级期中）如图，直线为直角，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国七年级）如图，已知，，，则____________
6．（2020·上海市民办立达中学七年级月考）如图，AB//CD，则图中_______________°；
7．（2021·全国九年级）如图，AEFC是折线，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所满足的关系式为_______________；
考点4：平行线性质与判定的综合问题
典例：（2020·重庆沙坪坝区·七年级期末）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．
（1）若点F是线段AE上一点，且BF⊥AE，求∠P的度数；
（2）若点F是直线AE上一动点（点F与点A不重合），请直接写出∠P与∠AFB之间的数量关系．
方法或规律点拨
此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，以及角平分线的性质，在相交线问题中通常作平行线利用平行线的性质解答，将角度转化由此求出答案．解题中运用分类思想解答问题．
巩固练习
1．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）已知：直线分别与直线，交于点，．平分，平分，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为．
2．（2020·福建福州市·七年级期末）已知两条直线l1，l2，l1∥l2，点A，B在直线l1上，点A在点B的左边，点C，D在直线l2上，且满足．
（1）如图①，求证：AD∥BC；
（2）点M，N在线段CD上，点M在点N的左边且满足，且AN平分∠CAD；
（Ⅰ）如图②，当时，求∠DAM的度数；
（Ⅱ）如图③，当时，求∠ACD的度数．
3．（2021·全国七年级）（探究）如图①，，点E在直线，之间．求证：．
（应用）如图②，，点E在直线，之间．若，，，平分，平分，则的大小为_________．
4．（2020·山东省青岛第五十九中学八年级期末）已知，，，试解答下列问题：
（1）如图①，则__________，则与的位置关系为__________
（2）如图②，若点E、F在线段上，且始终保持，．则的度数等于__________；
（3）在第（2）题的条件下，若平行移动到图③所示
①在移动的过程中，与的数量关系是否发生改变，若不改变，求出它们之间的数量关系；若改变，请说明理由．
②当时，求的度数．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知：和同一平面内的点．
（1）如图1，点在边上，过作交于，交于．根据题意，在图1中补全图形，请写出与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点在的延长线上，，．请判断与的位置关系，并说明理由．
（3）如图3，点是外部的一个动点．过作交直线于，交直线于，直接写出与的数量关系，并在图3中补全图形．
6．（2020·惠州市江南学校八年级期中）已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；
（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；
7．（2019·河北保定市·八年级月考）如图1所示的是北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为，，，，，，，并顺次首尾连接，若恰好经过点，且，．
（1）求的度数．
（2）连接，当与满足怎样的数量关系时，，并说明理由．
8．（2018·上海七年级零模）已知：AB∥DE．
（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，
例如（i）过点C作AB的平行线；
（ii）过点C作DE的平行线；
（iii）联结AD；
（iv）延长AC、DE相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．
（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2++∠D= 度，并说明理由．
（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2++…+∠Cn+1+∠D= 度．（不必说明理由）
9．（2019·河北唐山市·七年级期中）根据所给图形及已知条件，回答下列问题：
（1）①如图1所示，已知直线，，那么根据_________可得________；
②如图2，在①的条件下，如果平分，则________；
③如图3，在①、②的条件下，如果，则________．
（2）尝试解决下列问题：如图4，已知，，是的平分线，，求的度数．
10．（2020·洛阳市第二外国语学校七年级期中）如图1，D是△ABC延长线上的一点，CEAB．
（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；
（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．
（3）如图3，AHBD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．
考点5：与平行线、交线有关的作图问题
典例：（2021·江苏泰州市·七年级期末）如图是由相同边长的小正方形组成的网格图形，小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点都在格点上，利用网格画图．（注：所画格点、线条用黑色水笔描黑）
（1）过点画的垂线，并标出垂线所过格点；
（2）过点画的平行线，并标出平行线所过格点；
（3）画出向右平移8个单位长度后的位置；
（4）的面积为______．
方法或规律点拨
此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握相关性质以及结合网格画出对应点是解题关键．
巩固练习
1．（2021·江苏南京市·七年级期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．
（1）过点A画线段BC的垂线，垂足为E；
（2）过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点F；
