数学第1章 一元二次方程综合与测试课后作业题

这是一份数学第1章 一元二次方程综合与测试课后作业题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2－eq \f(1,x)＝2 022 B．x(x－8)＝0
C．a2x－7＝0 D．4x－x3＝2
2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根为－1，则下列等式成立的是( )
A．a＋b＋c＝0 B．a－b＋c＝0
C．－a－b＋c＝0 D．－a＋b＋c＝0
3．用配方法解一元二次方程x2－4x＋4＝0时，下列变形正确的是( )
A．(x＋2)2＝10 B．(x－2)2＝0
C．(x＋2)2＝2 D．(x－2)2＝2
4．方程x2－4eq \r(2)x＋9＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
5．等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两个根，则它的周长为( )
A．12 B．12或9 C．9 D．7
6．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝EB＝EC＝a，且a是关于x的一元二次方程x2＋2x－3＝0的一个根，则▱ABCD的周长为( )
A．4＋2eq \r(2)
B．12＋6eq \r(2)
C．2＋2eq \r(2)
D．4＋2eq \r(2)或12＋6eq \r(2)
7．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图像可能是( )
8．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2＋
bx＋c＝0必有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则b2－4ac＝(2ax0＋b)2.其中，正确的是( )
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
二、填空题(每题2分，共20分)
9．关于x的方程(3x＋2)(2x－3)＝5化为一般形式是________．
10．一个三角形的三边长都是关于x的方程x2－6x＋9＝0的根，则该三角形的周长为___________．
11．已知1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则(a＋b)2 023的值为___________．
12．若m，n是关于x的一元二次方程x2－5x－1＝0的两个实数根，则m＋n的值是___________．
13．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135 cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是__________cm2.
14．若关于x的一元二次方程2x2－5x＋k＝0无实数根，则k的最小整数值为________．
15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10，则a＝________．
16．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是______三角形．
17．若x2－3x＋1＝0，则eq \f(x2,x4＋x2＋1)的值为________．
18．若关于x的方程x2－(eq \r(2 021)＋2)x＋eq \r(2 021)n－8＝0有整数解，则整数n的值为________．
三、解答题(23题6分，25题10分，其余每题8分，共56分)
19．用适当的方法解下列方程：
(1)x(x－4)＋5(x－4)＝0； (2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；
(3)x2－2x－2＝0; (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.
20．已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.
(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？
21．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：关于x的一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝－1，则称方程x2＋x＝0是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断关于x的方程2x2－2eq \r(3)x＋1＝0是不是“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程x2－(m－1)x－m＝0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值．
22．某童装专卖店在销售中发现：当一款童装每件进价为80元，销售价为
120元时，每天可售出20件．为了增加利润，减少库存，专卖店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么每天可多售出2件．设每件童装降价x元．
(1)降价后，每件盈利_______元，每天可销售_______件；(用含x的代数式填空)
(2)每件童装降价多少元时，每天盈利1 200元？
(3)该专卖店每天盈利能否等于1 300元？若能，求出此时每件童装降价多少元；若不能，说明理由．
23．“等价变换化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解关于x的方程x－eq \r(x)＝0，就可以利用该思维方式，设eq \r(x)＝y，将原方程转化为y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．
已知实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x2y2＋2x＋2y＝133，,\f(x＋y,4)＋2x2y2＝51，))求x2＋y2的值．
24．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得等式eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝k－2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝2 cm，点P以2 cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1 cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．
(1)两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的eq \f(4,9)？
(2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为eq \r(5) cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
答案
一、1．B 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．B
8．B 点拨：①若a＋b＋c＝0，则x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，由一元二次方程的根的判别式可知b2－4ac≥0.故①正确.
②∵方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，
∴该方程的根的判别式0－4ac＞0.
∴－4ac＞0.则方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式b2－4ac＞0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根．故②正确.
③∵c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴ac2＋bc＋c＝0，
即c(ac＋b＋1)＝0.当c＝0且ac＋b＋1≠0时，等式仍然成立.
∴ac＋b＋1＝0不一定成立．故③不正确.
④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则由求根公式可得x0＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)或x0＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)，
∴2ax0＋b＝eq \r(b2－4ac)或2ax0＋b＝－eq \r(b2－4ac).∴b2－4ac＝(2ax0＋b)2.
故④正确．故选B.
二、 9．6x2－5x－11＝0 10．9 11．－1
12．5 13．9 14．4 15．eq \f(21,4) 16．直角
17．eq \f(1,8) 点拨：由x2－3x＋1＝0，
得x2＝3x－1，则eq \f(x2,x4＋x2＋1)＝eq \f(x2,（3x－1）2＋x2＋1)＝eq \f(x2,10x2－6x＋2)＝eq \f(3x－1,10（3x－1）－6x＋2)＝eq \f(3x－1,24x－8)＝eq \f(3x－1,8（3x－1）)＝eq \f(1,8).
18．4或－2 点拨：由x2－(eq \r(2 021)＋2)x＋eq \r(2 021)n－8＝0得到(x2－2x－8)＋eq \r(2 021)(n－x)＝0.
设关于x的方程x2－(eq \r(2 021)＋2)x＋eq \r(2 021)n－8＝0的一个整数根是m，则有(m2－2m－8)＋eq \r(2 021)(n－m)＝0.
