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初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质学案
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这是一份初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质学案，共54页。学案主要包含了两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，根据平行线的性质探究角的关系，根据平行线的性质求角的度数，平行线的性质在生活中的运用，根据平行线的性质和判定进行证明，求平行线间的距离等内容，欢迎下载使用。
5.3.1平行线的性质（基础篇）（专项练习）
一、 单选题
知识点一、两直线平行，同位角相等
1．如图，把一块含45°直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ）
A．28° B．62° C．32° D．52°
2．下列说法正确的个数有（ ）
①同位角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④不重合的三条直线、、，若，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，直线，且分别与直线交于，两点，把一个含30°角的三角直尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．130°
知识点二、两直线平行，内错角相等
4．如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
5．如图，，垂足为，，，则的大小为（ ）
A．50° B．40° C．55° D．60°
6．如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点．若，则（ ）
A．100° B．120° C．90° D．60°
知识点三、两直线平行，同旁内角互补
7．如图，平行线AB，CD被直线AE所截．若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
8．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠3+∠5＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2＝∠5 D．∠5+∠1＝180°
9．和是同旁内角，，那么等于（ ）．
A． B． C．或 D．大小不定
知识点四、根据平行线的性质探究角的关系
10．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角（ ）
A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补
11．如图，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
12．如图，则，，的关系为（ ）
A． B．
C． D．
知识点五、根据平行线的性质求角的度数
13．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，则∠DBC的度数为（ ）
A．45° B．25° C．15° D．20°
14．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于（ ）
A．101° B．102° C．103° D．104°
15．如图，，交于点，平分，，则的度数为（ ）．
A．60° B．55° C．50° D．45°
知识点六、平行线的性质在生活中的运用
16．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a需顺时针旋转度数是（ ）
A．10° B．20° C．50° D．70°
17．如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
18．一条船停留在海面上，从船上看灯塔位于北偏东60°方向，那么从灯塔看船位于灯塔的 方向（ ）
A．南偏西60° B．西偏南60° C．南偏西30° D．北偏西30°
知识点七、根据平行线的性质和判定求角的度数
19．如图，点D是AB上的一点，点E是AC边上的一点，且∠B＝70°，∠ADE＝70°，∠DEC＝100°，则∠C是( )
A．70° B．80° C．100° D．110°
20．如图，，，，均为直线，，，平分，则（ ）
A． B． C． D．
21．如图，已知CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，下列条件不能推出∠ADG＝∠B的是（ ）
A． ∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠2 D．∠DGC+∠ACB＝180°
知识点八、根据平行线的性质和判定进行证明
22．嘉淇在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下推理过程：
已知：如图，b∥a，c∥a，
求证：b∥c；
证明：作直线DF交直线a、b、c分
别于点D、E、F，
∵a∥b，∴∠1＝∠4，又∵a∥c，
∴∠1＝∠5，
∴b∥c．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴∠1＝∠5”和“∴b∥c”之间作补充，下列说法正确的是（ ）
A．嘉淇的推理严谨，不需要补充
B．应补充∠2＝∠5
C．应补充∠3+∠5＝180°
D．应补充∠4＝∠5
23．如图，点，，在同一直线上，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
24．如图，给出下列条件：①；②；③且 ；④且；其中能推出 的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点九、求平行线间的距离
25．如图，已知直线a//b//c，直线d与直线a，b，c分别垂直，垂足是点C，B， A．若AB＝2，AC＝5，则直线a，b的距离是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
26．如图，在中，，下列说法不正确的是（ ）
A．表示的是A、E两点间的距离 B．表示的是A点到的距离
C．表示的是与间的距离 D．表示的是与间的距离
27．已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b的距离为，b与c的距离为，则a与c的距离是（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
知识点十、利用平行线间的距离解决问题
28．如图，四边形中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABO＝5cm2，S△DCO为（ ）
A．5cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．2cm2
29．如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AD与BC之间的距离是（ ）
A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长
30．如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、 填空题
知识点一、两直线平行，同位角相等
31．如图，a∥b，直角三角板直角顶点在直线b上．已知∠1=50°，则∠2的度数为_____度．
32．如图，直线，将一个直角三角板如图放置，直角顶点落在直线上，若，则的度数为______．
33．如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于A，B两点，若，则____．
知识点二、两直线平行，内错角相等
34．张雷同学从A地出发沿北偏东60°的方向行驶到B地，再由B地沿南偏西35°的方向行驶到C地，则∠ABC＝____度．
35．如图，直线l1，l2被直线l3所截，l1∥l2，已知∠1＝80°，则∠2＝___．
36．如图，已知平分，，，则的度数是______．
知识点三、两直线平行，同旁内角互补
37．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为________．
38．如图，AB∥CD且被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是 ___．
39．如图，AB∥CD，CB平分∠ABD，若∠ABC＝40°，则∠D的度数为_______．
知识点四、根据平行线的性质探究角的关系
40．如图，，则________．
41．如图，平分，平分，要使，则和应满足的条件是______．
42．如图，，连接，，，把平面分成四部分．规定线上各点不属于任何部分．当P落在第①部分时，连接，，此时，，的关系是__________．
知识点五、根据平行线的性质求角的度数
43．如图，将一条等宽的纸条按图中方式折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ___．
44．如图， 已知，， ， 则的度数为______．
45．一副直角三角尺按如图①所示的方式叠放，现将含45°角三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行；如图②，当∠BAD=15°时，BC//DE，则∠BAD（0°<∠BAD<90°）其他所有可能符合条件的度数为__________．
知识点六、平行线的性质在生活中的运用
46．已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
47．如图,C点在A点北偏东方向，C点在B点的北偏东______．
48．如图，将木条a，b和c钉在一起，，要使木条a和b平行，木条a至少要旋转的度数为_______．
知识点七、根据平行线的性质和判定求角的度数
49．一副直角三角板如图放在直线、之间，且，则图中________度．
50．如图，已知直线，，则______°．
51．一副直角三角尺按如图①所示的方式叠放，现将含45°角三角尺固定不动，将含30°角的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行；如图②，当时，，则其他所有可能符合条件的度数为_____．
知识点八、根据平行线的性质和判定进行证明
知识点九、求平行线间的距离
52．将一副直角三角板如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝45°，则有BCAE；③如果∠2＝30°，则有DEAB；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有_________（填序号）．
53．已知：，点在点的右侧，平分，平分，，所在直线交于点，．
（1）__________度；
（2）若，则的度数是__________（用含的式子表示）．
54．如图，．将求 的过程填写完整．
解：因为，所以________（____________）
又因为
所以（____________）
所以________（____________）
所以________（____________）
因为，所以________ ．
知识点十、利用平行线间的距离解决问题
55．如图，ab，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5，AC=4，那么平行线a，b之间的距离为________．
