中考数学总复习05第五章圆PPT课件（安徽专用）

这是一份中考数学总复习05第五章圆PPT课件（安徽专用），文件包含§51圆的性质及与圆有关的位置关系ppt、§52与圆有关的计算ppt等2份课件配套教学资源，其中PPT共120页， 欢迎下载使用。
考点一　圆的有关概念及性质
2016—2020年全国中考题组
1.(2020吉林,6,2分)如图,四边形ABCD内接于☉O.若∠B=108°,则∠D的大小为 (　　)  A.54°　    B.62°　    C.72°　    D.82°
答案    C　根据圆内接四边形的性质得∠B+∠D=180°,∵∠B=108°,∴∠D=180°-108°=72°,故选C.
2.(2019吉林,5,2分)如图,在☉O中, 所对的圆周角∠ACB=50°,若P为 上一点,∠AOP=55°,则∠POB的度数为 (　　) A.30°　    B.45°　    C.55°　    D.60°
答案    B　由题意可得∠AOB=2∠ACB=100°.∴∠POB=100°-55°=45°.故选B.
3.(2020海南,10,3分)如图,已知AB是☉O的直径,CD是弦,若∠BCD=36°,则∠ABD等于 (　　) A.54°　    B.56°　    C.64°　    D.66°
答案    A　根据圆周角定理的推论得∠BCD=∠A,∵∠BCD=36°,∴∠A=36°,根据直径所对的圆周角是 直角可得∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-36°=54°,故选A.
4.(2020安徽,9,4分)已知点A,B,C在☉O上,则下列命题为真命题的是 (　　)A.若半径OB平分弦AC,则四边形OABC是平行四边形B.若四边形OABC是平行四边形,则∠ABC=120°C.若∠ABC=120°,则弦AC平分半径OBD.若弦AC平分半径OB,则半径OB平分弦AC
答案    B　对于选项A,虽然半径OB平分弦AC,但AC不一定平分OB,故四边形OABC不一定是平行四边 形,故A为假命题;对于选项B,∵四边形OABC是平行四边形,且OA=OB=OC,∴△OAB,△OBC均为等边三 角形,∴∠ABO=60°,∴∠ABC=2∠ABO=120°,则B为真命题;对于选项C,虽然∠ABC=120°,但点B不一定 是劣弧AC的中点,∴四边形OABC不一定是平行四边形,因而弦AC不一定平分半径OB,故C为假命题;对 于选项D,虽然弦AC平分半径OB,但过半径OB中点的弦有无数条,只有当AC⊥OB时,弦AC被半径OB平 分,D选项中没有说明此条件,故D为假命题.
思路分析　先根据各选项的条件画出草图,然后根据平行四边形的判定定理或者运用平行四边形的性 质来判断选项是否正确,判断时不能只注意特殊情况.
5.(2019湖北黄冈,7,3分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( ),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,点C是 的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为 (　 　) A.25 m　　B.24 m　　C.30 m　　D.60 m
答案    A　连接OD,因为点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点,所以O、D、C三点共线.BD= AB=20 m,设OB=x m,则OD=(x-10)m,在Rt△OBD中,OD2+BD2=OB2,即(x-10)2+202=x2,解得x=25,故选A.
思路分析　连接OD,利用点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点及弦心距的性质将问题转化到直角三 角形中,然后由勾股定理求出.
6.(2018陕西,9,3分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与☉O相交于 点D,连接BD,则∠DBC的大小为 (　　) A.15°　    B.25°　    C.35°　    D.45°
答案    A　∵AB=AC,∠BCA=65°,∴∠BCA=∠ABC=65°,∴∠BAC=50°,∵CD∥AB,∴∠BAC=∠ACD=50 °,根据圆周角定理的推论得∠ABD=∠ACD=50°,所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°,故选A.
7.(2020宁夏,12,3分)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆 材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁 中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(1尺=10寸).这根圆柱形木材的直径是     　　     寸. 
解析　由垂径定理可知OE垂直平分AB,∴AD=5寸,设半径OA=x寸,则OD=(x-1)寸.在Rt△AOD中,AD2+ OD2=OA2,∴52+(x-1)2=x2,解得x=13,∴直径为26寸.
8.(2019安徽,13,5分)如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D.若☉O的半径为2,则 CD的长为　　 　    . 
解析　如图,连接OC、OB,则∠COB=2∠CAB=60°,OC=OB,∴△COB为等边三角形,∴BC=2.∵∠CBA=45°,CD⊥AB,∴CB= CD,∴CD= .
解题关键　连接OC、OB,得到△COB是等边三角形是解答本题的关键.
9.(2019内蒙古包头,24,10分)如图,在☉O中,B是☉O上一点,∠ABC=120°,弦AC=2 ,弦BM平分∠ABC交AC于点D,连接MA,MC.(1)求☉O半径的长;(2)求证:AB+BC=BM.  
解析　(1)∵∠ABC=120°,BM平分∠ABC,∴∠MBA=∠MBC= ∠ABC=60°.易知∠ACM=∠ABM=60°,∠MAC=∠MBC=60°,∴△AMC是等边三角形.如图,连接OA,OC,∴AO=CO,∠AOC=2∠AMC=120°,∴∠OAC=∠OCA=30°.作OH⊥AC于点H,∴AH=CH= AC= .在Rt△AOH中,cs∠OAH= ,即 = ,∴AO=2.∴☉O的半径为2. (4分)
 (2)证明:在BM上截取BE=BC,连接CE,∵∠MBC=60°,BE=BC,∴△EBC为等边三角形,∴CE=CB=BE,∠BCE=60°,∴∠BCD+∠DCE=60°.∵∠ACM=60°,∴∠ECM+∠DCE=60°,∴∠ECM=∠BCD.∵△AMC为等边三角形,∴AC=MC,∴△ACB≌△MCE,∴AB=ME.∵ME+EB=BM,∴AB+BC=BM. (10分)
10.(2018安徽,20,10分)如图,☉O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长. 
解析　(1)尺规作图如图所示. (4分) (2)连接OE交BC于M,连接OC.因为∠BAE=∠CAE,所以 = ,易得OE⊥BC,所以EM=3.Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE的长为 . (10分)
思路分析　对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由∠BAE=∠CAE可得 = ,可推出OE⊥BC,最后利用勾股定理求出CE的长.
11.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,AC是☉O的直径,DE⊥AB,垂足为E.(1)延长DE交☉O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB;(2)过点B作BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB= ,DH=1,∠O-HD=80°,求∠BDE的大小.
