第五章 重点突破训练：轴对称图形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

这是一份第五章 重点突破训练：轴对称图形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版），文件包含第五章重点突破训练轴对称图形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练解析版北师大版docx、第五章重点突破训练轴对称图形重点问题举例-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练原卷版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
第五章 重点突破训练：轴对称图形重点问题举例
典例体系（本专题49题27页）

考点1：与线段垂直平分线相关的尺规作图
典例：（2020·广东禅城初一期末）已知△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°．

（1）尺规作图：在AB边上找一点D使得DB＝DC（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求∠ADC．
【答案】（1）见解析；（2）20°
【解析】（1）解：如图所示：D点为所求；

（2）证明：∵∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝60°．
又DB＝DC，∠B＝40°，
∴∠DCB＝∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝20°．
方法或规律点拨
本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的画法是解题关键．
巩固练习
1．（2020·山东岚山初二期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝70°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度数为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【解析】解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°，
∴∠B=30°
由作图可知：MN垂直平分线段AB，
可得DA=DB，
则∠DAB=∠B=30°，
故∠DAC=80°-30°=50°，
故选：B．
2．（2019·河南伊川初二期末）如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（ ）

A．65° B．60°
C．55° D．45°
【答案】A
【解析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，
故选A．
3．（2020·重庆南岸初二期末）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC边上确定一点P，使得PA+PC=BC，则下列四种不同的作图方法中，正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】解：用尺规在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，如图所示：

4．（2020·山东中区济南外国语学校初一期末）如图，长方形ABCD中∠DAC＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于( )

A．34° B．44° C．56° D．68°
【答案】C
【解析】如图，由尺规作图的痕迹得：AE是的角平分线，直线是AC的垂直平分线，
，
，
，
由对顶角相等得：，
故选：C．

5．（2020·浙江婺城初三三模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，交于点，连接，若的周长为，，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：在△ABC中，以点A和点B为圆心，大于二分之一AB的长为半径画弧，两弧相交与点M,N，则直线MN为AB的垂直平分线，则DA=DB,△ADC的周长由线段AC,AD,DC组成，△ABC的周长由线段AB,BC,CA组成而DA=DB,因此△ABC的周长为10+7=17.
故选C.
6．（2020·全国初二课时练习）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（ ）

A．7 B．8 C．12 D．13
【答案】B
【解析】解：∵顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧
∴MN为AB的垂直平分线
∴AD=BD=5
∵BC=BD+CD
∴BC=AD+CD=5+3=8
故选B．
7．（2019·云南初三二模）如图，分别以线段的端点和为圆心大于的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线，在直线上取一点，使得，延长至， 的度数为__________．

【答案】50°
【解析】∵由作法可知直线是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=25°，
∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．
故答案为：50°．
8．（2020·四川成华初一期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若，的周长为13cm，则的周长为________.

【答案】19cm
【解析】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线，
，，
的周长为13，
，
则的周长，
故答案为：．
9．（2020·陕西陈仓初一期末）如图，在的边上求作点，做得与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】解：如图所示：

所以，D点为所求．
10．（2020·福建宁德初一期末）如图，已知△ABC，点 P 为 BC 上一点．

（1）尺规作图：作直线 EF，使得点 A 与点 P 关于直线 EF 对称，直线 EF 交直线 AC于 E，交直线 AB 于 F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接 PE，AP，AP 交 EF 于点 O，若 AP 平分∠BAC，请在（1）的基础上说明 PE=AF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】解：（1）如图，直线EF即为所作图形；

（2）∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
由（1）可知：EF垂直平分AP，
∴EF⊥AP，AE=PE，
在△AOF和△AOE中，
∠OAF=∠OAE，AO=AO，∠AOF=∠AOE=90°，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AF=AE，
∴AF=PE.