56．如图，，点为直线上的任意一点，三角形的面积为6，，则直线与的距离为______．
57．如图，直线，则_______．(填“>”“=”或“<”)
58．下面两条平行线之间的三个图形，图____的面积最大，图______的面积最小．
59．如图，，，为直线上的任意两点，则______（用“，，”填写）
60．如图，ab，．若△ABC的面积是5，△ABE的面积是2，则=________；=__________；=__________；=___________．
三、解答题
61．完成下面的证明过程：
如图所示，直线AD与AB，CD分别相交于点A，D，与EC，BF分别相交于点H，G，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C．
求证：∠A＝∠D．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）∠2＝∠AGB（ ）
∴∠1＝ （ ）
∴EC∥BF（ ）
∴∠B＝∠AEC（ ）
又∵∠B＝∠C（已知）
∴∠AEC＝ （ ）
∴ （ ）
∴∠A＝∠D（ ）
62．补全下列各题解题过程
如图，E点为上的点，B为上的点，，，求证．
证明：∵（已知）
且，（________）
∴（等量代换）
∴________（________）
∴（________）
∵（已知）
∴（________）
∴（________）
63．如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：DC∥EF；
（2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数．
64．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G.且∠1＝∠2，猜想：DE与AC有怎样的关系？说明理由．
65．如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
参考答案
1．B
【分析】
先求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠2=∠3即可．
【详解】
解：∵∠1=28°，∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°-28°=62°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=62°；
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
2．A
【分析】
根据平行线的性质，垂线的性质和平行公理对各个说法分析判断后即可求解．
【详解】
解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；
④平行于同一直线的两条直线平行，是平行公理的推论，故④正确；
综上所述，正确的说法是④，共1个．
故选：A
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质和平行公理，是基础知识，熟练掌握各定理或推论成立的条件是解决此题的关键．
3．B
【分析】
利用平行线的性质求出，即可求出答案．
【详解】
解：如图，由题意知，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】此题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记定理是解题的关键．
4．D
【分析】
由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．
【详解】
解：∵拐弯前、后的两条路平行，
∴∠B=∠C=150°（两直线平行，内错角相等）．
故选：D．
【点拨】本题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
5．A
【分析】
由平行线的性质可知，根据题意，可得出，即可根据求出的大小．
【详解】
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质，垂直的性质．掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．
6．B
【分析】
由题意可得： ， ，再由，可得到 ，即可求解．
【详解】
解：由题意得： ， ，
∵，
∴ ，
∴．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了角度的计算，平行线的性质，利用两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7．D
【分析】
直接利用对顶角以及平行线的性质分析得出答案．
【详解】
解：
∵∠1＝70°，
∴∠1＝∠3＝70°，
∵ABDC，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴∠2＝180°−70°＝110°．
故答案为：D．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质以及对顶角，正确掌握平行线的性质是解题关键．
8．B
【分析】
根据平行线的性质逐一判断即可得解．
【详解】
解：A、由a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠3+∠5=180°，故A不符合题意；
B、由a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠2+∠4=180°，但∠2与∠4不一定相等，故B符合题意；
C、由a∥b，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠2=∠5，故C不符合题意；
D、由a∥b，得到∠3+∠5=180°，又因为∠3=∠1，所以∠5+∠1=180°，故D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”、 “两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
9．D
【分析】
根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截，若两个角都在两直线之间，且在第三条直线的同侧，那么这一对角就是同旁内角，进行求解即可．
【详解】
解：∵题目并未告诉，∠1和∠2是属于两条平行线被截的同旁内角，
∴∠2的度数大小不能确定，
故选D．
【点拨】本题主要考查了同旁内角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．D
【分析】
根据平行线的性质，结合图形解答即可．
【详解】
如图，当AE∥BD时，∠EAB与∠DBC符合题意，
∴∠EAB=∠DBC；
如图，当AE∥BD时，∠EAF与∠DBC符合题意，
∵∠EAB+∠EAF=180°，∠EAB=∠DBC，
∴∠DBC +∠EAF=180°，
故选D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，灵活运用属性结合是解题的关键．
11．A
【分析】
过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．
【详解】
解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，
∵∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，∠ABE＝α，
∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，
∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，
即4β﹣α+γ＝360°，
故选A．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
12．B
【分析】
过点作，根据平行线的性质可得角之间的关系，利用等式性质即可求得
【详解】
如图，过点作，
即
故选B
【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．
13．C
【分析】
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°-30°=15°．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠ABD的度数是解题关键．
14．C
【分析】
过B作BD∥AE，根据AE∥CF，利用平行于同一条直线的两直线平行得到BD∥CF，利用两直线平行内错角相等，同旁内角互补，根据∠ABD+∠DBC即可求出∠ABC度数．
【详解】
解：过B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴BD∥CF，
∴∠A=∠ABD=76°，∠DBC+∠C=180°，
∵∠C=153°，
∴∠DBC=27°，
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=103°．
故选C．
【点拨】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
15．C
【分析】
根据两直线平行的性质定理，进行角的转换，再根据平角求得，进而求得．
【详解】
，
，
又∵
，
平分，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是平行线的性质，角平分线的定义等知识点，根据条件数形结合是解题切入点．
16．B
【分析】
根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【详解】
解：如图．
∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°-50°=20°．
故选：B．
【点拨】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
17．B
【分析】
过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，可得∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数是70°．
【详解】
解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2=∠3（等量代换）；
在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°，
∴∠2=55°；
∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．
18．A
【分析】
根据平行线的性质与方位角的定义，结合题中数据加以计算，可得答案．
【详解】
解：设此船位于海面上的C处，灯塔位于D处，射线CA、DB的方向分别为正北方向与正南方向，如图所示：
∵从船上看灯塔位于北偏东60°，
∴∠ACD＝60°．
又∵AC∥BD，
∴∠CDB＝∠ACD＝60°．
即从灯塔看船位于灯塔的南偏西60°．
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的性质、方位角的概念等知识，掌握平行线的性质及方位角的表示方法是解题的关键．
19．B
【分析】
先证明DEBC，根据平行线的性质求解．
【详解】
解：因为∠B＝∠ADE＝70°
所以DEBC，
所以∠DEC+∠C＝180°，所以∠C＝80°.