解析　(1)证明:∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.又∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,∴∠F=∠PBC.∵四边形BCDF是圆内接四边形,∴∠F+∠DCB=180°,又∵∠PCB+∠DCB=180°,∴∠F=∠PCB,∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.(2)连接OD,∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°, 又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.
又由(1)知BC∥DE,∴四边形DHBC为平行四边形,∴BC=DH=1.在Rt△ABC中,AB= ,tan∠ACB= = ,∴∠ACB=60°,∠CAB=30°.从而BC= AC=OD,∴DH=OD.在等腰三角形DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,∴∠ODH=20°.设DE交AC于N.∵BC∥DE,∴∠ONH=∠ACB=60°.∴∠NOH=180°-(∠ONH+∠OHD)=40°,∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°,∴∠CBD=∠OAD=20°.∵BC∥DE,∴∠BDE=∠CBD=20°.
一题多解　(1)证明:易证DF∥BC,从而CD=BF,且 = =1,∴PB=PC.(2)连接OD,设∠BDE=x,则∠EBD=90°-x,易证四边形BCDH为平行四边形,∴BC=DH=1,∵AB= ,∴∠CAB=30°,AC=2,∴∠ADB=∠ACB=60°,∵OD=OA=1=DH,∴∠ODH=180°-2∠OHD=180°-2×80°=20°,∴∠OAD=∠ODA=∠ADB-(∠ODH+x)=60°-(20°+x)=40°-x.又∵∠AOD=2∠ABD,∴180°-2(40°-x)=2(90°-x),解得x=20°,即∠BDE=20°.
考点二　与圆有关的位置关系
1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,点C在☉O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于 (　　 ) A.55°　    B.70°　    C.110°　    D.125°
答案    B　连接OA,OB.∵PA,PB是☉O的两条切线,∴OA⊥AP,OB⊥PB.∴∠OAP=∠OBP=90°.∵∠AOB=2∠ACB=2×55°=110°,∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-110°=70°.故选B. 
方法总结　在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在 圆中通过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法.
2.(2018福建,9,4分)如图,AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D.若∠ACB=50°,则∠BOD 等于 (　　) A.40°　    B.50°　    C.60°　    D.80°
答案    D　由BC与☉O相切于点B,可得∠ABC=90°,由三角形内角和为180° 及∠ACB=50°可得∠BAC=40°,由OA=OD得∠ODA=∠BAC=40°,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BOD= ∠ODA+∠OAD=80°.
3.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE= 　　　     °. 
解析    ∵AB,AC分别与圆O相切于点D,E,∴OD⊥AB,OE⊥AC,在菱形ABOC中,AB=BO,∵点D是AB的中 点,∴BD= AB= BO,∴∠BOD=30°,∴∠B=60°,又∵OB∥AC,∴∠A=120°,∴在四边形ADOE中,∠DOE=360°-90°-90°-120°=60°.
解题关键　由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.
4.(2019内蒙古包头,18,3分)如图,BD是☉O的直径,A是☉O外一点,点C在☉O上,AC与☉O相切于点C,∠CAB=90°,若BD=6,AB=4,∠ABC=∠CBD,则弦BC的长为　　　     . 
解析　连接CD,∵BD是直径,∴∠DCB=90°,又∠CAB=90°,∠ABC=∠CBD,∴△CAB∽△DCB,∴ = ,即 = ,∴BC= =2 .
5.(2020安徽,20,10分)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于 点F,BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.  
证明　(1)因为AB为半圆O的直径,所以∠ACB=∠BDA=90°.在Rt△CBA与Rt△DAB中,因为BC=AD,BA=AB,所以△CBA≌△DAB. (5分)(2)证法一:因为BE=BF,又由(1)知BC⊥EF,
所以BC平分∠EBF.因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BE⊥AB.于是,∠DAC=∠DBC=∠CBE=90°-∠E=∠CAB,故AC平分∠DAB. (10分)证法二:因为BE=BF,所以∠E=∠BFE.因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BE⊥AB.于是,∠CAB=90°-∠E=90°-∠BFE=90°-∠AFD=∠CAD.故AC平分∠DAB. (10分)
思路分析　(1)根据直径所对的圆周角是直角并依据HL证明两个直角三角形全等;(2)两个思路:①根据 直径所对的圆周角是直角得BC⊥EF,由BE是切线可得BE⊥AB,再由同弧所对的圆周角相等可得∠DAC =∠DBC,利用BE=BF及互余性质可证∠DAC=∠CAB,问题解决;②先根据BE=BF得∠E=∠BFE,根据BE 是切线可得BE⊥AB,再利用互余性质可证∠CAB=∠CAD,问题解决.
6.(2020云南昆明,20,8分)如图,点P是☉O的直径AB延长线上的一点(PB0),则MD=8x,∴OA=OD=13x,又∵AB=12,AB⊥CD,∴AM=6.在Rt△AOM 中,(5x)2+62=(13x)2,解得x= (舍负),∴半径OA= ,∴☉O的周长为13π.
方法规律　如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则 +d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.  
5.(2017陕西,9,3分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠C=30°,☉O的半径为5.若点P是☉O上的一点,在△ ABP中,PB=AB,则PA的长为 (　 　) A.5　    B. 　    C.5 　    D.5 
答案    D　连接OB、OA、OP, ∵∠C=30°,∴∠AOB=60°,∵OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴AB=5.∵PB=AB=OA=OP,∴OB⊥AP,∴AP=2AB·cs 30°=2×5×cs 30°=2×5× =5 .故选D.
6.(2018山东青岛,9,3分)如图,点A、B、C、D在☉O上,∠AOC=140°,点B是 的中点,则∠D的度数是 (　　) A.70°　    B.55°　    C.35.5°　    D.35°
答案    D　如图,连接OB.∵点B是 的中点,∴ = ,∴∠AOB= ∠AOC= ×140°=70°,∴∠D= ∠AOB= ×70°=35°. 
7.(2020四川成都,13,4分)如图,A,B,C是☉O上的三个点,∠AOB=50°,∠B=55°,则∠A的度数为　　 　    . 
解析　如图所示,设AC与OB交于点D. ∵∠AOB与∠ACB所对的弧为同弧,∴∠ACB= ∠AOB= ×50°=25°,又∵∠B=55°,∴∠CDB=180°-∠ACB-∠B=100°,∴∠ODA=∠CDB=100°,∴∠A=180°-∠AOD-∠ODA=30°.
8.(2018内蒙古呼和浩特,12,3分)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为　　　     .
解析　设圆的半径为r,则内接正方形的边心距为 r,内接正三角形的边心距为 r,故 r∶ r= ∶1.
9.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD= 6,则AC=　　　     . 
解析　连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以∠BAD=30°,因为 =cs 30°,所以AB= = =4 .在Rt△ABC中,AC=AB×cs 60°=4 × =2 .