11．（2020·深圳市龙岗区智民实验学校初一期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，用圆规分别以A、C为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，产生如图所示的两个交点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E．

（1）根据作法判断直线DE为线段AC的 线；
（2）连接AE，若∠C=36°，求∠BAE的度数．
【答案】（1）垂直平分；（2）∠BAE=18°
【解析】（1）由作法得ED为线段AC的垂直平分线，
故答案为：垂直平分；
（2）∵ED为线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=36°，
∴∠BAE=90°-∠EAC-∠C =90°-36°-36°=18°．
故答案为：18°．
考点2：图形折叠问题（轴对称图形性质）
典例1：（2020·湖北阳新初二期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，求∠MAN的度数是多少？

【答案】20°．
【解析】如图，作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于M，交CD于N，则A'A″即为△AMN的周长最小值．

∵∠DAB=100°，
∴∠AA'M+∠A″=180°﹣∠BAD=180°﹣100°=80°．
∵∠MA'A=∠MAA'，∠NAD=∠A″，且∠MA'A+∠MAA'=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA'A+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠AA'M+∠A″)=2×80°=160°，
∴∠MAN=180°﹣160°=20°．
故当△AMN周长最小时，∠MAN的度数是20°．
方法或规律点拨
本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
典例2：（2020·四川龙泉驿�初一期末）如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数_____度，再沿BF折叠成图c．则图中的∠CFE的度数是_____度．

【答案】150 135
【解析】解：如图，延长AE到H，由于纸条是长方形，
∴EH∥GF，
∴∠1＝∠EFG，
根据翻折不变性得∠1＝∠2＝15°，
∴∠2＝∠EFG，∠AEG＝180°﹣2×15°＝150°，
又∵∠DEF＝15°，
∴∠2＝∠EFG＝15°，∠FGD＝15°+15°＝30°．
在梯形FCDG中，∠GFC＝180°﹣30°＝150°，
根据翻折不变性，∠CFE＝∠GFC﹣∠GFE＝150°﹣15°＝135°．
故答案为：150；135．

方法或规律点拨
此题主要考查了平行线的性质和图形的折叠，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，折叠前后角的度数不变．
巩固练习
1．（2020·山东高唐初二期中）如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△，与AB交于点E，若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．20° C．35° D．55°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠1=35°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD=90°－35°=55°，
根据折叠图形可得：∠DBC′=∠DBC=55°，
∴∠2=55°－35°=20°，
故选B．
2．（2020·山东高唐初二期中）如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△，与AB交于点E，若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．20° C．35° D．55°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠1=35°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD=90°－35°=55°，
根据折叠图形可得：∠DBC′=∠DBC=55°，
∴∠2=55°－35°=20°，
故选B．
3．（2020·湖南渌口初一期末）如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,与对角线交与点Q,点P是直线MN上任意一点,下列判断错误的是( )

A．AQ=BQ B．AP=BP C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠NMB
【答案】D
【解析】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AP=BP，AQ=BQ，
∵点P是直线MN上的点，
∴∠MAP=∠MBP，
∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
4．（2020·河南罗山初二期末）如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的△ADH中 (      )

A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD
【答案】B
【解析】解：由图形的对称性可知:AB=AH,CD=DH,
∵正方形ABCD,
∴AB=CD=AD,
∴AH=DH=AD．
故选B．
5．（2020·山东兖州初一期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时人射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的( )

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【解析】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，

∵2020÷6=336…4，
∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹，
∴第2020次碰到矩形的边时的点为图中的点D；
故选：D．
6．（2020·江苏锡山初一期末）如图，矩形纸片ABCD沿着BE折叠，使C、D两点分别落在C1、D1处，若∠ABC1＝45°，则∠ABE的度数为（　　）

A．22.5° B．21.5° C．22° D．21°
【答案】A
【解析】设∠ABE=，
根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
即，
解得．
故选：A．
7．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF．图中∠EAF的度数为（　　）

A．113° B．124° C．129° D．134°
【答案】D
【解析】连接AD，

∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，
∵∠B＝62°，∠C＝51°，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝180°−62°−51°＝67°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝134°，
故选D．
8．（2020·陕西陈仓初一期末）如图，是一个三角形纸片，其中，，沿折叠纸片，使点落在点处，则_____．