故选：B．
【点拨】此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行．
20．D
【分析】
由∠2=∠3=70°，根据平行线的判定可得出，则可得∠BGP=∠GPC，进而可得∠BGM=100°，由GH平分∠ MGB即可求得∠1．
【详解】
∵，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，
∵GH平分，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，补角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21．A
【分析】
根据平行线的判定及性质、垂线的含义、余角的含义，逐一判断即可得出答案．
【详解】
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠BFE=∠ADC=90°，EFCD，
∴∠B=90°-∠3，∠ADG=90°-∠1，∠3=∠2，
∴当∠2=∠3时，
不能推出∠ADG=∠B，
故A符合题意；
当∠1=∠3时，
有∠ADG=∠B，
故B不符合题意；
当∠1=∠2时，
有∠1=∠3，
∴∠ADG=∠B，
故C不符合题意；
当∠DGC+∠ACB=180°时，
则DGBC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴∠ADG=∠B，
故D不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟练掌握并应用平行线的判定与性质．
22．D
【分析】
根据平行线的性质与判定、平行公理及推论解决此题．
【详解】
解：证明：作直线DF交直线a、b、c分别于点D、E、F，
∵a∥b，
∴∠1=∠4，
又∵a∥c，
∴∠1=∠5，
∴∠4=∠5．
∴b∥c．
∴应补充∠4=∠5．
故选：D．
【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定、平行公理及推论，熟练掌握平行线的性质与判定、平行公理及推论是解决本题的关键．
23．A
【分析】
根据平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】
解：．，不能判定，故符合题意；
．，根据“内错角相等，两直线平行”，能判定，故不符合题意；
．，根据“同旁内角互补，两直线平行”，能判定，故不符合题意；
．，根据“同位角相等，两直线平行”，能判定，故不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”．
24．C
【分析】
根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．
【详解】
解：①∵∠1＝∠2，
∴ABCD，不符合题意；
②∵∠3＝∠4，
∴ADBC，符合题意；
③∵ABCD，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠B＋∠DAB＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得ADBC，故符合题意；
④∵ABCD，
∴∠DAB=∠ADE，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BCD=∠ADE，
∴BCAD，故符合题意；
故选C．
【点拨】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
25．B
【分析】
利用线段的差计算即可．
【详解】
解：∵直线a//b//c，直线d与直线a，b，c分别垂直，
∴AB的长为平行线b与c的距离，AC的长为平行线a与c的距离，
直线a，b的距离是BC=AC-AB=5-2=3．
故选择B．
【点拨】本题考查平行线间的距离，线段的和差计算，掌握平行线间的距离与线段的和差计算是解题关键．
26．D
【分析】
根据两点之间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离的定义进行逐一判断即可.
【详解】
解：A、AE表示的是A、E两点间的距离，正确；
B、AE表示的是A点到BC的距离，正确；
C、AE表示的是AD与BC间的距离，正确；
D、AE表示的是AD与BC间的距离，错误.
故选D.
【点拨】本题主要考查了两点之间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
27．C
【分析】
根据平行线之间的距离的定义：两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫平行线间的距离，平行线间的距离处处相等，由题目分析得，分两种情况①直线c在直线a，b之间；②直线c不在直线a，b之间，分别讨论即可．
【详解】
当直线c在a，b之间时，
∵a，b，c是三条平行的直线，
而a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离．
当直线c不在a，b之间时，
∵a， b， c是三条平行的直线，而a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离．
综上所述，a与c的距离为或．
故选：C．
【点拨】本题考查的是平行线间的距离，解题关键是熟练掌握两平行线之间距离的定义，还需注意分类讨论．
28．A
【分析】
分别过点、作、，根据平行线的性质可得，根据三角形的面积求得，即可求解．
【详解】
解：分别过点、作、，如下图：
∵
∴
又∵，
∴
∵，
∴
故选A
【点拨】此题考查了平行线的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是根据平行线的性质及三角形的面积公式推出．
29．A
【分析】
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，
∴AE的长为平行线AD与BC之间的距离．
故选：A．
【点拨】本题考查了两条平行线之间的距离的定义，掌握定义是解题的关键．
30．A
【分析】
求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．
【详解】
解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，
此时，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD=AC=2，
∴BD的最小值为2．
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．
31．40
【分析】
先由余角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣50°=40°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=40°，
故答案为：40．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
32．
【分析】
先利用平角的性质求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出答案．
【详解】
解：∵∠4=，，
∴，
∵，
∴∠2=∠3=，
故答案为：．
【点拨】此题考查平角的性质，两直线平行同位角相等的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
33．
【分析】
由对顶角相等和平行线的性质证得∠1=∠2，从而求解．
【详解】
解：∵
∴∠3=∠2
又∵∠1=∠3
∴∠1=∠2
故答案为：．
【点拨】本题考查平行线的性质及对顶角相等，掌握两直线平行，同位角相等；对顶角相等，正确推理是解题关键．
34．25
【分析】
根据题意作出图形即可判断求解．
【详解】
解：如图所示，
∵AD∥BE，∠1＝60°，
∴∠ABE＝∠DAB＝60°，
又∵∠CBE＝35°，
∴∠ABC＝60°﹣35°＝25°．
故答案为：25．
【点拨】此题主要考查方位角的计算，涉及了平行线的有关性质，解题的关键是根据题意作出图形，即可进行求解．
35．80°
【分析】
根据平行线的性质，可以得到∠1=∠2，再根据∠1=80°，即可得到∠2的度数．
【详解】
解：∵直线l1，l2被直线l3所截，l1∥l2，
∴∠1=∠2，
∵∠1=80°，
∴∠2=80°，
故答案为：80°．
【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
36．28°
【分析】
先利用角平分线的定义求解 再利用平行线的性质可得答案.
【详解】
解： 平分， ，
，
故答案为：
【点拨】本题考查的是角平分线的含义，平行线的性质，灵活应用平行线的性质与角平分线的性质得到角与角之间的关系是解题的关键.
