高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用复习练习题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题5.3导数在研究函数中的应用检测题（综合提升篇）  一、单选题1．设函数，则（    ）A． B．C． D．以上都不正确2．已知在上连续，是的导函数，则是为函数极值点的（    ）条件.A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要3．若函数（）不存在极值点，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．4．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．5．函数的减区间为（    ）A． B． C． D．6．已知函数，且，，，则，，的大小为（    ）A． B．C． D．7．已知函数(且，)的一个极值点为2，则的最小值为（    ）A． B．C． D．78．密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去.如密位记为“”，个平角，个周角.已知函数，，则函数的最小值用密位制表示为（    ）A． B． C． D． 二、多选题9．如图是函数y=f（x）的导数的图象，则下列判断正确的是（    ）A．在（-3，1）内f（x）是增函数 B．在x=1时f（x）取得极大值C．在（4，5）内f（x）是增函数 D．在x=2时f（x）取得极大值10．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）A． B． C． D．11．已知函数，则（    ）A．在上是减函数 B．在，上是减函数C．的单调递增区间为和 D．在和上是增函数12．已知函数，下列结论成立的是（    ）A．函数在定义域内无极值B．函数在点处的切线方程为C．函数在定义域内有且仅有一个零点D．函数在定义域内有两个零点，，且  三、填空题13．函数的最大值为________．14．函数的极值点为______．15．已知函数，若，则t的取值范围是___________.16．已知函数有4个零点，则实数a的取值范围是_________． 四、解答题17．已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.18．如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ＝x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．19．已知函数在处的切线与直线垂直．（1）求的方程；（2）求的极值．20．已知函数．（1）若，求函数在区间上的最大值；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．21．设函数的导数满足，.（1）求的单调区间；（2）在区间上的最大值为，求的值.（3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.22．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．
参考答案1．B【分析】对函数进行求导，得出，再由，可知，最后利用导数研究函数的单调性得出是上的增函数，从而得出结果.【详解】解：由题可知，，又当，则，，故是上的增函数，故.故选：B.2．C【分析】结合极值点、充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】时，不一定是极值点，还需要在两侧的单调性不相同.是的极值点时，由于在上连续，所以.所以是为函数极值点的必要不充分条件.故选：C3．D【分析】根据函数无极值可知导数有两个相等的实数根或没有实数根，利用判别式求解即可.【详解】∵在定义域R内不存在极值，∴有两个相等的实数根或没有实数根，∴，∴．故选：D4．A【分析】判断函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，以及利用导数研究函数的单调性，即可判断．【详解】解：因为，所以，所以为偶函数，即图象关于轴对称，则排除，当时，，故排除C，，当时，，所以，即在上单调递增，故排除D；故选：．5．C【分析】对函数求导，然后通分，进而令导函数小于0，最后求得单调递减区间.【详解】函数的定义域为，求导得，令，，，因此函数的减区间为.故选：C.6．A【分析】可判断为偶函数，再根据的导数可判断在为增函数，根据对数函数的单调性判断出即可得出大小.【详解】的定义域为，且，为偶函数，当时，，所以在为增函数，又，，所以，则，又，则.故选：A.7．B【分析】求出函数的导数，由给定极值点可得a与b的关系，再借助“1”的妙用求解即得.【详解】对求导得：，因函数的一个极值点为2，则，此时，，，因，即，因此，在2左右两侧邻近的区域值一正一负，2是函数的一个极值点，则有，又，，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：B8．A【分析】利用导数求出的最小值，再根据密位制的定义即可得出答案.【详解】由题知，， 令得在上单调递增，在上单调递递减又，，即的最小值为设的密位为由密位制的定义可得：解得：的最小值用密位制表示为.故选：A.9．CD【分析】根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在（﹣3，）上，， f（x）为减函数，A错误；对于B，在（，2）上，，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；对于C，在（4，5）上，，f（x）为增函数，C正确；对于D，在（，2）上，，f（x）为增函数，在（2，4）上，，f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D正确；故选：CD．