第四章 重点突破训练：三角形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

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第四章 重点突破训练：三角形重点问题举例
典例体系（本专题33题20页）

考点1：与直角三角形有关的角度计算
典例：（2020·四川省初一期中）如图，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，C为AE延长线上的一点，D为AB边上的一点，DC交BE于F，若∠ADC=80°，∠B=30°，求∠C的度数．

【答案】∠C的度数为40°
【解析】
解：在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=30°
∴∠A=90°- ∠B=60°
在△ADC中，∠A=60°，∠ADC=80°
∴∠C=180°- 60° - 80°=40°
答：∠C的度数为40°．
方法或规律点拨
此题考查的是三角形的内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理和直角三角形的两个锐角互余是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·河北省初一月考）如图，在中，是边上的高，，分别是，的角平分线，，，则的度数为（ ）

A．5° B．10° C．15° D．20°
【答案】A
【解析】解：在中，是边上的高，是的角平分线，，
∴∠BAE=，∠ADB=90°
又因为
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠ABC=30°
∴=∠BAE-∠BAD=5°
故选：A．
2．（2019·山西省初一月考）如图，在直角三角形中，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
3．（2020·安徽省初三其他）将两块三角板（分别含 和 角）按照如图所示摆放，使得斜边，且直角顶点重合，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：∵，∠B=45°，∴∠1=∠B=45°.
又∵∠DCB+∠1+∠D=180°，∴∠DCB=180°-45°-60°=75°.
∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-75°=15°.

4．（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A=2∠B=3∠C B．∠A+∠B=2∠C
C．∠A=∠B=30° D．∠A=∠B=∠C
【答案】D
【解析】A、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，则∠A=，所以A选项错误；
B、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C，则∠C=60°，不能确定△ABC为直角三角形，所以B选项错误；
C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=30°，则∠C=120°，所以B选项错误；
D、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=∠C，则∠C=90°，所以D选项正确．
故选D．
5．（2020·洪洞县龙马乡龙马中学初三其他）如图所示，，，，．则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

解：，，



.
故选A.
6．（2020·甘州区思源实验学校初一月考）如图，在平行线l1，l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1，l2上，若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
【解析】如图所示，

∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
又∵∠1＝55°，∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，
∴∠2＝180°﹣55°﹣60°﹣30°＝35°，
故选C．
7．（2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:3,则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】
∵在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，
∴∠C=3x=90°，
∴此三角形是直角三角形．
故选：C．
考点2：与三角形的角平分线（内心）有关角度计算
典例：（2020·江苏省初一期中）如图，在△ABC和△ADE中，边AD与边BC交于点P（不与点B、C重合），点B、E在AD异侧，OA、OC分别是∠PAC和∠PCA的角平分线．
　　　　
（1）当∠APC =60°时，求∠AOC的度数；
（2）当AB⊥AC，AB=AD=4，AC=3，BC=5时，设AP=x，用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC，∠B=20°时，∠AOC的取值范围为α°<∠AOC <β°，直接写出α、β的值．
【答案】（1）∠AOC的度数为120°；（2）PD= ，PD的最大值为；（3）α=100，β=145．
【解析】
解：在△APC中，∠PAC+∠PCA=180°-∠APC=120°
又∵OA、OC分别是∠PAC和∠PCA的角平分线
∴∠OAC+∠OCA=∠PAC+∠PCA=（∠PAC+∠PCA）=60°
∴在△OAC中，∠AOC=180°-60°=120°
（2）∵AD=AB=4，而PD=AD-AP=4-AP=4-x，
∴当AP⊥BC时，AP最小，PD最大，
此时，S△ABC=BC•AP=AB•AC，
即×5x=×4×3，
解得，x=，
∴PD=，PD的最大值为：4-=；
（3）如图，

∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
设∠BAP=y，则∠PAC=90°-y，∠PCA=70°，
∵OA、OC分别是∠PAC和∠PCA的角平分线，
∴∠OAC=∠PAC，∠OCA=∠PCA，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）
=180°-（∠PAC+∠PCA）
=180°-（90°-y+70°）
=y+100°，
∵0°＜y＜90°，
∴100°＜y+100°＜145°，
即100°＜∠AOC＜145°，
∴α=100，β=145．
方法或规律点拨
本题考查了垂线段最短的性质，三角形角平分线的有关推理计算，三角形的内角和定理等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用三角形的内角和定理等
巩固练习
1．（2018·安丘市职工子弟学校初一期中）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（ ）

A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】C
【解析】∠ABC=50°，∠ACB=80°，
BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，
∴∠BPC=115°．
故选C．
2．（2020·四川省初一期中）如图，△ABC中，，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为(　　)．

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵、分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠,∠ABC=2∠，
而∠=∠+∠，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠=，
∴∠=，
同理可得∠=2∠，
即∠A=∠=，
∴∠=，
∴∠A=∠，
∴∠=.
故答案为C.
3．（2019·河北省初一期末）如图，已知在△ABC中，∠A＝155°，第一步：在△ABC的上方确定点A1，使∠A1BA＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACB；第二步：在△A1BC的上方确定点A2，使∠A2BA1＝∠A1BA，∠A2CA1＝∠A1CA；…，照此继续，最多能进行_____步．

【答案】6
【解析】
∵△ABC中，∠A=155°，
∴∠ABC+∠ACB=25°，
又∵∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，
∴∠A1BC+∠A1CB=50°，
∴△A1BC中，∠A1=180°-50°=130°；
∵25°+25°×6=175°＜180°，25°+25°×7=200°＞180°，
∴最多能进行6步，
故答案为： 6．
4．（2020·辽宁省初三一模）如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=__________度．

【答案】90
【解析】
解：∵点P是△ABC的内心，
∴PB平分∠ABC，PA平分∠BAC，PC平分∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°，
故答案是：90°
5．（2020·偃师市实验中学初一月考）如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…依次类推，则∠A4=_______度．

【答案】4
【解析】
解：∵BA1是∠ABC的平分线，CA1是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，
∴（∠A＋∠ABC）＝∠ABC＋∠A1，
∴∠A1＝∠A＝32°，
同理可得：∠A2＝∠A1＝16°，∠A3＝∠A2＝∠A =8°…∠A4＝∠A3=4°
故答案为：4．
6．（2020·江苏省初一期中）如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．

【答案】115°．
【解析】
解；∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠B和∠C的平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，
故答案为：115°．
考点3：以尺规作图为条件的几何问题
典例：（2020·广东省初三其他）如图，已知锐角，．

（1）尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点在边上且，请连接，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）作图如图所示，

（2）证明：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
方法或规律点拨
此题考查了基本作图--角平分线的画法，以及三角形全等的判定及性质．解题关键是掌握基本作图．
巩固练习
1．（2020·广西壮族自治区中考真题）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵在中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，
故选：B．
2．（2020·广东省中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，
而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，
BD=3，
故选B
3．（2020·湖北省中考真题）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
4．（2020·深圳市宝安中学（集团）初二期中）如图,在△ABC 中,∠C=90°,以点B 为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB、BC于点M、N分别以点M、N为圆心,以大于MN的长度为半径画弧两弧相交于点P过点P作线段BD,交AC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,则下列结论①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（ ）

A．①②③ B．① ② ④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，
∵∠C=90°,
∴DC⊥BC，
又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线，
∴CD=ED，故①正确，
在Rt△BCD和 Rt△BED中，
,
∴△BCD≌△BED，
∴BC=BE，故③正确.
故选：A.
5．（2020·江苏省初三二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．

【答案】15
【解析】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，

由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15，
故答案为15．
6．（2020·河北省中考真题）如图， ∥CD，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于点、，再分别以、为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线，交于点，则射线为_____________；若，则的度数为__________．

【答案】的平分线
【解析】
∵AB∥CD，∠ACD=110°，
∴∠CAB=70°，
∵根据作图可知：射线AP为∠CAB平分线，
∴∠CAM=∠BAM=35°，
∵AB∥CD，
∴∠CMA=∠MAB=35°．
故答案为：∠CAB平分线，35°．
7．（2020·云南省初三学业考试）如图，以点为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交两边于点．分别以点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点．已知点到边的距离为，则点到边的距离为_________．