37．120°
【分析】
要求∠2的度数，只需根据平行线的性质求得其对顶角的度数．
【详解】
解：∵a∥b，∠1＝60°，
∴∠3＝120°，
∴∠2＝∠3＝120°．
故答案为：120°
【点拨】考查了平行线的性质，本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补的性质及对顶角相等的性质．
38．
【分析】
根据对顶角以及平行线的性质，求解即可．
【详解】
解：∵
∴
又∵
∴
故答案为
【点拨】此题考查了对顶角以及平行线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
39．100°
【分析】
根据角平分线定义和平行线的性质即可求出∠D的度数．
【详解】
解：∵CB平分∠ABD，∠ABC＝40°，
∴∠ABD＝2∠ABC＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣80°＝100°，
则∠D的度数为100°．
故答案为：100°．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．
40．4∶3
【分析】
过点F作FG∥AB，则GF∥CD，依据平行线的性质可证明∠AFG=∠BAF、∠GFC=∠FCD，同理可证明∠AEC=∠BAE+∠DCE，然后结合已知条件可得到问题的答案．
【详解】
解：如图所示：过点作．
，
．
，，
，
．
．
同理：．
∵，
∴
．
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查的是平行线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
41．∠1和∠2互余
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，再根据角平分线的定义求出∠EAC+∠ECA=90°，即可求得∠1和∠2的关系．
【详解】
解：证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠1+∠2=(∠BAC+∠ACD)=90°，
故答案为：∠1和∠2互余．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
42．
【分析】
如图，在①部分中任找一点，过作连接，根据平行线的性质与判定，可得，，进而可得，，的关系．
【详解】
如图，在①部分中任找一点，过作连接，
，
，，
，
，
即，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．
43．70︒
【分析】
如图，由平行线的性质可求得∠1=∠3，由折叠的性质可求得∠4=∠5，再由平行线的性质可求得∠2．
【详解】
解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=40°，∠2=∠5，
又由折叠的性质可知∠4=∠5，且∠3+∠4+∠5=180°，
∴∠5=（180°-∠3）=70°，
∴∠2=70°，
故答案为：70︒．
【点拨】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
44．
【分析】
根据得到，再根据平行线的性质得到，即，最后根据即可得解．
【详解】
解：在中，，
，
，
，
即，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．
45．45°或60°
【分析】
根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】
解：当AC∥DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
当BC∥AD时，∠DAB=∠B=60°；
当BC∥AE时，∵∠EAB=∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°(不符合题意，舍去)；
当AB∥DE时，∠BAD=∠ADE=45°．
综上，∠BAD（0°<∠BAD<90°）其他所有可能符合条件的度数为45°或60°．
故答案为：45°或60°．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
46．120
【分析】
过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．
【详解】
解：过点B作BF∥CD，如图，
由题意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
47．40°
【分析】
过点C作BM的平行线CE，利用平行线的性质分别求出∠ECB和∠ACE，相减即可．
【详解】
解：如图，过点C作BM的平行线CE，
由题意可得：∠CAN=20°，∠CBM=60°，
∵CE∥BM，
∴∠ECB=∠MBC=60°，
∵AN∥CE，
∴∠ACE=∠CAN=20°，
∴∠ACB=∠ECB-∠ACE=60°-20°=40°，
故答案为：40°．
【点拨】本题主要考查了方向角，平行线的性质，角的和差，解题的关键是作出辅助线，利用平行线的性质求解．
48．25°
【分析】
根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠2减去∠1即可得到木条a旋转的度数．
【详解】
解：∵∠AOC=∠1=50°时，AB∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是75°-50°=25°．
故答案是：25°．
【点拨】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
49．15
【分析】
如图，过点A作AC∥m，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】
解：如图所示，过点A作AC∥m，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为15．
【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
50．
【分析】
过的定点作，根据平行线的性质即可求得．
【详解】
解：如图，过的顶点作
∴
∵
∴
∴
∵∠2=∠4+∠5，
∴
故答案为
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟悉平行线的性质是解题的关键．
51．45°或60°
【分析】
分三种情况进行分析讨论即可：当AC∥DE时；当BC∥AD时；当BC∥DE时，分别求出即可．
【详解】
解：当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；
当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
当BC∥DE时，为题目所给情形；
综上所述，当两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）其他所有可能符合条件的度数为：45°或60°，
故答案为：45°或60°．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，根据题意得出多种情况分析讨论是解本题的关键．
52．①②④
【分析】
利用等角的余角可判断①；先去出∠3与∠C，判定AE与BC位置关系可判断②；根据同旁内角210°，可判断③，根据平行线的判定和性质可判断④．
【详解】
解：∵∠EAD＝∠CAB＝90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，故①正确，
当∠2＝45°时，∠3＝90°-∠2=45°，
∵∠C=∠B=45°，
∴∠3=∠C
∴BCAE；，
故②正确，
∵∠2＝30°
∠1＝∠3=90°-∠2=60°
∴∠E+∠EAB=∠E+∠3+∠CAB=60°+60°+90°=210°
∴DE与AB不平行；
故③不正确，
∵∠2=45°，∠E＝60°，∠C=45°，
∴∠3=90°-∠2=90°-45°=45°=∠C，
∴AE∥BC，
∴∠E=∠4
故④正确，
故答案为：①②④．
【点拨】此题考查了平行线的判定和性质，同角的余角，三角板中的角，熟练掌握平行线的判定和性质，三角板中的角是解决本题的关键．
53．35
【分析】
（1）由平分和，可得；
（2）过点作，由，可推得，利用平行线性质可得，，利用角平分线定义与角的和即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵平分，
∴∠ADE=∠CDE，
∵，
∴，
故答案为；
（2）过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴．
故答案为．
【点拨】本题考查平行线性质，角平分线定义，角的和差，是基础题，掌握平行线性质，角平分线定义，角的和差是关键．
54． 两直线平行，同位角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补
【分析】
根据平行线的性质和已知求出，根据平行线的判定推出，根据平行线的性质推出即可．
【详解】
解：，
（两直线平行，同位角相等），
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
故答案是：，两直线平行，同位角相等，等量代换，，内错角相等，两直线平行，，两直线平行，同旁内角互补，．
【点拨】本题考查了对平行线的性质和判定的应用，熟悉相关证明过程是解题的关键．
55．4
【分析】