10.(2019福建,24,12分)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=AC,AC⊥BD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且 DF=DC,连接AF,CF.(1)求证:∠BAC=2∠CAD;(2)若AF=10,BC=4 ,求tan∠BAD的值.  
解析　(1)证明:∵AC⊥BD,∴∠AED=90°,在Rt△AED中,∠ADE=90°-∠CAD.∵AB=AC,∴ = ,∴∠ACB=∠ABC=∠ADE=90°-∠CAD.在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2(90°-∠CAD),即∠BAC=2∠CAD.(2)∵DF=DC,∴∠FCD=∠CFD.∵∠BDC=∠FCD+∠CFD,∴∠BDC=2∠CFD.∵∠BDC=∠BAC,且由(1)知∠BAC=2∠CAD,∴∠CFD=∠CAD,∵∠CAD=∠CBD,∴∠CFD=∠CBD,∴CF=CB.∵AC⊥BF,∴BE=EF,故CA垂直平分BF,
∴AC=AB=AF=10.设AE=x,则CE=10-x.在Rt△ABE和Rt△BCE中,AB2-AE2=BE2=BC2-CE2,又∵BC=4 ,∴102-x2=(4 )2-(10-x)2,解得x=6.∴AE=6,CE=4,∴BE= =8.∵∠DAE=∠CBE,∠ADE=∠BCE,∴△ADE∽△BCE,∴ = = ,∴DE=3,AD=3 .过点D作DH⊥AB,垂足为H.
 ∵S△ABD= AB·DH= BD·AE,BD=BE+DE=11,∴10DH=11×6,故DH= .在Rt△ADH中,AH= = ,∴tan∠BAD= = .
11.(2019山西,21,8分)阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:
任务:(1)观察发现:IM=R+d,IN=　　　    (用含R,d的代数式表示);(2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由;(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1)(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;(4)应用:若△ABC的外接圆的半径为5 cm,内切圆的半径为2 cm,则△ABC的外心与内心之间的距离为     　　    cm.
解析　(1)R-d. (1分)(2)BD=ID. (2分)理由如下:∵点I是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI. (3分)∵∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI,∴∠BID=∠DBI. (4分)∴BD=ID. (5分)(3)证明:由(2)知BD=ID,∴IA·ID=DE·IF.又∵IA·ID=IM·IN,∴DE·IF=IM·IN. (6分)∴2R·r=(R+d)(R-d).∴R2-d2=2Rr.∴d2=R2-2Rr. (7分)(4) . (8分)
思路分析　(1)根据线段的差易得IN=R-d;(2)根据点I是△ABC的内心,推出∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI, 进而根据外角知识及圆周角定理得到∠BID=∠DBI,即可得到BD=ID;(3)利用任务(1)(2)的结论得出DE· IF=IM·IN,进而得出d2=R2-2Rr;(4)运用(3)中推出的公式计算得解.
12.(2018湖北黄冈,18,7分)如图,AD是☉O的直径,AB为☉O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过B 点的切线交OP于点C.(1)求证:∠CBP=∠ADB;(2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长.  
解析　(1)证明:连接OB,则OB⊥BC,∴∠OBD+∠DBC=90°,又AD为☉O的直径,∴∠DBA=90°,∴∠DBP=∠DBC+∠CBP=90°,∴∠OBD=∠CBP,又OD=OB,∴∠OBD=∠ODB,∴∠ODB=∠CBP,即∠ADB=∠CBP.(2)在Rt△ADB和Rt△APO中,∠DAB=∠PAO,∴Rt△ADB∽Rt△APO,∴ = ,∵AB=1,AO=2,∴AD=4,∴AP= =8,∴BP=7.
13.(2016宁夏,23,8分)已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2 ,求CD的长.  
解析　(1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C,又∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC. (4分)(2)连接AE,则AE⊥BC, 
∴BE=EC= BC,在△ABC与△EDC中,∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC, (6分)∴ = ,得DC= = ,由AB=4,BC=2 ,得DC= = . (8分)
思路分析　(1)由ED=EC可得∠CDE=∠C,由圆内接四边形的性质可得∠CDE=∠B,进而求得AB=AC;(2) 连接AE,则AE⊥BC,证明△ABC∽△EDC,进而求得CD的长.
14.(2017湖北武汉,21,8分)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D.(1)求证:AO平分∠BAC;(2)若BC=6,sin∠BAC= ,求AC和CD的长.  
解析　(1)证明:连接BO.∵AB=AC,OB=OC,∴A、O在线段BC的中垂线上,∴AO⊥BC.又∵AB=AC,∴AO平分∠BAC.(2)如图,延长AO交BC于点H,过点D作DK⊥AO,交AO于点K. 由(1)知AO⊥BC,∵OB=OC,BC=6,∴BH=CH= BC=3,∠COH= ∠BOC,∵∠BAC= ∠BOC,∴∠COH=∠BAC.
在Rt△COH中,∠OHC=90°,sin∠COH=sin∠BAC= = .∵CH=3,∴sin∠COH= = ,∴CO=AO=5,∴OH= = =4,∴AH=AO+OH=5+4=9,tan∠COH=tan∠DOK= .在Rt△ACH中,∠AHC=90°,AH=9,CH=3,∴tan∠CAH= = = ,AC= = =3 ,由(1)知∠CAH=∠BAH,∴tan∠BAH=tan∠CAH= .设DK=3a(a>0),在Rt△ADK中,tan∠DAK= ,在Rt△DOK中,tan∠DOK= ,
∴OK=4a,DO=5a,AK=9a,∴AO=OK+AK=13a=5,∴a= ,∴DO=5a= ,∴CD=OC+DO=5+ = .
一题多解　(1)证明:连接OB.∵AO=AO,BO=CO,AB=AC,∴△AOB≌△AOC,∴∠BAO=∠CAO.即AO平分∠BAC.(2)过点C作CE⊥AB,交AB于点E,∵sin∠BAC= = ,∴可设AC=5m(m>0),则EC=3m,∴AE=4m,BE=m.在Rt△CBE中,BE2+EC2=BC2,即m2+(3m)2=36,解得m= (舍负),∴AC=3 .延长AO交BC于点H,则AH⊥BC,且BH=CH=3,过点O作OF⊥AH,交AB于点F,
 ∵∠BOC=2∠BAC,∠BOC=2∠HOC,∴∠BAC=∠HOC,∴sin∠HOC=sin∠BAC= ,又HC=3,∴OC=5,OH=4,∴AH=OA+OH=9,∴tan∠BAH= = = ,∴OF= OA= .
