（通用版）中考数学一轮复习讲与练21《等腰三角形与直角三角形》精讲精练（教师版）

第三节　等腰三角形与直角三角形

　等腰三角形的性质和相关计算

1.如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　D　)

A.1个  B.2个     C.3个  D.3个以上

2.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝(　B　)

A.90°  B.100°  C.130°  D.180°

3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为(　C　)

A.4 cm  B.3 cm   C.2 cm  D.1 cm 

　直角三角形的性质、判定及相关计算

4.已知：如图，△ABC是等边三角形，四边形BDEF是菱形，其中线段DF的长与DB相等.将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转.

甲、乙两位同学发现在此旋转过程中，有如下结论.

甲：线段AF与线段CD的长度总相等；

乙：直线AF和直线CD所夹的锐角的度数不变；

那么，你认为(　A　)

A.甲、乙都对    B.乙对甲不对   C.甲对乙不对    D.甲、乙都不对

5.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(　B　)

A.4，5，6  B.1.5，2，2.5   C.2，3，4  D.1，，3

6.如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC.若DE＝10，AE＝16，则BE的长度为(　C　)

A.10    B.11   C.12    D.13

7.如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，且AB＝，M是边BC上的一个动点，连接AM，P为AM的中点，当M点从点B运动到点C的过程中，P点的运动路线长(　D　)

A.1＋     B.1－     C.＋     D.

8.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(　D　)

A.5     B.       C.      D.5或

9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，点M是直角边AC上的一个动点，连接BM，并将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，连接CN.则在点M运动过程中，线段CN长度的最大值是__4__，最小值是__2__.

中考考点清单

　等腰三角形的性质与判定

1.等腰三角形

2.等边三角形

　直角三角形的性质与判定

3.直角三角形

4.等腰直角三角形

中考重难点突破

　等腰三角形的相关计算

【例1】在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B＝________.

【解析】由垂直平分线可得∠AED＝90°，在Rt△ADE中由两锐角互余可求∠A，在等腰三角形中由两底角相等，即可求得.在等腰三角形中，只要知道其中一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论.此题的两种情况如图所示：

【答案】70°或20°

1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是(　B　)

A.BC  B.CE  C.AD  D.AC

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(　B　)

A.40°  B.36°  C.80°  D.25°

　等腰三角形、等边三角形的性质与判定

【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝________cm.

【解析】如图，延长AD交BC于点M，由AB＝AC，AD是∠BAC的平分线可得AM⊥BC，BM＝MC＝BC，延长ED交BC于点N，则△BEN是等边三角形，从而求出DN的长，利用在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出MN的长，进而求BM，BC的值.

【答案】8

3.如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　C　)

A.AE＝EC    B.AE＝BE    C.∠EBC＝∠BAC  D.∠EBC＝∠ABE

4.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(　D　)

A.(1，1)  B.(，1)   C.(，)  D.(1，)

5.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝106°，EF，MN分别是AB，AC的垂直平分线，E，M在BC上，则∠EAM等于(　B　)

A.58°  B.32°  C.36°  D.34°

6.已知：如图，在△ABC中，∠BCD＝12°，∠B＝63°，AD平分∠BAC，CD⊥AD，则∠ACD＝__75°__.

【例3】已知：如图，在△ABC中，AD既是△ABC的中线，又是角平分线，求证：△ABC是等腰三角形.

【解析】由已知条件入手，添加辅助线，构造全等三角形，依据三角形全等的判定之一“边角边”证明两个三角形全等，从而得出结论.

【答案】证明：延长AD到A′，使A′D＝AD，连接A′B.

∵AD是△ABC的中线和角平分线，

∴AD平分∠BAC，BD＝CD，

∴∠BAD＝∠CAD.

在△ADC和△A′DB中，

∴△ADC≌△A′DB，

∴AC＝A′B，∠DAC＝∠DA′B.

∵∠DAB＝∠DAC，

∴∠DAB＝∠DA′B，

∴BA＝BA′.

∵AC＝A′B，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形.

7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB与DC不平行，∠C＝90°，E为CD中点，∠FAE＝∠DAE，点F在直线BC上，求∠AEF的度数.

解：延长AE交BC的延长线于点G.

∵AD∥BC，

∴∠D＝∠ECG，

△DAE＝∠G.

∵E为DC中点，

∴DE＝CE，

∴∠ADE≌△GCE，

∴AE＝GE.

∵∠FAE＝∠DAE，

∴∠FAE＝∠G，

∴FA＝FG，

∴∠AEF＝90°.

　直角三角形的性质、判定和勾股定理

【例4】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D为BC上任意一点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，M为BC的中点，连接EM，FM，

给出以下五个结论：

①AF＝CE；

②AE＝BF；

③△EFM是等腰直角三角形；

④S四边形AEMF＝S△ABC；

⑤EF＝BM＝MC.当点D在BC上运动时(点D不与B，C重合).