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，并由勾股定理可得出答案．
【详解】
解：∵AC⊥b，且ab，
∴平行线a，b之间的距离为AC的长，
∵AC=4
∴平行线a，b之间的距离为4
故答案为：4．
【点拨】题考查了平行线之间的距离，键是掌握平行线之间距离的定义．
56．3
【分析】
根据题意作PM⊥AB于M，PM即为直线AB与CD的距离，进而根据三角形面积公式求得PM即可．
【详解】
解：作PM⊥AB于M，
∵AB//CD，
∴PM的长就是两平行线间的距离，
∵三角形PAB的面积为6，AB=4，
∴AB•PM=6，即×4PM＝6，
∴PM=3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查三角形面积以及两平行线间的距离，由题意求得三角形AB边上的高是解题的关键．
57．=
【分析】
由可推出和等高，又有两个三角形的有公共底BC，根据三角形面积公式即可确定关系．
【详解】
解：∵，
∴△ABC与△DBC的高相等．
∵BC=BC，
∴=．
故答案为：=．
【点拨】本题关键是理解两平行线间的距离相等这一定理．
58．3 2
【分析】
两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半．因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小．
【详解】
解：图1、2、3的高相等，图2三角形的底是8，8÷2＝4，图1梯形的上、下底之和除以2，即为（2+7）÷2＝4.5；图3平行四边形的底为5，
∵5＞4.5＞4；
所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小．
故答案是：3，2．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及等积法，熟练掌握平行线间的距离相等及等积法是解题的关键．
59．=
【分析】
过P作PE⊥AB于E，过Q作QF⊥AB于F，得出四边形PEFQ是平行四边形，推出PE=QF，根据S△PAB=×AB×PE，S△QAB=×AB×QF推出S1=S2即可．
【详解】
解：过P作PE⊥AB于E，过Q作QF⊥AB于F，如图所示：
∵MN∥AB，
∴PE=QF，
∴S△PAB=×AB×PE，S△QAB=×AB×QF，
∴S1=S2，
故答案为：=．
【点拨】本题主要考查了三角形的面积和平行线之间的距离的应用，注意：等底等高的三角形面积相等．
60．3； 2； 5； ．
【分析】
根据△ABC的面积是5，△ABE的面积是2可得△BEC的面积；根据“平行线间的距离相等”可得△ABC的高与△DBC的高相等，所以△DBC的面积与△ABC的面积相等；从而得到△DEC的面积；因为△ABE和△BEC为等高三角形，所以面积之比为底之比，可得AE:EC=2：3，从而得到△ADE 的面积．
【详解】
解：∵S△ABC=5，S△ABE=2，
∴=5-2=3，
∵△ABC和△DBC为同底等高的三角形，
∴=5，
∴=5-3=2，
∵△ABE和△BEC为等高三角形，
∴S△ABE∶S△BEC= AE:EC=2：3，
∴=．
故答案为：3；2；5；．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的面积等知识．解题的关键是理解“平行线间的距离相等”．
61．见解析
【分析】
根据平行线的性质与判定即可写出.
【详解】
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠AGB（对顶角相等）
∴∠1＝∠AGB
∴EC∥BF（同位角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠AEC（两直线平行，同位角相等）
又∵∠B＝∠C（已知）
∴∠AEC＝ ∠C （等量替换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）
【点拨】此题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟知平行线判定的方法.
62．见解析
【分析】
根据平行线的性质和判定，对顶角相等即可得出答案．
【详解】
解：证明：∵（已知）
且，（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴（内错角相等两直线平行）
∴（两直线平行同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等两直线平行）．
【点拨】本题考查平行线的性质和判定，对顶角相等，解题的关键是掌握平行线的性质和判定．
63．（1）见解析（2）35°
【分析】
（1）由知∠1=∠DCF，则∠2=∠DCF，即可证明；
（2）由得∠B=90°-∠2=35°，再根据（1）可知的度数.
【详解】
∵
∴∠1=∠DCF，
∵
∴∠2=∠DCF，
∴；
（2）∵，∴∠BEF=90°，
∴∠B=90°-∠2=35°，
又∵
∴=∠B=35°.
【点拨】此题主要考察平行线的性质与判定.
64．DE∥AC．理由见解析.
【分析】
根据平行线的判定定理易证AD∥FG,又由平行线的性质、已知条件,利用等量代換推知∠DAC=∠2,则ED∥AC即可解答
【详解】
DE∥AC．理由如下：
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠ADG=∠FGC=90°，
∴AD∥FG，
∴∠1=∠CAD，
∵∠1=∠2，
∴∠CAD=∠2，
∴DE∥AC．
【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，解题关键在于求得∠CAD=∠2
65．见解析
【详解】
试题分析：由同旁内角互补，两直线平行得到AB∥CD，进而得到∠ABC=∠BCD，再由∠P=∠Q，得到PB∥CQ，从而有∠PBC=∠QCB，根据等式性质得到∠1=∠2．
试题解析：证明：∵∠ABC+∠ECB=180°，∴AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD．∵∠P=∠Q，∴PB∥CQ，∴∠PBC=∠QCB，∴∠ABC﹣∠PBC=∠BCD﹣∠QCB，即∠1=∠2．
【点拨】：本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
5.3.1平行线的性质（基础篇）（专项练习）
一、 单选题
知识点一、两直线平行，同位角相等
1．如图，把一块含45°直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ）
A．28° B．62° C．32° D．52°
2．下列说法正确的个数有（ ）
①同位角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④不重合的三条直线、、，若，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，直线，且分别与直线交于，两点，把一个含30°角的三角直尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．130°
知识点二、两直线平行，内错角相等
4．如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
5．如图，，垂足为，，，则的大小为（ ）
A．50° B．40° C．55° D．60°
6．如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点．若，则（ ）
A．100° B．120° C．90° D．60°
知识点三、两直线平行，同旁内角互补
7．如图，平行线AB，CD被直线AE所截．若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
8．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠3+∠5＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2＝∠5 D．∠5+∠1＝180°
9．和是同旁内角，，那么等于（ ）．
A． B． C．或 D．大小不定
知识点四、根据平行线的性质探究角的关系
10．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角（ ）
A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补
11．如图，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
12．如图，则，，的关系为（ ）
A． B．
C． D．
知识点五、根据平行线的性质求角的度数
13．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，则∠DBC的度数为（ ）
A．45° B．25° C．15° D．20°
14．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于（ ）
A．101° B．102° C．103° D．104°
15．如图，，交于点，平分，，则的度数为（ ）．
A．60° B．55° C．50° D．45°
知识点六、平行线的性质在生活中的运用
16．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a需顺时针旋转度数是（ ）
A．10° B．20° C．50° D．70°
17．如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