10．AB【分析】根据奇函数的判断方法可先排除C，再根据函数导数在上的符号逐项判断ABD.【详解】易知A，B，D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；对于A，，所以在上单调递增；对于B，（不恒为零） ，所以在上单调递增；对于D，，所以在上单调递减．故选：AB．11．BCD【分析】求出函数的定义域与导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.【详解】的定义域为. ，令，得或，所以的单调递增区间为和，在和上是增函数.令，得或.所以在和上是减函数，故选：BCD.12．ABD【分析】求出定义域与导函数可判断A；利用导数的几何意义可判断B；利用函数单调性以及零点存在性定理可判断C；根据选项C可判断D.【详解】A，函数定义域为，，在和上单调递增，则函数在定义域内无极值，故A正确；B，由，则，又，函数在点处的切线方程为 即，故B正确；C，在上单调递增，又， ，所以函数在存在，使，又，即，且，即为函数的一个零点，所以函数在定义域内有两个零点,故C错误.D，由选项C可得，所以，故D正确.故选：ABD13．【分析】利用导数求得的最大值.【详解】，所以在递增，在递减，所以当时，取得最大值为.故答案为：14．0【分析】求导，研究函数单调性，即可得极值点.【详解】解：由已知，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取到极大值.故答案为：0.15．【分析】首先利用定义判断得到函数为奇函数，从而将不等式转化为，构造，得到，再根据在上为增函数得到，解不等式即可.【详解】因为，定义域为，，所以函数为奇函数.因为，所以，等价于.设，得.因为，所以在上为增函数.所以，即，解得.故答案为：16．【分析】由题意可得，令，求导函数，得出函数令的单调性和最值，得出函数令，有2个零点，再令，分，讨论的符号，得出函数的单调性和最值，建立不等式，可求得实数a的取值范围．【详解】解：由得，令，则，令，解得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递减，又，，，所以函数有2个零点，分别在和上；令，则，当时，恒成立，所以在R上单调递增，不满足函数有4个零点，故不成立；当时，令，解得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递减，所以， 要使函数有4个零点，则需有2个零点，所以需且，解得，又，时，，所以当且时，函数有2个零点，函数有4个零点，综上得实数a的取值范围是，故答案为：.17．（1）；（2）最大值为，最小值为【分析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1），令，得，所以的减区间为.（2）由（1），令，得或知：，为增函数，，为减函数，，为增函数.，，，.所以在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.18．（1）（2）【分析】（1）设，则由得：，求出后，代入三角形面积公式，可得答案．（2）求导，分析导函数的符号，进而可得的面积的最小值．（1）（1）设，则由得：即故；（2）由（1）得：；当时，，当时，，故时，．19．（1）；（2）极大值，有极小值．【分析】（1）依题意得的斜率为2，即可求得，得到，求得，即可求得的方程；（2）求得，当变化时，，的变化情况可列表分析求解．（1）依题意得的斜率为2，即．，，，解得，，，的方程为，即；（2）的定义域为，由（1）知，令得或，当变化时，，的变化情况如下表：00单调递增单调递减单调递增当时，有极大值，当时，有极小值．20．（1）；（2）【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值，再与区间端点处函数值比较，即可得到函数的最大值；（2）求出函数的导函数可得，即可得到函数的极值点，再对分类讨论，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：（1）当时，，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值为，当时，所以函数在区间上的最大值为；（2）由，所以，当时所以函数在定义域上单调递增，则只有一个零点，故舍去；所以，令得或，函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点，函数的极值点为，，当时，令得或，所以函数在和上单调递增，令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，解得；当时，令得或，所以函数在和上单调递增，令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极小值，所以的图象与轴不可能有三个交点；综上可得，即21．（1）递增区间为，递减区间为，（2）（3）【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间；（2）利用导数求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值.（3）根据的单调性求得极值，令极大值大于，极小值小于，解不等式即可求的范围.（1）由可得，因为，，所以，解得：，，所以，，由即可得：，由即可得：或，所以的单调递增区间为，单减区间为和.（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，，，则在区间上的最大值为，所以.（3）由（1）知当时，取得极小值，当时，取得极大值，若函数的图象与轴有三个交点，则得，解得，即的范围是.22．（1）见解析；（2）见解析【详解】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.