∵OF∥BC,∴ = ,即 = ,解得DC= .
1.(2017吉林,6,2分)如图,直线l是☉O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交☉O于点C.若AB=12,OA =5,则BC的长为 ( 　　) A.5　    B.6　    C.7　    D.8
答案    D　因为AB是圆O的切线,所以OA⊥AB,由勾股定理可得,OB=13,又因为OC=5,所以BC=OB-OC=13-5=8,故选D.
2.(2018重庆,9,4分)如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的 垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为 (　　 ) A.4　    B.2 　    C.3　    D.2.5
答案    A　连接DO,∵PD与☉O相切于点D,∴∠PDO=90°.∵BC⊥PC,∴∠PCB=90°,∴DO∥BC,∴△ POD∽△PBC,∴ = ,∴ = ,∴PA=4,故选A.
思路分析　利用切线的性质得出∠PDO=90°,再利用相似三角形的判定和性质求出结果.
3.(2018浙江杭州,14,4分)如图,AB是☉O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交☉O于D,E两 点,过点D作直径DF,连接AF,则∠DFA=　　　    . 
解析　∵点C是半径OA的中点,∴OC= OA= OD,又∵DE⊥AB,∴∠CDO=30°,∴∠DOA=60°,∴∠DFA= ∠DOA=30°.
4.(2020辽宁营口,23,12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点O为圆心,OC为半 径作☉O与线段AC交于点D.(1)求证:AB为☉O的切线;(2)若tan A= ,AD=2,求BO的长.  
解析　(1)证法一:过点O作OH⊥AB于点H. (1分)∵∠ACB=90°,∴OC⊥BC,∵BO平分∠ABC,OH⊥AB,∴OH=OC,即OH为☉O的半径. (3分)又∵OH⊥AB,∴AB为☉O的切线. (5分)证法二:过点O作OH⊥AB于点H. (1分)∴∠OHB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠OHB=∠ACB,∵BO平分∠ABC,∴∠HBO=∠CBO,∵BO=BO,∴△HBO≌△CBO,∴OH=OC,即OH为☉O的半径. (3分)又∵OH⊥AB,∴AB为☉O的切线. (5分)
 (2)解法一:设☉O的半径为3x(x>0),则OH=OD=OC=3x. (6分)在Rt△AOH中,∵tan A= ,∴ = ,∴ = ,∴AH=4x,∴AO= = =5x, (7分)∵AD=2,∴AO=OD+AD=3x+2,
∴3x+2=5x,∴x=1, (9分)∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3,∴AC=OA+OC=5+3=8.在Rt△ABC中,∵tan A= ,∴BC=AC·tan A=8× =6,∴在Rt△BCO中,BO= = =3 . (12分)解法二:设☉O的半径为3x(x>0),则OH=OD=OC=3x. (6分)在Rt△AOH中,∵tan A= ,∴ = ,∴ = ,∴AH=4x.∵AD=2,∴OA=OD+AD=3x+2, (7分)在Rt△AOH中,∵AO2=OH2+AH2,∴(3x+2)2=(3x)2+(4x)2, (8分)整理得4x2-3x-1=0,
解得x1=1,x2=- (舍), (9分)∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3,∴AC=OA+OC=5+3=8.在Rt△ABC中,∵tan A= ,∴BC=AC·tan A=8× =6,∴在Rt△BCO中,BO= = =3 . (12分)
5.(2020四川成都,20,10分)如图,在△ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC为半径画☉O,☉O与边AB相 切于点D,AC=AD,连接OA交☉O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若AB=10,tan B= ,求☉O的半径;(3)若F是AB的中点,试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由.  
解析　(1)证明:连接OD,∵☉O与边AB相切于D,∴∠ADO=90°,∵OC=OD,AC=AD,AO=AO,∴△ACO≌△ADO(SSS),∴∠ACO=∠ADO=90°,∴OC⊥AC,又∵C为☉O上一点,∴AC是☉O的切线.(2)∵AB=10,tan B= ,∠BCA=90°,∴AC=8,BC=6,∴sin B= = ,设CO=r,则DO=r,
∵∠ODB=90°,sin B= ,∴OB= = r,∴BC=OB+CO= r+r=6,∴r= .即☉O的半径为 .(3)BD+CE=AF.证明:连接ED,由(1)得∠CAE=∠DAE,又∵AC=AD,AE=AE,∴△ACE≌△ADE,∴CE=DE.∵F为AB的中点,∠ACB=90°,∴AF=CF=BF.
∴∠CAF=∠ACF,∴∠CFD=∠CAF+∠ACF=2∠ACF.∵∠ACB=90°,∴∠BCF=90°-∠ACF.∵OC=OE,∴∠BCF=∠OEC=90°-∠ACF.∵△ACE≌△ADE,∴∠AEC=∠AED,∴∠OEC=∠OED=90°-∠ACF,∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-(90°-∠ACF)-(90°-∠ACF)=2∠ACF,∴∠CFD=∠DEF,∴DE=DF,∴BD+CE=BD+DF=BF,∴BD+CE=AF.
6.(2020内蒙古包头,24,10分)如图,AB是☉O的直径,半径OC⊥AB,垂足为O,直线l为☉O的切线,A是切点, D是OA上一点,CD的延长线交直线l于点E,F是OB上一点,CF的延长线交☉O于点G,连接AC,AG,已知☉O 的半径为3,CE= ,5BF-5AD=4.(1)求AE的长;(2)求cs∠CAG的值及CG的长.  
解析　(1)过点C作CH⊥l于点H,∴∠AHC=90°. ∵直线l为☉O的切线,A是切点,OC⊥AB,∴∠AOC=∠OAH=90°,∴四边形AOCH是矩形.∵OA=OC,∴四边形AOCH是正方形,∴AH=CH=OC=3.在Rt△EHC中,∵EH2+HC2=CE2,CE= ,∴EH=5,∴AE=EH-AH=2. (3分)(2)∵OC⊥AB,∴∠AOC=∠BOC=90°,∴∠AGC=∠CAB=45°,
∵∠GCA=∠ACF,∴△GCA∽△ACF,∴∠CAG=∠CFA.在Rt△EAD和Rt△EHC中,∵tan∠AED=tan∠HEC,∴ = ,∴AD=2× = .∵5BF-5AD=4,∴BF=2,∵OB=3,∴FO=1.在Rt△COF中,CF= = ,∴cs∠CAG=cs∠CFA= . (8分)∵△GCA∽△ACF,∴ = .在Rt△AOC中,AC= =3 ,∴CG= . (10分)
思路分析　(1)过点C作直线l的垂线,垂足为H,通过∠AOC=∠OAH=∠CHA=90°,OA=OC,判断出四边形 OAHC是正方形,从而得到CH=AH=3.再根据勾股定理,在Rt△CEH中求出EH=5,最后得到AE的长.(2)通过同弧所对的圆周角是圆心角的一半,得到∠AGC=∠CAB=45°,再通过∠GCA=∠ACF,证得△GCA ∽△ACF,将∠CAG转化为∠CFA.通过(1)中线段的长度和tan∠AED=tan∠HEC,求出AD= ,再根据5BF-5AD=4,求出BF=2,OF=1.根据勾股定理,在Rt△COF中,得到CF= ,求出cs∠CAG= .由△GCA∽△ACF,根据相似比和AC=3 ,得到CG= .