18．一条船停留在海面上，从船上看灯塔位于北偏东60°方向，那么从灯塔看船位于灯塔的 方向（ ）
A．南偏西60° B．西偏南60° C．南偏西30° D．北偏西30°
知识点七、根据平行线的性质和判定求角的度数
19．如图，点D是AB上的一点，点E是AC边上的一点，且∠B＝70°，∠ADE＝70°，∠DEC＝100°，则∠C是( )
A．70° B．80° C．100° D．110°
20．如图，，，，均为直线，，，平分，则（ ）
A． B． C． D．
21．如图，已知CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，下列条件不能推出∠ADG＝∠B的是（ ）
A． ∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠2 D．∠DGC+∠ACB＝180°
知识点八、根据平行线的性质和判定进行证明
22．嘉淇在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下推理过程：
已知：如图，b∥a，c∥a，
求证：b∥c；
证明：作直线DF交直线a、b、c分
别于点D、E、F，
∵a∥b，∴∠1＝∠4，又∵a∥c，
∴∠1＝∠5，
∴b∥c．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴∠1＝∠5”和“∴b∥c”之间作补充，下列说法正确的是（ ）
A．嘉淇的推理严谨，不需要补充
B．应补充∠2＝∠5
C．应补充∠3+∠5＝180°
D．应补充∠4＝∠5
23．如图，点，，在同一直线上，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
24．如图，给出下列条件：①；②；③且 ；④且；其中能推出 的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点九、求平行线间的距离
25．如图，已知直线a//b//c，直线d与直线a，b，c分别垂直，垂足是点C，B， A．若AB＝2，AC＝5，则直线a，b的距离是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
26．如图，在中，，下列说法不正确的是（ ）
A．表示的是A、E两点间的距离 B．表示的是A点到的距离
C．表示的是与间的距离 D．表示的是与间的距离
27．已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b的距离为，b与c的距离为，则a与c的距离是（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
知识点十、利用平行线间的距离解决问题
28．如图，四边形中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABO＝5cm2，S△DCO为（ ）
A．5cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．2cm2
29．如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AD与BC之间的距离是（ ）
A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长
30．如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、 填空题
知识点一、两直线平行，同位角相等
31．如图，a∥b，直角三角板直角顶点在直线b上．已知∠1=50°，则∠2的度数为_____度．
32．如图，直线，将一个直角三角板如图放置，直角顶点落在直线上，若，则的度数为______．
33．如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于A，B两点，若，则____．
知识点二、两直线平行，内错角相等
34．张雷同学从A地出发沿北偏东60°的方向行驶到B地，再由B地沿南偏西35°的方向行驶到C地，则∠ABC＝____度．
35．如图，直线l1，l2被直线l3所截，l1∥l2，已知∠1＝80°，则∠2＝___．
36．如图，已知平分，，，则的度数是______．
知识点三、两直线平行，同旁内角互补
37．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为________．
38．如图，AB∥CD且被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是 ___．
39．如图，AB∥CD，CB平分∠ABD，若∠ABC＝40°，则∠D的度数为_______．
知识点四、根据平行线的性质探究角的关系
40．如图，，则________．
41．如图，平分，平分，要使，则和应满足的条件是______．
42．如图，，连接，，，把平面分成四部分．规定线上各点不属于任何部分．当P落在第①部分时，连接，，此时，，的关系是__________．
知识点五、根据平行线的性质求角的度数
43．如图，将一条等宽的纸条按图中方式折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ___．
44．如图， 已知，， ， 则的度数为______．
45．一副直角三角尺按如图①所示的方式叠放，现将含45°角三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行；如图②，当∠BAD=15°时，BC//DE，则∠BAD（0°<∠BAD<90°）其他所有可能符合条件的度数为__________．
知识点六、平行线的性质在生活中的运用
46．已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
47．如图,C点在A点北偏东方向，C点在B点的北偏东______．
48．如图，将木条a，b和c钉在一起，，要使木条a和b平行，木条a至少要旋转的度数为_______．
知识点七、根据平行线的性质和判定求角的度数
49．一副直角三角板如图放在直线、之间，且，则图中________度．
50．如图，已知直线，，则______°．
51．一副直角三角尺按如图①所示的方式叠放，现将含45°角三角尺固定不动，将含30°角的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行；如图②，当时，，则其他所有可能符合条件的度数为_____．
知识点八、根据平行线的性质和判定进行证明
知识点九、求平行线间的距离
52．将一副直角三角板如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝45°，则有BCAE；③如果∠2＝30°，则有DEAB；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有_________（填序号）．
53．已知：，点在点的右侧，平分，平分，，所在直线交于点，．
（1）__________度；
（2）若，则的度数是__________（用含的式子表示）．
54．如图，．将求 的过程填写完整．
解：因为，所以________（____________）
又因为
所以（____________）
所以________（____________）
所以________（____________）
因为，所以________ ．
知识点十、利用平行线间的距离解决问题
55．如图，ab，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5，AC=4，那么平行线a，b之间的距离为________．
56．如图，，点为直线上的任意一点，三角形的面积为6，，则直线与的距离为______．
57．如图，直线，则_______．(填“>”“=”或“<”)
58．下面两条平行线之间的三个图形，图____的面积最大，图______的面积最小．
59．如图，，，为直线上的任意两点，则______（用“，，”填写）
60．如图，ab，．若△ABC的面积是5，△ABE的面积是2，则=________；=__________；=__________；=___________．
三、解答题
61．完成下面的证明过程：
如图所示，直线AD与AB，CD分别相交于点A，D，与EC，BF分别相交于点H，G，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C．
求证：∠A＝∠D．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）∠2＝∠AGB（ ）
∴∠1＝ （ ）
∴EC∥BF（ ）
∴∠B＝∠AEC（ ）
又∵∠B＝∠C（已知）
∴∠AEC＝ （ ）
∴ （ ）
∴∠A＝∠D（ ）
62．补全下列各题解题过程
如图，E点为上的点，B为上的点，，，求证．
证明：∵（已知）
且，（________）
∴（等量代换）
∴________（________）
∴（________）
∵（已知）
∴（________）
∴（________）
63．如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：DC∥EF；
（2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数．
64．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G.且∠1＝∠2，猜想：DE与AC有怎样的关系？说明理由．
65．如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
参考答案