上述结论中始终正确的有(　　　)

A.2个   B.3个     C.4个     D.5个

【解析】连接AM，易证AE＝DF＝BF，AF＝DE＝CE，△AME≌△BMF，

∴ME＝MF，∠AME＝∠BMF，∴△EMF是等腰直角三角形.

S四边形AEMF＝S△AFM＋S△AEM＝S△AFM＋S△BFM＝S△ABM＝S△ABC，但是EF与BM不一定相等，

只有四边形AFME为矩形时，EF＝BM.

【答案】C

8.如图，以直角三角形a，b，c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数有(　D　)

A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

9.如图，在一笔直的沿湖道路l上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A，B的游船速度分别为v1，v2，若回到A，B所用时间相等，则＝____.(结果保留根号)

10.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝5，BC＝12，AD＝9，CD＝5，求四边形ABCD的面积.

解：连接AC.∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，

∴AC＝＝＝13.

∵在△ACD中，

AC2＋AD2＝132＋92＝169＋81＝250，

CD2＝(5)2＝250，

∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠DAC＝90°，

∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝BC·AB＋AD·AC＝×12×5＋×9×13＝.

第三节　等腰三角形与直角三角形

1.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝(　C　)

A.3  B.4  C.5  D.6

2.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为(　C　)

A.0.7 m     B.1.5 m     C.2.2 m     D.2.4 m

3.如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是边PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(　D　)

A.44°  B.66°  C.88°  D.92°

4.在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为(　D　)

A.32      B.42      C.40或42    D.32或42

5.任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是(　B　)

A.△EGH为等腰三角形     B.△EGF为等边三角形

C.四边形EGFH为菱形       D.△EHF为等腰三角形

6.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　D　)

A.∠A＋∠B＝∠C              B.∠A－∠B＝∠C

C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3     D.∠A＝∠B＝3∠C

7.如图，已知△ABC的面积为10 cm2，BP为∠ABC的平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为(　B　)

A.4 cm2      B.5 cm2          C.6 cm2      D.7 cm2

8.已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n(m<n)，过锐角三角形顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则(　C　)

A.m2＋2mn＋n2＝0  B.m2－2mn＋n2＝0

C.m2＋2mn－n2＝0  D.m2－2mn－n2＝0

9.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的代数式表示△ABC的周长为__2a＋3b__.

10.在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为__30°或150°或90°__.

11.如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x＋4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是__x＝0或x＝4－4或4＜x＜4__.

12.在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED.

(1)当BE＝AE时，求证：BD＝AE；

(2)当BE≠AE时，“BD＝AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD与AE数量关系式；若你认为成立，请给予证明.

解：(1)在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°.

∵BE＝AE，∴∠ACE＝∠ECB＝30°.

又∵CE＝DE，∴∠D＝∠ECD＝30°.

∴∠DEB＝30°，∴BE＝BD，∴BD＝AE；

(2)BD＝AE还成立.

理由如下：如图②，过点E作EF∥AC交BC于点F.易证△EFB为等边三角形.

∴EF＝FB＝BE.∴∠EFB＝∠EBF.∴∠CFE＝∠EBD.

∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D.∴△EBD≌△EFC(AAS)，∴CF＝BD.

∵AB＝BC，∴AB－BE＝BC－BF，

即AE＝CF，∴BD＝AE.

13.如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为(　B　)

A.68°  B.88° C.90°  D.112°

14.已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为(　B　)

A.      B.      C.      D.不能确定

15.如图，在Rt△ACB中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，下列结论：

①若C，O两点关于AB对称，则OA＝2；

②C，O两点距离的最大值为4；

③若AB平分CO，则AB⊥CO；

④斜边AB的中点D运动路径的长为.

其中正确的是__①②③__.(填序号)

16.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为__113°或92°__.

17.已知∠AOB＝60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM＝4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是__2__.

18.如图，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.

(1)求证：∠FMC＝∠FCM；

(2)AD与MC垂直吗？并说明理由.

解：(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，

∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.

又∵∠ABC＝90°，

∴∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，

∴∠DCF＝∠AMF.

又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，

∴△DFC≌△AFM，∴CF＝MF.

∴∠FMC＝∠FCM；

(2)AD⊥MC.理由：

由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC.

∴∠FDE＝∠FMC＝45°.

∴DE∥CM，由题意得AD⊥DE，∴AD⊥MC.

19.如图，△ABC中，BE，CF分别平分∠ABC和∠ACB，AE⊥BE于E，AF⊥CF于F.

求证：EF∥BC.

证明：延长AE，AF分别交BC于点M，N.

∵BE平分∠ABM，

∴∠ABE＝∠CBE.

∵AB⊥BE，

∴∠AEB＝∠MEB＝90°.

在Rt△ABE和Rt△MBE中，

∴Rt△ABE≌△Rt△MBE(SAS).

∴AE＝EM.

同理，AF＝FN，

∴EF为△AMN的中位线，

∴EF∥MN，

∴EF∥BC.