7.(2019江西,19,8分)如图1,AB为半圆的直径,点O为圆心,AF为半圆的切线,过半圆上的点C作CD∥AB交 AF于点D,连接BC.(1)连接DO,若BC∥OD,求证:CD是半圆的切线;(2)如图2,当线段CD与半圆交于点E时,连接AE,AC,判断∠AED和∠ACD的数量关系,并证明你的结论.  
解析　(1)证法一:连接OC. ∵AF为半圆的切线,∴∠A=90°.∵BC∥DO,∴∠CBO=∠AOD,∠BCO=∠COD.∵OC=BO,∴∠CBO=∠BCO.∴∠COD=∠AOD.在△OAD和△OCD中, 
∴△OAD≌△OCD(SAS).∴∠OCD=∠A=90°.∴CD是半圆的切线.证法二:连接OC.∵CD∥AB,BC∥OD,∴四边形BCDO是平行四边形,∴CD=BO.∵OB=OA,∴CD=OA.∵CD∥OA,∴四边形OADC是平行四边形.又∵AF为半圆的切线,∴∠A=90°.∴▱OADC是矩形,∴∠OCD=90°.∴CD是半圆的切线.(2)∠AED+∠ACD=90°.证法一:∵CD∥AB,∴∠ACD=∠BAC.∵四边形ABCE是圆内接四边形,
∴∠B+∠AEC=180°.∵∠AED+∠AEC=180°,∴∠AED=∠B.∵AB为半圆的直径,∴∠BCA=90°.∴∠CAB+∠B=90°.∴∠AED+∠ACD=90°.证法二:连接BE,则∠ACD=∠ABE.∵CD∥AB,∴∠AED=∠BAE.∵AB为半圆的直径,∴∠AEB=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,∴∠AED+∠ACD=90°.
思路分析　(1)要证CD与半圆相切,由于点C为半圆上一点,所以必须连接OC并证明∠OCD=90°,其中证 法一的思路是通过证明△OCD≌△OAD,从而得到∠OCD=∠A=90°.证法二的思路是证明四边形OADC 是矩形,从而得到∠OCD=90°.(2)通过观察,易得到∠AED+∠ACD=90°.证法一的思路是由AB∥CD得∠DCA=∠CAB,由四边形ABCE 为圆内接四边形得到∠B=∠AED,由AB为直径得∠ACB=90°,从而得到∠B+∠CAB=90°,最终推出∠AED +∠ACD=90°.证法二的思路是连接BE,易证∠DCA=∠EBA,由AB∥CD得∠EAB=∠AED,由AB为直径易 得∠EBA+∠EAB=90°,最终推出∠AED+∠ACD=90°.
8.(2019四川成都,20,10分)如图,AB为☉O的直径,C,D为圆上的两点,OC∥BD,弦AD,BC相交于点E.(1)求证: = ;(2)若CE=1,EB=3,求☉O的半径;(3)在(2)的条件下,过点C作☉O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQ∥CB交☉O于F,Q两点(点F在线 段PQ上),求PQ的长.  
解析　(1)证明:连接OD.∵OC∥BD,∴∠OCB=∠DBC,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∴∠OBC=∠DBC,∴∠AOC=∠COD,∴ = .(2)连接AC.∵ = ,∴∠CBA=∠CAD.又∵∠BCA=∠ACE,∴△CBA∽△CAE.
∴ = .∴CA2=CE·CB=CE·(CE+EB)=1×(1+3)=4.∴CA=2.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ACB中,由勾股定理,得AB= = =2 .∴☉O的半径为 .
(3)如图,设AD与CO相交于点N,
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠ANO=∠ADB=90°.∵PC为☉O的切线,
∴∠PCO=90°.∴∠ANO=∠PCO.∴PC∥AE.∴ = = .∴PA= AB= ×2 = .∴PO=PA+AO= + = .过点O作OH⊥PQ于点H,则∠OHP=90°=∠ACB.∵PQ∥CB,∴∠BPQ=∠ABC.∴△OHP∽△ACB.∴ = = .
∴OH= = = ,PH= = = .连接OQ.在Rt△OHQ中,由勾股定理,得HQ= = = .∴PQ=PH+HQ= .
思路分析　(1)依据题意推得∠AOC=∠COD,可证 = ;(2)先证△CBA∽△CAE,求得CA的长,再在Rt△ACB中,由勾股定理求得AB的长,进而可得半径长;(3)作OH⊥PQ,证△OHP∽△ACB,根据相似的性质 以及勾股定理求得HQ的长,再求PQ的长.
9.(2019天津,21,10分)已知PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠APB=80°,C为☉O上一点.(1)如图①,求∠ACB的大小;(2)如图②,AE为☉O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求∠EAC的大小.  
解析　(1)如图,连接OA,OB,∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB,即∠OAP=∠OBP=90°,∵∠APB=80°,∴在四边形OAPB中,∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=100°,∵在☉O中,∠ACB= ∠AOB,∴∠ACB=50°. 
(2)如图,连接CE,∵AE为☉O的直径,∴∠ACE=90°,由(1)知,∠ACB=50°,∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°,∴∠BAE=∠BCE=40°,∵在△ABD中,AB=AD,∴∠ADB=∠ABD= (180°-∠BAE)=70°,又∠ADB是△ADC的一个外角,有∠EAC=∠ADB-∠ACB,∴∠EAC=20°.
思路分析　(1)连接OA,OB,根据切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°,根据四边形内角和可得∠AOB=100°, 由圆周角定理得∠ACB= ∠AOB=50°;(2)连接CE,由圆周角定理及其推论(直径所对的圆周角是直角)可得∠BCE=∠BAE=40°,根据等边对等角 得∠ABD=∠ADB=70°,依据∠ADB=∠EAC+∠ACB可得∠EAC=20°.
方法指导　圆中求角度的问题,优先考虑运用圆周角定理及其推论,因此先要找出图形中的圆心角或圆 周角,再看所求角与这些特殊角之间的关系.此外还应注意题干中的一些隐含条件,一般会涉及等腰三角 形的性质、三角形内角和定理、三角形内外角的关系等.