1．B
【分析】
先求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠2=∠3即可．
【详解】
解：∵∠1=28°，∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°-28°=62°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=62°；
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
2．A
【分析】
根据平行线的性质，垂线的性质和平行公理对各个说法分析判断后即可求解．
【详解】
解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；
④平行于同一直线的两条直线平行，是平行公理的推论，故④正确；
综上所述，正确的说法是④，共1个．
故选：A
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质和平行公理，是基础知识，熟练掌握各定理或推论成立的条件是解决此题的关键．
3．B
【分析】
利用平行线的性质求出，即可求出答案．
【详解】
解：如图，由题意知，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】此题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记定理是解题的关键．
4．D
【分析】
由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．
【详解】
解：∵拐弯前、后的两条路平行，
∴∠B=∠C=150°（两直线平行，内错角相等）．
故选：D．
【点拨】本题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
5．A
【分析】
由平行线的性质可知，根据题意，可得出，即可根据求出的大小．
【详解】
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质，垂直的性质．掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．
6．B
【分析】
由题意可得： ， ，再由，可得到 ，即可求解．
【详解】
解：由题意得： ， ，
∵，
∴ ，
∴．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了角度的计算，平行线的性质，利用两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7．D
【分析】
直接利用对顶角以及平行线的性质分析得出答案．
【详解】
解：
∵∠1＝70°，
∴∠1＝∠3＝70°，
∵ABDC，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴∠2＝180°−70°＝110°．
故答案为：D．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质以及对顶角，正确掌握平行线的性质是解题关键．
8．B
【分析】
根据平行线的性质逐一判断即可得解．
【详解】
解：A、由a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠3+∠5=180°，故A不符合题意；
B、由a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠2+∠4=180°，但∠2与∠4不一定相等，故B符合题意；
C、由a∥b，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠2=∠5，故C不符合题意；
D、由a∥b，得到∠3+∠5=180°，又因为∠3=∠1，所以∠5+∠1=180°，故D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”、 “两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
9．D
【分析】
根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截，若两个角都在两直线之间，且在第三条直线的同侧，那么这一对角就是同旁内角，进行求解即可．
【详解】
解：∵题目并未告诉，∠1和∠2是属于两条平行线被截的同旁内角，
∴∠2的度数大小不能确定，
故选D．
【点拨】本题主要考查了同旁内角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．D
【分析】
根据平行线的性质，结合图形解答即可．
【详解】
如图，当AE∥BD时，∠EAB与∠DBC符合题意，
∴∠EAB=∠DBC；
如图，当AE∥BD时，∠EAF与∠DBC符合题意，
∵∠EAB+∠EAF=180°，∠EAB=∠DBC，
∴∠DBC +∠EAF=180°，
故选D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，灵活运用属性结合是解题的关键．
11．A
【分析】
过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．
【详解】
解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，
∵∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，∠ABE＝α，
∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，
∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，
即4β﹣α+γ＝360°，
故选A．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
12．B
【分析】
过点作，根据平行线的性质可得角之间的关系，利用等式性质即可求得
【详解】
如图，过点作，
即
故选B
【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．
13．C
【分析】
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°-30°=15°．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠ABD的度数是解题关键．
14．C
【分析】
过B作BD∥AE，根据AE∥CF，利用平行于同一条直线的两直线平行得到BD∥CF，利用两直线平行内错角相等，同旁内角互补，根据∠ABD+∠DBC即可求出∠ABC度数．
【详解】
解：过B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴BD∥CF，
∴∠A=∠ABD=76°，∠DBC+∠C=180°，
∵∠C=153°，
∴∠DBC=27°，
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=103°．
故选C．
【点拨】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
15．C
【分析】
根据两直线平行的性质定理，进行角的转换，再根据平角求得，进而求得．
【详解】
，
，
又∵
，
平分，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是平行线的性质，角平分线的定义等知识点，根据条件数形结合是解题切入点．
16．B
【分析】
根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【详解】
解：如图．
∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°-50°=20°．
故选：B．
【点拨】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
17．B
【分析】
过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，可得∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数是70°．
【详解】
解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2=∠3（等量代换）；
在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°，
∴∠2=55°；
∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．
18．A
【分析】
根据平行线的性质与方位角的定义，结合题中数据加以计算，可得答案．
【详解】
解：设此船位于海面上的C处，灯塔位于D处，射线CA、DB的方向分别为正北方向与正南方向，如图所示：
∵从船上看灯塔位于北偏东60°，
∴∠ACD＝60°．
又∵AC∥BD，
∴∠CDB＝∠ACD＝60°．
即从灯塔看船位于灯塔的南偏西60°．
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的性质、方位角的概念等知识，掌握平行线的性质及方位角的表示方法是解题的关键．
19．B
【分析】
先证明DEBC，根据平行线的性质求解．
【详解】
解：因为∠B＝∠ADE＝70°
所以DEBC，
所以∠DEC+∠C＝180°，所以∠C＝80°.
