2021届湖南师范大学附属中学高三下学期月考（七）数学试题（含解析）

2021届湖南师范大学附属中学高三下学期月考（七）数学试题

一、单选题

1．已知命题“若，则”是真命题，集合满足，集合满足.下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得出是成立的充分条件，再根据充分条件与集合的包含关系可得出合适的选项.

【详解】由于命题“若，则”是真命题，则是成立的充分条件，

因为集合满足，集合满足，.

故选：B.

2．满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（    ）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线

【答案】B

【分析】设，求出，判断出点的轨迹是圆.

【详解】设，由可得：

，

两边平方得：，

∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆.

故选：B

【点睛】方法点睛：复数范围内的轨迹问题的一般方法：设复数的一般形式 运用复数的求模公式把复数问题实数化，从而利用实数范围内的有关轨迹知识来解决.

3．2021年春节临近在河北省某地新冠肺炎疫情感染人数激增，为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的三人中至少有1名女医生的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】从8人选3人共有种方法，先的3人中至少有1名女医生的有（）种方法，然后利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】解：由题意得，从5名男医生和3名女医生中选派3人共有种方法，而选派的三人中至少有1名女医生的有（）种方法，

所以所求概率为，

故选：A

4．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了（    ）（附：）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果.

【详解】将信噪比从提升至，

大约增加了，

所以，大约增加了.

故选：B.

5．已知，是非零向量且满足，，则与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角.

【详解】，

设与的夹角为，

故选：B.

【点睛】方法点睛：求解向量夹角长选择夹角公式，还要注意向量的夹角范围.

6．在等差数列中，，．记，则数列（    ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】B

【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.

【详解】由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.

7．已知函数 满足，函数，若函数与的图像共有个交点，记作，则的值为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=8-f(4+x)，

可得：f(-x)+f(4+x)=8，即函数f(x)关于点(2，4)对称，

函数 可知图象关于(2，4)对称；

∴函数f(x)与g(x)的图象共有168个交点即在(2，4)两边各有84个交点．

而每个对称点都有：x1+x2=4，y1+y2=8，

∵有168个交点，即有84组．

故得：(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x168+y168)=(4+8)×84=1008．

本题选择D选项.

点睛：若函数y＝f(x＋b)+a是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,a)中心对称，利用两函数的对称中心相同可求得的值

8．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得点的坐标，设，，运用三角形的等面积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得关于，的方程，结合离心率公式可得所求值．

【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，

设双曲线的一条渐近线方程为，

可得直线的方程为，与双曲线联立，

可得，，

设，，

由三角形的等面积法可得，

化简可得，①

由双曲线的定义可得，②

在三角形中，为直线的倾斜角），

由，，可得，

可得，③

由①②③化简可得，

即为，

可得，则．

故选：A．

【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等面积法．双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．

二、多选题

9．已知，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据不等的性质可判断选项A、C是否正确，根据函数的单调性可判断选项B、D是否正确，进而可得正确选项.

【详解】对于A项，因为，所以，故A项错误；

对于B项，因为，所以，即，又函数在上单调递增，所以，故B项正确；

对于C项，因为，所以，则 所以，可得，所以，故C项正确；

对于D项，令函数，得，所以函数在上单调递增，又，所以，即，故D项错误．

故选：BC．

10．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（    ）

A．的最小值为

B．已知曲线上的两点，到点的距离之和为，则线段的中点横坐标是4

C．设，则

D．过与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条

【答案】ABC

【分析】由已知求得抛物线的焦点，准线方程为，对于A，由抛物线的性质可知当为通径时，其值最小；对于B，由抛物线的定义进行判断即可；对于C，由抛物线的定义可得；对于D，分过且与轴平行和与抛物线相切两种情况判断

【详解】解：由题意知，，抛物线的焦点，准线方程为，

对于A，当轴时，取得最小值为，所以A正确；

对于B，曲线上的两点，到点的距离之和为，所以点，的横坐标之和为，则线段的中点横坐标为4，所以B正确；

对于C，设，则，当且仅当三点共线时取等号，所以C正确；

对于D，当直线过点且与轴平行时，直线与抛物线有且只有一个公共点，过点且与抛物线相切的直线有两条，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条，所以D错误，

故选：ABC

11．已知函数在上是单调函数，且.则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】分别把选项中的值代入函数表达式，验证函数的性质是否满足，即可判断.

【详解】对于A，，若，

可取
 

则，在上单减，故A正确.

对于B，，若，

，

此时可以取，使得函数在单减，故B正确.

对于C，，若，

即，

，故C错误.

对于D，，若，，

，故D错误.

故选：AB.

12．设函数和的定义域的交集为.若.不等式恒成立，则称构成“相关函数对”，下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BD

【分析】根据“相关函数对”的定义，对四个选项一一验证即可.

【详解】若.不等式恒成立，则称构成“相关函数对”，因此，当时， .当时， .

对于选项A: ，，如图示：

不存在x0,使得当时， 恒成立.故A错误.

对于选项B: ，，如图示：

当时， .当时， .故B正确.

对于C: ，,如图示：

不存在x0,使得当时， 恒成立.故C错误.

对于D: ，,如图示，

取时，当时， .当时， ..故D 正确.

故选：BD

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：

(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；

(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.

三、填空题

13．设为虚数单位，则的展开式中含的项为________.

【答案】

【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案.

【详解】的展开式的通项公式为，

令，则，

此时，

即含的项为.

