（通用版）中考数学一轮复习讲与练30《圆的有关概念及性质》精讲精练（教师版）

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第七章　圆第一节　圆的有关概念及性质　垂径定理及推论1.将球放在一个圆柱形玻璃杯的杯口上，图中所示是其轴截面的示意图.杯口内径AB为⊙O的弦，AB＝6 cm，⊙O的直径DE⊥AB于点C，测得tan∠DAB＝，该球的直径是____cm__.　圆周角定理及推论2.如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P.当点C在上半圆(不包括A，B两点)上移动时，点P(　B　)A.到CD的距离保持不变    B.位置不变C.等分                 D.随点C的移动而移动　三角形的外心及圆内接三角形3.如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的(　C　)A.垂心　　B.重心　　C.内心　　D.外心4.如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(　B　)A.△ABE  　　　B.△ACF      C.△ABD  　　　D.△ADE中考考点清单　圆的有关概念圆的定义定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆定义2：圆是到定点的距离①__等于__定长的所有点组成的图形弦连接圆上任意两点的②__线段__叫做弦直径直径是经过圆心的③__弦__，是圆内最④__长__的弦弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有⑤__优弧、半圆、劣弧__之分，能够完全重合的弧叫做⑥__等弧__等圆能够重合的两个圆叫做等圆同心圆圆心相同的圆叫做同心圆　圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过⑦__圆心__的直线圆是中心对称图形，对称中心为⑧__圆心__垂径定理定理垂直于弦的直径⑨__平分__弦，并且平分弦所对的两条⑩__弧__推论平分弦(不是直径)的直径⑪__垂直于__弦，并且⑫__平分__弦所对的两条弧圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量⑬__相等__，那么它们所对应的其余各组量也分别相等  　圆周角圆周角的定义顶点在圆上，并且⑭__两边__都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑮__一半__推论1同弧或等弧所对的圆周角⑯__相等__推论2半圆(或直径)所对的圆周角是⑰__直角__；90°的圆周角所对的弦是⑱__直径__推论3圆内接四边形的对角⑲__互补__【方法总结】1.在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而将求解转化成解直角三角形的问题.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.中考重难点突破　垂径定理及应用【例1】如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(　　)A.5     B.7      C.9    D.11【解析】由题意可得，OA＝13，∠ONA＝90°，AB＝24，∴AN＝12，∴ON＝＝＝5.【答案】A1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为(　A　)A.2        B.－1         C.          D.4　与圆有关的角的计算【例2】如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点，若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是(　A　)A.45°  B.60°    C.75°  D.85°【解析】据圆周角定理求得∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断.【答案】D2.如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC为(　D　)A.60°　　　B.45°　　　C.35°　　　D.30°　第七章　圆第一节　圆的有关概念及性质1.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝(　A　)A.58°  B.32°  C.64°  D.72°2.如图，在⊙O中，＝，点D在⊙O上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝(　B　)A.45°  B.50°  C.55°  D.60°3.如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，则∠ACD＝40°，则∠CAB＝(　B　)A.10°  B.20°  C.30°  D.40°4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是(　B　)A.  B.2  C.6  D.85.如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE.若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为(　A　)A.12  B.15  C.16  D.186.如图，一个宽为2 cm的刻度尺(单位：cm)，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为____cm.7.直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦AB所对的圆周角是__30°或150°__.8.如图所示，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝55°，则∠A＝__35°__.　　9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为__2__.10.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值为____.11.在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.解：(1)连接OQ.∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tanB＝，∴OP＝3tan30°＝，在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，∴PQ＝＝；(2)连接OQ.在Rt△OPQ中，PQ＝＝，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，∴PQ长的最大值为.12.(已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB，CD之间的距离为(　D　)A.17 cm  B.7 cm   C.12 cm  D.17 cm或7 cm13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E, 连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(　B　)A.45°  B.50°  C.55°  D.60°14.如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A，C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则(　D　)A.DE＝EB  B.DE＝EB   C.DE＝DO  D.DE＝OB15.如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若∠ACB＝70°，则∠ADB＝__110°__.　　16.如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果CD＝，则AD＝__4__.17.如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值为__2__.18.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.(1)求证：MD＝ME; (2)填空：①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝________；②连接OD，OE，当∠A的度数为________时，四边形ODME是菱形.解：(1)如图所示，连接AE，BD，DE.在Rt△ABC中，点M是AC的中点，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA.∵四边形ABED是圆内接四边形， ∴∠ADE＋∠ABE＝180°， 又∠ADE＋∠MDE＝180°， ∴∠MDE＝∠MBA.  同理可证：∠MED＝∠MAB，∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME；(2)①2；②60°19.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°. (1)判断△ABC的形状：________；(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.解：(1)等边三角形；(2)PA＋PB＝PC.证明：如图，在PC上截取PD＝PA，连接AD.∵∠APC＝60°， ∴△PAD是等边三角形，∴PA＝AD，∠PAD＝60°.又∵∠BAC＝60°， 则∠BAC＝∠DAB＋∠DAC＝60°，∴∠PAB＝∠DAC. ∵AB＝AC,  ∴△PAB≌△DAC，∴PB＝DC. ∵PD＋DC＝PC,  ∴PA＋PB＝PC；(3)当点P为的中点时，四边形APBC面积最大.理由如下：如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E, 过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接BO.∵S△PAB＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF，∴S四边形APBC＝AB(PE＋CF).∵当点P为的中点时，PE＋CF ＝PC, PC为⊙O直径， ∴四边形APBC面积最大. ∵△ABC为圆内接正三角形，∴∠BOF＝60°.又∵⊙O的半径为1，∴在Rt△BOF中，BF＝OBsin60°＝，∴AB＝2BF＝，∴S四边形APBC＝×2×＝.