【答案】
【解析】
解：因为BF是∠ABC的平分线，则点到边的距离等于点到边的距离，为3.
故答案是3.
考点4：利用尺规作图作其它图形
典例：（2020·泰兴市河头庄中学初三二模）如图，已知点D为△ABC的边AB上一点
（1）请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）；
（2）根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE．

【答案】（1）点E即为所求，图见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）如图，过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求；

（2）如图：连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC
∵DE//BC
∴DF=EG
∵S△BCD＝BC·DF, S△BCE＝BC·EG,
∴S△BCD＝S△BCE

方法或规律点拨
本题考查了尺规作图－作平行线、三角形的面积等知识，掌握平行线间的距离相等是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2020·古田县第十中学初一期中）如图， 一块大的三角板ABC， D是AB 上一点， 现要求过点D割出一块小的三角板ADE， 使DE∥BC， 请用尺规作出DE 和∠A的平分线．(不写作法， 留下作图痕迹，要有结论)

【答案】详见解析
【解析】解：如图所示，线段DE即为所求；

如图所示，线段AF即为所求；

2．（2020·北京初三二模）在数学课上，老师提出如下问题：
已知：∠α，直线l和l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．

小刚的做法如下：
①以∠α的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M，N；以A为圆心，同样长为半径作弧，交直线l于点P；
②以P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线AQ；
③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于E，F；
④分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点G，作射线BG；
⑤射线AQ与射线BG交于点C．Rt△ABC即为所求．

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
连接PQ
在△OMN和△AQP中，
∵ON=AP，PQ=NM，OM=AQ
∴△OMN ≌△AQP（__________）（填写推理依据）
∴∠PAQ=∠O=α
∵CE=CF，BE=BF
∴CB⊥EF（____________________________）（填写推理依据）
【答案】（1）见解析；（2）边边边或SSS，三线合一
【解析】（1）作图：如图

（2）（边边边或SSS）；（三线合一）
解：根据步骤①用圆规画图，圆的半径相等，可知ON=AP， OM=AQ，根据步骤②可知PQ=NM，即直接利用SSS证明△OMN ≌△AQP全等，即第一个括号答案可写“边边边或SSS”；
根据步骤③用圆规画图，圆的半径相等，可知BE=BF，根据步骤④可知CE=CF，即可得出△CEF是等腰三角形，且底边上B是EF的中点，则可根据等腰三角形底边上三线合一即可证出CB⊥EF ，则第二个括号答案可写“三线合一”．
3．（2020·山西省初一期中）如图，利用尺规在的边上方作，并说明：．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】解：如图所示，∠CAD即为所求，

∵∠DAC=∠ACB，
∴AD∥CB．
4．（2020·广西壮族自治区初三学业考试）如图，已知，直线及上两点，．尺规作图：作，使点在直线的上方，，．（保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明）

【答案】见解析．
【解析】如图所示，作出，
作出，
即为所求.

5．（2020·陕西省初一期中）如图，已知，．
求作：，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】图见解析
【解析】解：作∠AOC=，然后在∠AOC内部作∠BOC=，即可得到，如下图所示，∠AOB即为所求．

6．（2020·陕西省中考真题）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）

【答案】详见解析
【解析】解：如图，点P即为所求．

作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，
（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，
（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，
（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．

7．（2020·福建省初一月考）已知：如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点求作：点E，使直线DE∥AB，点E在直线BC的北面，且点E到D点的距离是200米．（在题目的原图中完成作图，图中的比例尺是1：10000）（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见详解
【解析】
解：如图所示．

8．（2019·陕西省陕西师大附中初一期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点E为四边形ABCD边上一点，用尺规确定直线AE，使S△ADE＝S△ABE（不写画法，保留作图痕迹）．

【答案】见详解
【解析】解：作∠BAD的角平分线AE，交边BC于点E，则直线AE即为所求．