10.(2018新疆,22,12分)如图,PA与☉O相切于点A,过点A作AB⊥OP,垂足为C,交☉O于点B.连接PB,AO,并 延长,AO交☉O于点D,与PB的延长线交于点E.(1)求证:PB是☉O的切线;(2)若OC=3,AC=4,求sin E的值.  
解析　(1)证明:连接BO.∵PA为☉O的切线,∴∠PAO=90°,即∠PAB+∠OAB=90°,∵AB⊥OP,∴AC=BC.∴OP垂直平分AB.∴PA=PB,故∠PAB=∠PBA.∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠PBA+∠OBA=∠PAB+∠OAB=90°,∴PB⊥OB.又∵点B在☉O上,∴PB是☉O的切线. (5分)(2)∵AC=4,且AB⊥OP,∴AB=8.在Rt△ACO中,OC=3,AC=4,∴OA= =5,∴AD=10.连接BD.∵OC=3,∴BD=2OC=6.∵PB是☉O的切线,
∴∠DBE+∠OBD=90°.由题意知AD是☉O的直径,∴∠OBA+∠OBD=90°,∴∠OBA=∠DBE.又∠OAB=∠OBA,∴∠OAB=∠DBE.而∠E=∠E,∴△BDE∽△ABE.∴ = = = ,∴ = , = .则有DE= ,∴OE= .∴在Rt△EBO中,sin E= = . (12分 )
11.(2018辽宁沈阳,22,10分)如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延 长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.  
解析　(1)连接OA, ∵AC为☉O的切线,OA是☉O的半径,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°,∵∠ADE=25°,∴∠AOE=2∠ADE=50°,∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵ = ,∴∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C,∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴3∠C=90°,∴∠C=30°,在△OAC中,∠OAC=90°,∠C=30°,∴OA= OC,设☉O的半径为r,∵CE=2,∴r= (r+2),∴r=2,∴☉O的半径为2.
12.(2018陕西,23,8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,分别与AC、 BC相交于点M,N.(1)过点N作☉O的切线NE与AB相交于点E,求证:NE⊥AB;(2)连接MD,求证:MD=NB.  
解析　(1)连接ON,则OC=ON.∴∠DCB=∠ONC.∵在Rt△ABC中,D为斜边AB的中点,∴CD=DB,∴∠DCB=∠B,∴∠ONC=∠B,∴ON∥AB. (2分)∵NE是☉O的切线,∴NE⊥ON,∴NE⊥AB. (4分)(2)连接ND,则∠CND=∠CMD=90°.∵∠ACB=90°,∴四边形CMDN是矩形, (6分)∴MD=CN.由(1)知,CD=BD,∴CN=NB,
∴MD=NB. (8分)
13.(2018湖北武汉,21,8分)如图,PA是☉O的切线,A是切点,AC是直径,AB是弦,连接PB、PC,PC交AB于点 E,且PA=PB.(1)求证:PB是☉O的切线;(2)若∠APC=3∠BPC,求 的值.  
解析　(1)证法一:连接OP,OB.在△OAP和△OBP中, ∴△OAP≌△OBP,∴∠OAP=∠OBP,∵PA是☉O的切线,∴∠OBP=∠OAP=90°,∴PB是☉O的切线.证法二:连接OB.∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°.∵OA=OB,PA=PB,∴∠OAB=∠OBA,∠PAB=∠PBA.∴∠PBO=∠PAO=90°,∴PB是☉O的切线.(2)连接BC,设OP交AB于点F,∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.∵PA,PB是☉O的切线,
∴PO垂直平分AB,PO平分∠APB,∴BC∥PO,∴∠OPC=∠PCB.∵∠APC=3∠BPC,∴∠OPC=∠BPC,∴∠PCB=∠BPC,∴BC=BP.设OF=t,则BC=BP=2t,由△PBF∽△POB,得PB2=PF·PO,即(2t)2=PF·(PF+t).解得PF= t(取正值). ∵△PFE∽△CBE,∴ = = .
时间:40分钟　分值:63分
A组　2018—2020年模拟·基础题组
一、选择题（每小题4分，共8分）
1.(2019安徽蚌埠禹会一模,7)如图,☉O是△ABC的内切圆,点D,E为切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE等于 (　　) A.70°　    B.110°　    C.120°　    D.130°
答案    B　因为BA、BC都与圆O相切,D、E分别为切点,所以∠OEB=∠ODB=90°,所以∠B+∠EOD=180°,又∠A+∠B+∠C=180°,所以∠EOD=∠A+∠C=110°,故选B.
2.(2018安徽合肥包河一模,8)如图,已知PA是☉O的切线,A为切点,PO与☉O相交于B点,B为OP的中点,C 为☉O上一点,AC∥OP,则∠PAC+∠POC= (　 　) A.255°　    B.285°　    C.280°　    D.270°
答案    D　如图,连接OA,AB,因为PA为☉O的切线,所以OA⊥PA,又B为OP的中点,所以AB= OP=OB=OA,所以∠AOB=60°,又AC∥OP,所以∠CAO=∠AOB=60°,又OA=OC,所以△AOC为等边三角形,所以∠ AOC=60°,所以∠PAC+∠POC=∠PAO+∠CAO+∠POA+∠AOC=90°+60°+60°+60°=270°. 
3.(2020安徽亳州中考模拟预测卷一,13)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的点,过点C作☉O的切线交AB 的延长线于点D.若∠A=32°,则∠D=　　　     度. 
二、填空题（每小题5分，共25分）
解析　连接OC,由圆周角定理得,∠COD=2∠A=64°,∵CD为☉O的切线,∴OC⊥CD,∴∠D=90°-∠COD= 26°. 
4.(2020安徽九年级大联考,13)如图,AB为直径,∠BED=40°,则∠ACD=　　　     度. 
解析　连接OD,∵∠BED=40°,∴∠BOD=80°,∵AB为直径,∴∠AOB=180°,∴∠AOD=100°,∴∠ACD=50°. 
5.(2019安徽合肥168教育集团一模,13)如图,已知AB是☉O的直径,PA=PB,∠P=60°,则劣弧 所对的圆心角等于　　　     . 
解析　∵PA=PB,∠P=60°,∴∠A=∠B=60°,又OA=OC=OB=OD,∴△ACO,△BOD都是等边三角形,∴∠COA=∠BOD=60°,∴劣弧CD所对的圆心角为60°.
6.(2020安徽中考全真模拟一,13)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°,以BC为直径的☉O交AB于 点D,E是☉O上一点,且 = ,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为　　         . 