∵n和m均为整数，
∴(m2－2m－8)是整数，(n－m)也是整数.
∵eq \r(2 021)是无理数，
∴m2－2m－8＝0，n－m＝0.
∴(m－4)(m＋2)＝0，n＝m.
∴m1＝4，m2＝－2.
∴当m＝4时，n＝4.
当m＝－2时，n＝－2.
故整数n的值是4或－2.
三、19．解：(1)原方程可化为
(x－4)(x＋5)＝0.
∴x－4＝0或x＋5＝0.
解得x1＝4，x2＝－5.
(2)原方程可化为(2x＋1＋2)2＝0.
即(2x＋3)2＝0.
解得x1＝x2＝－eq \f(3,2).
(3)∵a＝1，b＝－2，c＝－2，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－2)＝12＞0.
∴x＝eq \f(2±\r(12),2×1)＝eq \f(2±2\r(3),2)＝1±eq \r(3).
∴x1＝1＋eq \r(3)，x2＝1－eq \r(3).
(4)原方程化为一般形式为y2－2y＝0.
因式分解，得y(y－2)＝0.
∴y－2＝0或y＝0.∴y1＝2，y2＝0.
20．(1)证明：在关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，
∵b2－4ac＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，
∴对于任意实数t，方程都有实数根.
(2)解：设方程的两个根分别为m、n，则mn＝t－2.
∵方程的两个根互为倒数，
∴mn＝t－2＝1，解得t＝3.
∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数.
21．解：(1)解方程2x2－2eq \r(3)x＋1＝0得x＝eq \f(\r(3)±1,2).
∵eq \f(\r(3)＋1,2)－eq \f(\r(3)－1,2)＝1，
∴方程2x2－2eq \r(3)x＋1＝0是“邻根方程”.
(2)分解因式得(x－m)(x＋1)＝0，
解得x＝m或x＝－1.
∵方程x2－(m－1)x－m＝0(m是常数)是“邻根方程”，
∴m＝－1＋1或m＝－1－1.
∴m＝0或m＝－2.
22．解：(1)(40－x)；(20＋2x)
(2)依题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200.
整理，得x2－30x＋200＝0.
解得x1＝10，x2＝20.
又∵为了增加利润，减少库存，
∴x＝20.
答：每件童装降价20元时，每天盈利1 200元.
(3)该专卖店每天盈利不能等于1 300元．理由如下：假设能，
依题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 300.
整理，得x2－30x＋250＝0.
∵b2－4ac＝(－30)2－4×1×250＝－100＜0，
∴该方程没有实数根.
即该专卖店每天盈利不能等于1 300元.
23．解：令xy＝a，x＋y＝b，则原方程组可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5a2＋2b＝133，,\f(b,4)＋2a2＝51.))
整理，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5a2＋2b＝133，①,16a2＋2b＝408.②))
②－①，得11a2＝275.
解得a2＝25.代入②可得b＝4.
∴方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝4，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝4.))
当a＝5时，x＋y＝4，③ xy＝5，④
由③得x＝4－y.
将x＝4－y代入④，得y2－4y＋5＝0，该方程无实数解.
∴a＝5不符合题意.
当a＝－5时，y2－4y－5＝0，有解.
∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝b2－2a＝42－2×(－5)＝26.
综上，x2＋y2的值为26.
24．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0有两个实数根，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(k＋2)≥0.解得k≤－1.
(2)存在实数k＝－eq \r(6)，使得等式eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝k－2成立．理由如下：
∵x1，x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2.
∴eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝eq \f(2,k＋2).
又∵eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝k－2，
∴eq \f(2,k＋2)＝k－2.
∴k2－6＝0.
解得k1＝－eq \r(6)，k2＝eq \r(6).
又∵k≤－1，∴k＝－eq \r(6).
∴存在这样的实数k，使得等式eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝k－2成立，且k的值为－eq \r(6).
25．解：(1)设两动点运动t s时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的eq \f(4,9)
(0＜t＜3).
根据题意，得BP＝(6－2t)cm，CQ＝t cm，矩形ABCD的面积是6×2＝12 cm2.
∵四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的eq \f(4,9)，
∴eq \f(1,2)(t＋6－2t)×2＝12×eq \f(4,9).
解得t＝eq \f(2,3).
答：两动点运动eq \f(2,3) s时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的eq \f(4,9).
(2)存在．第eq \f(7,3) s或eq \f(5,3) s时，点P与点Q之间的距离为eq \r(5) cm.理由如下：
设两动点经过m秒时，点P与点Q之间的距离为eq \r(5) cm.
①当0＜m≤3时，如图1过点Q作QE⊥AB且交AB于点E，则有(6－2m－m)2＋22＝(eq \r(5))2，
解得m＝eq \f(7,3)或eq \f(5,3).
②当3＜m≤4时，如图2.
则有(8－2m)2＋m2＝(eq \r(5))2.
得方程5m2－32m＋59＝0.
此时b2－4ac＜0，此方程无解，舍去.
综上所述，当m＝eq \f(7,3) s或eq \f(5,3) s时，点P与点Q之间的距离eq \r(5) cm.