【答案】
【解析】解：由折叠可知∠A=∠DBE=36°，
∴∠BEC=∠A+∠DBE=72°，
故答案为：72°．
9．（2020·四川龙泉驿初一期末）如图有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝4cm，BC＝8cm，把纸片的部分折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为_____．

【答案】12cm．
【解析】解：由折叠的性质可知，AD＝BD，
∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝12（cm），
故答案为：12cm．
10．（2020·四川内江初一期末）四边形ABCD中，，，点M、N分别在AB、BC上，将沿MN翻折，得．若，，则_____°；

【答案】95
【解析】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠FNB＝∠C＝70°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，
∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，
∴∠D＝360°﹣100°﹣70°﹣95°＝95°．
故答案为：95．
11．（2020·山东郓城初一期末）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为________．

【答案】12 cm
【解析】∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，∴AD＝BD．
∵AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，∴AD+CD＝BC＝17﹣5＝12（cm）．
故答案为12cm．
12．（2020·湖南渌口初一期末）如图，点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N．
（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
（2）若∠CPD=131°，∠C=21°，∠D=28°，求∠MPN．

【答案】（1）18cm；（2）．
【解析】解：（1）∵点P关于OA，OB的轴对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵=PN+PM+MN，
而CD=CM+MN+ND=18cm，

∴=PN+PM+MN= CM+MN+ND=18cm；
（2）∵点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，
∴∠C=∠CPM=21°，∠D=∠DPN =28°，
∴∠MPN=∠CPD-∠CPM-∠DPN=131°-21°-28°=82°．
考点3：轴对称与图形坐标
典例：（2020·山东岚山初二期末）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．

（1）画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A的对应点A1的坐标是　 　，点B的对应点B1的坐标是　 　，点C的对应点C1的坐标是　 　；
（3）请直接写出第四象限内以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标___________．
【答案】（1）见解析；（2）（-3，3），（3，-3），（-1，-3）；（3）（3，-1）
【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）A1（-3，3），B1（3，-3），C1（-1，-3），
故答案为：（-3，3），（3，-3），（-1，-3）；
（3）如图，△△，且点在第四象限内，

∴（3，-1）；
故答案为：（3，-1）．
方法或规律点拨
本题主要考查了运用轴对称变换进行作图、坐标确定位置的运用以及全等三角形的性质，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．
巩固练习
1．（2019·河南伊川初二期末）点关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（3 , 2） B．（-3,2） C．（-3, -2） D．（3, -2）
【答案】D
【解析】解：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以点P(3，2)关于x轴的对称点的坐标是(3，-2)，
故选D．
2．（2020·吉林舒兰初二期末）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，－2） C．（－1，2） D．（－1，－2）
【答案】B
【解析】解：∵点A与点A′关于x轴对称，已知A（1，2），
∴点A′的坐标为（1，-2）．
故选：B．
3．（2020·湖南渌口初二期末）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（　　）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3
【答案】B
【解析】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，
∴m=-3，n=2．
故选：B．
4．（2020·山东岚山初二期末）如果点（，）关于x轴的对称点在第四象限内，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵点P（，）关于轴的对称点在第四象限内，
∴点P（，）在第一象限，
∴，
解得：．
故答案为：．
5．（2020·湖南隆回初二期末）已知点A(，2)与点B(4，2)关于轴对称，则=____．
【答案】
【解析】因为A、B两点纵坐标相同，且关于y轴对称，
所以可得出A、B两点横坐标互为相反数，故．
故填：．
6．（2020·北京密云初二期末）在平面直角坐标系中，点P(1，2）关于y轴的对称点Q的坐标是________；
【答案】（-1，2）
【解析】关于y轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同.
故Q坐标为（-1，2）.
故答案为：（-1，2）.
7．（2020·河北青龙初二期末）已知点和关于轴对称，则的值为_______．
【答案】
【解析】解：∵点M（a-1，5）和N（2，b-1）关于y轴对称，
∴b-1= 5，
解得：b=6，
2+a-1=0，
解得：a= -1，
则=．
故答案为：．
8．（2020·四川成都初一期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与ABC关于直线y成轴对称的A1B1C1；
（2）求ABC的面积；
（3）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝；
（3）如图所示，点P即为所求．
9．（2020·湖南隆回初二期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标．