解析　∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠ABC=34°,∵ = ,∴∠COE=2∠ABC=68°,又∵∠OCF=∠OEF=90°,∴∠F=360°-90°-90°-68°=112°.
解题关键　由∠ACB=90°,∠A=56°及圆周角定理得出∠COE的度数是解答本题的关键.
7.(2020安徽名校三模,13)如图,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB=　　 　    . 
解析　连接OA、OB,∵∠ACB=135°,∴劣弧AB所对的圆周角为180°-135°=45°,∴∠AOB=2×45°=90°,又 OA=OB,∴AB= OA=2 . 
8.(2020安徽合肥四十六中一模,17)已知CD为Rt△ABC斜边AB上的高,以CD为直径的圆交BC于E点,交 AC于F点,G为BD的中点.(1)求证:GE为☉O的切线;(2)若tan B= ,GE=5,求AD的长.  
三、解答题(共30分)
解析　(1)证明:连DE、OE.∵CD为☉O的直径,∴∠CED=∠BED= 90°,∵G为BD的中点,∴GE=GD,∴∠GED=∠GDE,∵OE=OD,∴∠OED=∠ODE,∴∠GED+∠OED=∠GDE+∠ODE,∴∠GEO=∠GDO,∵CD⊥AB,∴∠GEO=∠GDO=90°,∴GE为☉O的切线.
 (2)∵CD⊥AB,∴∠ACD=90°-∠A.∵∠BCA=90°,∴∠B= 90°-∠A.∴∠B=∠ACD,∵tan B= = =tan∠DCA= = ,∴BD=4AD,
∵GE=5,∴BD=10,∴AD= .
9.(2020安徽临泉第二次调研,21)如图,AB是圆O的一条弦,点O在线段AC上,AC=AB,OC=3,sin A= .(1)求圆O的半径;(2)求BC的长.  
解析　(1)过点O作OH⊥AB,垂足为点H,在Rt△OAH中,∠OHA=90°,∴sin A= = ,设OH=3k,AO=5k,则AH= =4k,∵OH过圆心O,OH⊥AB,∴AB=2AH=8k,∴AC=AB=8k,∴8k=5k+3,∴k=1,∴AO=5,即☉O的半径为5.(2)过点C作CG⊥AB,垂足为点G,在Rt△ACG中,∠AGC=90°,∴sin A= = ,∵AC=8,∴CG= ,AG= = ,∴BG= .在Rt△CGB中,∠CGB=90°,
∴BC= = = .
10.(2019安徽合肥包河一模,20)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,EO⊥AB,垂足为O,EO交AC于E.过点 C作☉O的切线CD,交AB的延长线于点D. (1)求证:∠AEO+∠BCD=90°;(2)若AC=CD=3,求☉O的半径.
解析　(1)证明:连接OC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°, (1分)∵EO⊥AB,∴∠A+∠AEO=90°,∴∠AEO=∠ABC. (2分)∵OC=OB,∴∠ABC=∠OCB,∴∠AEO=∠OCB, (3分)∵CD与☉O相切,∴∠OCD=90°,∴∠AEO+∠BCD=∠OCB+∠BCD=90°. (5分)(2)∵OA=OC,AC=CD,∴∠A=∠ACO,∠A=∠D.∵∠A+∠D+∠ACO+∠OCD=180°,∴3∠A+90°=180°,∴∠A=30°, (8分)∵AC=3,∴AB= = =2 .∴☉O的半径为 . (10分)
B组　2018—2020年模拟·提升题组时间:65分钟　分值:78分一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2020安徽志诚教育十校联盟二模,8)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠A=119°,过点C的圆的切线交 BO的延长线于点P,则∠P的度数为 (　 　) A.32°　    B.31°　    C.29°　    D.61°
答案    A　连接OC、CD,∵PC是☉O的切线,∴PC⊥OC,∴∠OCP=90°,∵∠A=119°,∴∠ODC=180°-∠A=61°,∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC=61°,∴∠DOC=180°-2×61°=58°,∴∠P=90°-∠DOC=32°.故选A.
解题关键　连接OC,CD,利用直径所对的圆周角为直角及切线性质求解.
2.(2020安徽合肥庐江一模,8)如图,AB为☉O的直径,PD切☉O于点C,交AB的延长线于D,且∠D=40°,则∠ PCA等于 (　 　) A.50°　    B.60°　    C.65°　    D.75°
答案    C　∵PD切☉O于点C,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∵∠D=40°,∴∠DOC=90°-40°=50°,又∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∵∠COD=∠A+∠ACO,∴∠A= ∠COD=25°,∴∠PCA=∠A+∠D=25°+40°=65°.故选C.
思路分析　根据切线的性质可得∠OCD=90°,进而求出∠DOC=50°,根据OA=OC及三角形外角性质求出 ∠A,则∠PCA可求.
3.(2019安徽C20教育联盟一模,10)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=3,点D是BC边上一动点,连接AD 交以CD为直径的圆于点E,则线段BE长度的最小值为 (　　) A.1　    B. 　    C. 　    D. 
答案    A　∵E点在以CD为直径的圆上,∴∠CED=90°.∴∠AEC=180°-∠CED=90°,∴E点也在以AC为直径的圆上.设以AC为直径的圆的圆心为O,若BE最短,则O、E、B三点共线,BE=OB-OE.∵AC=8,∴OC= AC=4,∵BC=3,∠ACB=90°,∴OB= = =5.∵OE=OC=4,∴BE=OB-OE=5-4=1,故选A.
思路分析　由题意可得E点在以AC为直径的圆上,所以若BE最短,则O、B、E三点共线,在直角三角形 OCB中求得OB,从而可求BE的最小值.
4.(2020安徽安庆宿松一模,13)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AC于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F, 若BD=12 cm,AE=4 cm,则OF的长度是　　 　    cm. 
二、填空题（每小题5分，共10分）
解析　连接OB,∵AC是☉O的直径,弦BD⊥AC,∴BE= BD=6 cm,在Rt△OEB中,OB2=OE2+BE2,设OB=x cm,则OE=(x-4) cm,∴x2=(x-4)2+62,解得x= ,∴AC=2x=13 cm,∴EC=AC-AE=9 cm,∴BC= = =3  cm.∵OF⊥BC,∴CF= BC=  cm,∴OF= = =  cm. 
5.(2019安徽合肥十校第一次联考,13)如图,以平行四边形ABCD的一边AD为直径作☉O.点F是BC的中点, 点E是弧AB的中点,若BC与☉O相切,则∠EDF的度数是　　　     . 