故答案为：.

14．已知，则____________．

【答案】

【详解】试题分析：．

【解析】三角变换．

15．假设太阳光线垂直于平面，在阳光下任意转动棱长为的立方体，则它在平面上的投影面面积的最大值是________.

【答案】

【分析】首先想象如何放置单位立方体，才能使得投影最大，并画出投影图形，求面积的最值.

【详解】当正方体与底面只有一个交点，并且过此点的对角线所在直线与此平面垂直，这时，投影面积最大.

如图，为此时正方体在平面的投影，此图形是正六边形，中间的虚线构成等边三角形，并且边长为正方体面对角线，长度为，此等边三角形的面积为正六边形的面积为.

故答案为：．

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是确定如何放置单位立方体，才能使得投影最大.

四、双空题

16．设函数＝，记在区间上的最大值为，则当＝________时，的最小值为________．

【答案】       

【分析】令，求出函数的值域，得到，再对分类讨论得到，再求的最小值得解.

【详解】令，则，

当时，，当时，，

当时，取得极大值，也是最大值，

即，

当时，，

当时，

所以，所以.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

五、解答题

17．在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，若，.

（1）用表示，；

（2）求取最大值时的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）中由余弦定理、，所以，由正弦定理得，；

（2）由（1）知：，化简可得，

根据范围可得范围，再由的最大值可得的最大值及.

【详解】（1）由题知在中，由余弦定理知：

，

所以，且，

在中，因为，，所以，

由正弦定理知：，所以，

在中，.

（2）由（1）知：，，

所以

，

因为，所以，

当时，即时，取最大值，

所以，取最大值时，.

【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，考查了正弦函数的性质，关键是用表示边长，还要熟练掌握三角函数的性质.

18．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，中，，，E，F分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成的角的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由已知得，利用面面垂直的性质定理即可证得；

（2）由已知结合线面平行的判定定理知平面，结合线面平行的性质定理知，以C为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解.

【详解】（1）证明： 因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，，

又平面平面，且平面平面，平面，

平面.

（2）由E，F分别是，的中点，，

又平面，平面，平面，

又平面，平面平面，.

以C为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，

，∴可设，平面的一个法向量为，

则，取，得，

又，则.

∴直线与平面所成角的取值范围为.

【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：

设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

①两直线所成的角为(),；

②直线与平面所成的角为(),；

③二面角的大小为(),

19．新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为.如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：

（1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天，请用概率的知识解释其合理性；

（ii）以题目中的样本频率估计概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.

附：

若，则，，.

【答案】（1）有；（2）（i）答案见解析；（ii）250.

【分析】（1）根据列联表中的数据，利用求得，与临界表值对比下结论；

（2）(ⅰ)根据，利用小概率事件判断； (ⅱ)易得一个患者属于“长潜伏期”的概率是，进而得到，然后判断其单调性求解.

【详解】（1）依题意有，

由于，故有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

（2）(ⅰ)若潜伏期，

由，

得知潜伏期超过天的概率很低，因此隔离天是合理的；

(ⅱ)由于个病例中有个属于长潜伏期，

若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，

于是，

则，

，

当时，；

当时，；

∴，.

故当时，取得最大值.

【点睛】方法点睛：利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．

20．设数列是以为首项，为公比的等比数列.在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之向插入个数，，使，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.

（1）试写出，，；

（2）求.

【答案】（1），，；（2）.

【分析】（1）由题得，再利用等差数列的性质求出，，得解；

（2）设公差为，求出，，再求和得解.

【详解】依题意.

（1）,

所以，

由题得，

所以，，

所以，，.

（2）在和之间插入个数，，…，，

∵，，，…，，成等差数列，设公差为，

∴，

则，

∴，

∴，①

则，②

，得，

∴.

【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）分组求和法；（4）裂项相消法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.

21．已知椭圆 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问:在轴上是否存在定点,使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在,请说明理由.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（1）由，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径与直线相切，求出的值，由此可求出椭圆的方程；

（2）由得，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在轴上存在点，使为定值，定点为．

试题解析：（Ⅰ）由，得，即，①

又以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆为，

且圆与直线相切，

所以，代入①得，

则.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由得，且

设，则，

根据题意，假设轴上存在定点，使得为定值，则有

要使上式为定值，即与无关，则应，

即，此时为定值，定点为.

点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把直线方程与椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答的关键．

22．已知函数，是的导数，且.

(1)求的值，并判断在上的单调性；

(2)判断在区间内的零点个数，并加以证明.

【答案】(1)，在上单调递增；

(2)在区间内只有一个零点，证明见解析.

【分析】(1)对函数f(x)化简并求导，求出a值，再进行二次求导，判断值在给定区间上的正负得解；

(2)由(1)知，在上，把函数f(x)的零点等价转化成易于解决的另一函数的零点.

【详解】(1)，.

由，得，，令，

，，，在上单调递减，

则，故在上单调递增.

(2)由(1)知：，令得，

显然当时等式不成立，

当时，，则，

令，，

因为表示单位圆上的点与定点连线的斜率，

则当时，，，

所以在上单调递减，，

当，，

由零点存在性定理可知，存在唯一的一个零点使得.

故在区间内只有一个零点.

【点睛】(1)利用导数判断函数单调性，可以判断导函数的单调性，以确定导函数值的正负；

(2)较复杂函数的零点问题，关键在于合理地等价转化.