【答案】（1）作图见解析，A1(2，3)；（2）作图见解析，A2(-2，-2)．
【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求；
点A1的坐标为（2，3）；
（2）如图所示，△A2B2C2为所求；
点A2的坐标是（，）；

10．（2020·山东济南初一期末）如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点分别在格点上，请在网格中按要求作出下列图形，并标注相应的字母．
（1）作△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于直线l对称；
（2）△A1B1C1的面积是 ．

【答案】（1）见详解；（2）4
【解析】解：（1）如图所示：

（2）△A1B1C1得面积：
考点4：与角平分线有关的尺规作图
典例：（2020·河北省中考真题）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（ ）

A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
【答案】B
【解析】第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
方法或规律点拨
本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
巩固练习
1．（2020·广西壮族自治区初三其他）如图尺规作业，为的平分线，这样的作法依据是(　　)

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接CE、CD，

在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选：A．
2．（2020·河南省初二月考）如图，△ABC 中，点 E，F，G 分别在 BC，AC，AB 上，AE 与 BF 交于点 O，且点 O 在 CG 上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（ ）

A．AE，BF 是△ABC 的角平分线 B．点 O 到△ABC 三边的距离相等
C．CG 也是△ABC 的一条角平分线 D．AO＝BO＝CO
【答案】D
【解析】A、由尺规作图的痕迹可知：AE、BF是△ABC的内角平分线，正确；
B、因为角平分线的点到角两边的距离相等得：点O到△ABC三边的距离相等，正确；
C、根据三角形三条角平分线交于一点，且点O在CG上，所以CG也是△ABC的一条内角平分线，正确
D、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项D不正确；
故选D．
3．（2020·新疆维吾尔自治区初三其他）如图，在中，尺规作图如下：在射线、上，分别截取、，使；分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，连结、.下列结论不一定成立的是( )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：根据题意，得：OE=OD，CE=CD，OC=OC，∴△OEC≌△ODC（SSS），
∴，，∴B、C、D三项是正确的，而不一定成立．
故选 ：A．
4．（2020·广东省仙田外国语学校初一期中）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：
①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
③作射线OC．
则∠AOC的大小为_________．

【答案】20°．
【解析】根据画图的方法可知：OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=40°÷2=20°．
故答案是：20°．
5．（2020·内蒙古自治区初二期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____．

【答案】3
【解析】根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等，又因为点到直线的距离，垂线段最短可得PD最小=CD=3.
故答案为:3.
6．（2020·湖南省中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．

请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．
【答案】（1）①；（2）证明见解析
【解析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；
故答案为：①；
（2）如图，

连接MC、NC．
根据作图的过程知，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∠AOC=∠BOC，
∴OC为的平分线．
7．（2020·云南省初三二模）如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点M、N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC的延长线于点E．
②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．
请你观察图形，解答下列问题：
（1）求证：△ABC≌△DBC；
（2）若∠A=100°，∠E=50°，求∠ACB的度数．

【答案】（1）见解析；（2）∠ACB=65°．
【解析】（1）如图所示，连接MN，NF，

由作图可得，BM=BF，MN=FN，BN=BN，
∴△BMN≌△BFN（SSS），
∴∠ABC=∠DBC，
又∵AB=DB，BC=BC，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；
（2）∵∠A=100°，∠E=50°，
∴∠ABE=30°，
∴∠ABC=∠ABD=15°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-100°-15°=65°．
8．（2019·广西壮族自治区初一期末）如图，平面内有，，，四点，请按要求完成：

（1）尺规作图：连接，作射线，交于点，作射线平分．须保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）
【解析】解：（1）作线段，作射线，

如图，即为所做图形；
（2），射线平分，


9．（2020·佛山市南海外国语学校初三月考）如图，已知在中，点在边上，且．

（1）用尺规作图法，作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接．求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）如图，射线AP为所求作的图形；

（2）∵CP是∠ACB的平分线，如图：

∴∠1=∠2，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP△ADP（SAS），
∴PD=PB．