解析　连接OB、BD,如图,∵BC与圆O相切,∴OB⊥BC,由题意知AD∥BC,AB=CD,∴OB⊥AD,又O点为 AD的中点,∴AB=BD,∴BD=CD,再由AD为☉O的直径可得∠ABD=90°,∴∠ADB=45°,∵点E是弧AB的中 点,∴∠EDB=22.5°,在△DBC中,点F是BC的中点,BD=CD,∴DF⊥BC,∴∠ADF=90°,∴∠BDF=45°,∴∠EDF=67.5°. 
解题关键　连接OB,BD,推出△ABD,△BDC是等腰三角形是解答本题的关键.
6.(2020安徽安庆一模,20)如图,☉O为△ABC的外接圆,直线MN与☉O相切于点C,弦BD∥MN,AC与BD相 交于点E.(1)求证:∠CAB=∠CBD;(2)若BC=5,BD=8,求☉O的半径.  
三、解答题(共56分)
解析　(1)证明:连接OC,交BD于点F,∵直线MN与☉O相切于点C,∴OC ⊥ MN,∵BD∥ MN,∴OC ⊥ BD,∴ = ,∴∠CAB=∠CBD. (5分)(2)连接OB,由(1)知OC ⊥ BD,∵BD=8,∴BF=DF=4,∴CF= =3,设☉O的半径为r,则OF=r-3,根据勾股定理可得OF2+BF2=OB2,即(r-3)2+42=r2,解得r= . (10分) 
解题技巧　①涉及相切问题,通常连接圆心与切点,从而得到垂直;②圆中问题,常构造以半径、弦心 距、半弦长为三边长的直角三角形进行求解.
7.(2020安徽无为三模,20)如图,BC是☉O的直径,点A、D在☉O上,DB∥OA,BC=10, AC=6.(1)求证:BA平分∠DBC;(2)求DB的长.  
解析　(1)证明:∵OA∥BD,∴∠ABD=∠OAB,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∴∠OBA=∠ABD,∴BA平分∠DBC. (4分)(2)如图,作AH⊥BC于H,OE⊥BD于E,则BE=DE, ∵BC为直径,∴∠CAB=90°,∴AB= =8,∵ AH·BC= AC·AB,∴AH= = ,在Rt△OAH中,OH= = ,∵OA∥BD,∴∠AOH=∠EBO, (7分)
在△AOH和△OBE中, ∴△AOH≌△OBE,∴BE=OH= ,∴BD=2BE= . (10分)
思路分析　(1)利用平行线的性质及OA=OB证明∠OBA=∠DBA即可;(2)分别作AH⊥BC于H,OE⊥BD于 E,由等面积法求出AH的长,由勾股定理求出OH的长,通过证明△AOH≌△OBE得出BE=OH,即可求出BD 的长.
8.(2018安徽安庆一模,20)已知AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点D(如图1).(1)若AB=2,∠B=30°,求CD的长;(2)取AC的中点E,连接DE(如图2),求证:DE与☉O相切.  
解析　(1)如图,连接AD ,
∵AC是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴∠CAB=∠ADB=90°,
∴△CAB、△CAD均为直角三角形,∴∠CAD=∠B=30°.在Rt△CAB中,AC=ABtan 30°= .∴在Rt△CAD中,CD=ACsin 30°= .(2)证明:连接OD, ∵AC是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴∠CAB=∠ADB=∠ADC=90°,
又E为AC的中点,∴DE=CE=EA,∴∠EDA=∠EAD.∵OD=OA,∴∠ODA=∠DAO,∴∠EDA+∠ODA=∠EAD+∠DAO,即∠EDO=∠EAO=90°.又∵OD是☉O的半径,∴DE与☉O相切.
思路分析　(1)连接AD,根据圆的切线性质及AB是☉O的直径可知△CAB、△CAD均为直角三角形,然后 解直角三角形即可;(2)连接OD,根据AC是☉O的切线,AB是☉O的直径可知∠CAB=∠ADB=∠ADC=90°, 再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边对等角可得∠EDO=∠EAO=90°,从而解决问题.
9.(2020安徽合肥三十八中二模,20)如图,AB是☉O的直径,点P在AB的延长线上,弦CE交AB于点D.连接 OE、AC,且∠P=∠E,∠POE=2∠CAB.(1)求证:CE⊥AB; (2)求证:PC是☉O的切线; (3)若BD=2OD,PB=9,求☉O的半径及tan∠P的值. 
解析　　(1)证明:连接OC,由圆周角定理得∠COB=2∠CAB,∵∠POE=2∠CAB,∴∠COD=∠EOD,由OC=OE知△COE为等腰三角形,∴∠ODC=∠ODE=90°,即CE⊥AB. (2)证明:∵CE⊥AB,∠P=∠E,∴∠E+∠PCD=∠P+∠PCD=90°,又∠OCD=∠E,∴∠OCD+∠PCD=∠E+∠PCD=90°,∴∠PCO=90°,∴PC是☉O的切线.
(3)设☉O的半径为r,OD=x,则BD=2x,r=3x,∵CD⊥OP,OC⊥PC,∠OCD=∠OCP,∴Rt△OCD∽Rt△OPC,∴ = ,∴OC2=OD·OP,即(3x)2=x·(3x+9),解得x= 或x=0(舍),∴☉O的半径r= ,易证Rt△OPC∽Rt△CPD,同理可得PC2=PD·PO=(PB+BD)·(PB+OB)=162,∴PC=9 ,在Rt△OCP中,tan∠P= = .
解题关键　解答本题的关键是从条件出发,综合应用圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的 性质解决问题.
10.(2019安徽淮南寿县中学第5次月考,23)如图,AB、CD为☉O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过 点E作直线,与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C. (1)求证:PE是☉O的切线;(2)求证:ED平分∠BEP;(3)若☉O的半径为5,CF=2EF,求PD的长.
解析　(1)证明:连接OE.∵CD为☉O的直径,∴∠CED=90°.∵OC=OE,∴∠C=∠CEO.∵∠PED=∠C,∴∠PED=∠CEO,∴∠PED+∠OED=∠CEO+∠OED,即∠OEP=∠CED=90°,∴EO⊥PE.∵OE为☉O的半径,∴PE是☉O的切线. (4分)(2)证明:∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°.∵AE∥CD,∴CD⊥BE.又∵CD为☉O的直径,∴ = ,∴∠C=∠BED.∵∠PED=∠C,∴∠PED=∠BED,∴ED平分∠BEP. (8分)(3)由(2)可知CD⊥BE,∠C=∠DEF,∴tan C=tan∠DEF.在Rt△CEF和Rt△DFE中,tan C= ,tan∠DEF= ,∴ = .