（3）线段BE的长度是点 到直线 的距离；
（4）线段AE、BF、AF的大小关系是 ．（用“＜”连接）
2．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，已知同一平面内四个点，，，．
（1）同时过，，两点能作几条直线？作图并写出理由；
（2）在直线上画出符合下列条件的点和，并说明理由．
①使线段长度最小；
②使最小．
3．（2021·江苏南京市·七年级期末）在如图，所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
（1）经过点画的平行线．
（2）过点，画的垂线．
（3）过点，画的垂线．
（4）请直接写出、的位置关系．
4．（2020·北京七年级期末）如图，已知直线AB及直线AB外一点P，按下列要求完成画图和解答：（1）连接PA，PB，用量角器画出∠APB的平分线PC，交AB于点C；
（2）过点P作PD⊥AB于点D；
（3）用刻度尺取AB中点E，连接PE；
（4）根据图形回答：点P到直线AB的距离是线段 的长度．
5．（2020·莆田擢英中学七年级月考）如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只借助网格，需要写出结论）．
（1）过点B画出AC的平行线；
（2）画出三角形ABC向右平移5格，再向上平移2格后的△DEF；
（3）若每一个网格的单位长度为a，求三角形ABC的面积．
6．（2021·河南新乡市·七年级期末）画图并度量，已知点A是直线l上一点，点M、N是直线l外两点，画图：
（1）画线段，并用刻度尺找出它的中点B；
（2）画直线，交直线l于点C，并用量角器画出的平分线；
（3）画出点M到直线l的垂线段，并度量点M到直线l的距离为__．（精确到）
7．（2020·北京延庆区·七年级期中）已知：四点A，B，C，D的位置如图所示，
（1）连接AD；
（2）画射线AB与线段DC的延长线交于点E；
（3）过点B作BF⊥CD于点F．
8．（2020·巨野县育才实验学校七年级月考）如图，在方格纸中，直线m与n相交于点C，
（1）请过点A画直线AB，使AB⊥m，垂足为点B；
（2）请过点A画直线AD，使AD∥m；交直线n于点D．
9．（2020·黑龙江鸡西市·七年级期末）如图，已知点P、Q分别在∠AOB的边OA、OB上，按下列要求画图：
（1）画直线PQ；
（2）过点P画垂直于射线OB的射线PC，垂足为点C；
（3）过点Q画射线OA的垂线段QD，垂足为点D．
10．（2015·浙江杭州市·七年级单元测试）读语句作图：
(1)作直线AB；
(2)过点P作直线AB的垂线，垂足M；
(3)连结PA；
(4)画射线PB．
根据所作图填空：
①点A与点P的距离是图中线段 的长度．
②点P到直线AB的距离是 的长度．
③若Q为直线AB上任一点，则PQ与PM的关系是 ．其数学原理是 ．
11．（2019·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）如图，在所给网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）△ABC经过平移后得到△A1B1C1，请描述这个平移过程；
（2）过点C画AB的平行线CD；
（3）求出△ABC的面积．
12．（2020·河北秦皇岛市·）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上.
（1）画出△ABC向左平移3格，再向上平移2格所得的△A1B1C1；
（2）画出△ABC的中线CD和高AH；
（3）求△A1B1C1的面积.
13．（2020·江苏宿迁市·七年级期中）如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移格，再向上平移格．
（1）请在图中画出平移后的；
（2）画出的边上的中线；
（3）图中与的关系是_______；
（4）在平移过程中，线段所扫过的面积为_______．
相关试卷
第六章 重点突破训练：概率初步重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）： 这是一份第六章 重点突破训练：概率初步重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版），文件包含第六章重点突破训练概率初步重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练解析版北师大版docx、第六章重点突破训练概率初步重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练原卷版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
第五章 重点突破训练：轴对称图形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）： 这是一份第五章 重点突破训练：轴对称图形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版），文件包含第五章重点突破训练轴对称图形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练解析版北师大版docx、第五章重点突破训练轴对称图形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练原卷版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
第四章 重点突破训练：三角形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）： 这是一份第四章 重点突破训练：三角形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版），文件包含第四章重点突破训练三角形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练解析版北师大版docx、第四章重点突破训练三角形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练原卷版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