故选：B．
【点拨】此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行．
20．D
【分析】
由∠2=∠3=70°，根据平行线的判定可得出，则可得∠BGP=∠GPC，进而可得∠BGM=100°，由GH平分∠ MGB即可求得∠1．
【详解】
∵，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，
∵GH平分，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，补角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21．A
【分析】
根据平行线的判定及性质、垂线的含义、余角的含义，逐一判断即可得出答案．
【详解】
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠BFE=∠ADC=90°，EFCD，
∴∠B=90°-∠3，∠ADG=90°-∠1，∠3=∠2，
∴当∠2=∠3时，
不能推出∠ADG=∠B，
故A符合题意；
当∠1=∠3时，
有∠ADG=∠B，
故B不符合题意；
当∠1=∠2时，
有∠1=∠3，
∴∠ADG=∠B，
故C不符合题意；
当∠DGC+∠ACB=180°时，
则DGBC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴∠ADG=∠B，
故D不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟练掌握并应用平行线的判定与性质．
22．D
【分析】
根据平行线的性质与判定、平行公理及推论解决此题．
【详解】
解：证明：作直线DF交直线a、b、c分别于点D、E、F，
∵a∥b，
∴∠1=∠4，
又∵a∥c，
∴∠1=∠5，
∴∠4=∠5．
∴b∥c．
∴应补充∠4=∠5．
故选：D．
【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定、平行公理及推论，熟练掌握平行线的性质与判定、平行公理及推论是解决本题的关键．
23．A
【分析】
根据平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】
解：．，不能判定，故符合题意；
．，根据“内错角相等，两直线平行”，能判定，故不符合题意；
．，根据“同旁内角互补，两直线平行”，能判定，故不符合题意；
．，根据“同位角相等，两直线平行”，能判定，故不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”．
24．C
【分析】
根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．
【详解】
解：①∵∠1＝∠2，
∴ABCD，不符合题意；
②∵∠3＝∠4，
∴ADBC，符合题意；
③∵ABCD，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠B＋∠DAB＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得ADBC，故符合题意；
④∵ABCD，
∴∠DAB=∠ADE，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BCD=∠ADE，
∴BCAD，故符合题意；
故选C．
【点拨】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
25．B
【分析】
利用线段的差计算即可．
【详解】
解：∵直线a//b//c，直线d与直线a，b，c分别垂直，
∴AB的长为平行线b与c的距离，AC的长为平行线a与c的距离，
直线a，b的距离是BC=AC-AB=5-2=3．
故选择B．
【点拨】本题考查平行线间的距离，线段的和差计算，掌握平行线间的距离与线段的和差计算是解题关键．
26．D
【分析】
根据两点之间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离的定义进行逐一判断即可.
【详解】
解：A、AE表示的是A、E两点间的距离，正确；
B、AE表示的是A点到BC的距离，正确；
C、AE表示的是AD与BC间的距离，正确；
D、AE表示的是AD与BC间的距离，错误.
故选D.
【点拨】本题主要考查了两点之间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
27．C
【分析】
根据平行线之间的距离的定义：两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫平行线间的距离，平行线间的距离处处相等，由题目分析得，分两种情况①直线c在直线a，b之间；②直线c不在直线a，b之间，分别讨论即可．
【详解】
当直线c在a，b之间时，
∵a，b，c是三条平行的直线，
而a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离．
当直线c不在a，b之间时，
∵a， b， c是三条平行的直线，而a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离．
综上所述，a与c的距离为或．
故选：C．
【点拨】本题考查的是平行线间的距离，解题关键是熟练掌握两平行线之间距离的定义，还需注意分类讨论．
28．A
【分析】
分别过点、作、，根据平行线的性质可得，根据三角形的面积求得，即可求解．
【详解】
解：分别过点、作、，如下图：
∵
∴
又∵，
∴
∵，
∴
故选A
【点拨】此题考查了平行线的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是根据平行线的性质及三角形的面积公式推出．
29．A
【分析】
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，
∴AE的长为平行线AD与BC之间的距离．
故选：A．
【点拨】本题考查了两条平行线之间的距离的定义，掌握定义是解题的关键．
30．A
【分析】
求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．
【详解】
解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，
此时，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD=AC=2，
∴BD的最小值为2．
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．
31．40
【分析】
先由余角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣50°=40°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=40°，
故答案为：40．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
32．
【分析】
先利用平角的性质求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出答案．
【详解】
解：∵∠4=，，
∴，
∵，
∴∠2=∠3=，
故答案为：．
【点拨】此题考查平角的性质，两直线平行同位角相等的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
33．
【分析】
由对顶角相等和平行线的性质证得∠1=∠2，从而求解．
【详解】
解：∵
∴∠3=∠2
又∵∠1=∠3
∴∠1=∠2
故答案为：．
【点拨】本题考查平行线的性质及对顶角相等，掌握两直线平行，同位角相等；对顶角相等，正确推理是解题关键．
34．25
【分析】
根据题意作出图形即可判断求解．
【详解】
解：如图所示，
∵AD∥BE，∠1＝60°，
∴∠ABE＝∠DAB＝60°，
又∵∠CBE＝35°，
∴∠ABC＝60°﹣35°＝25°．
故答案为：25．
【点拨】此题主要考查方位角的计算，涉及了平行线的有关性质，解题的关键是根据题意作出图形，即可进行求解．
35．80°
【分析】
根据平行线的性质，可以得到∠1=∠2，再根据∠1=80°，即可得到∠2的度数．
【详解】
解：∵直线l1，l2被直线l3所截，l1∥l2，
∴∠1=∠2，
∵∠1=80°，
∴∠2=80°，
故答案为：80°．
【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
36．28°
【分析】
先利用角平分线的定义求解 再利用平行线的性质可得答案.
【详解】
解： 平分， ，
，
故答案为：
【点拨】本题考查的是角平分线的含义，平行线的性质，灵活应用平行线的性质与角平分线的性质得到角与角之间的关系是解题的关键.
37．120°
【分析】
要求∠2的度数，只需根据平行线的性质求得其对顶角的度数．
【详解】
解：∵a∥b，∠1＝60°，
∴∠3＝120°，
∴∠2＝∠3＝120°．
故答案为：120°
【点拨】考查了平行线的性质，本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补的性质及对顶角相等的性质．
38．
【分析】
根据对顶角以及平行线的性质，求解即可．
【详解】
解：∵
∴
又∵
∴
故答案为
【点拨】此题考查了对顶角以及平行线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
39．100°
【分析】
根据角平分线定义和平行线的性质即可求出∠D的度数．
【详解】
解：∵CB平分∠ABD，∠ABC＝40°，
∴∠ABD＝2∠ABC＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣80°＝100°，
则∠D的度数为100°．
故答案为：100°．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．
40．4∶3
【分析】
过点F作FG∥AB，则GF∥CD，依据平行线的性质可证明∠AFG=∠BAF、∠GFC=∠FCD，同理可证明∠AEC=∠BAE+∠DCE，然后结合已知条件可得到问题的答案．
【详解】
解：如图所示：过点作．
，
．
，，
，
．
．
同理：．
∵，
∴
．
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查的是平行线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
41．∠1和∠2互余
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，再根据角平分线的定义求出∠EAC+∠ECA=90°，即可求得∠1和∠2的关系．
【详解】
解：证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠1+∠2=(∠BAC+∠ACD)=90°，
故答案为：∠1和∠2互余．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
42．
【分析】
如图，在①部分中任找一点，过作连接，根据平行线的性质与判定，可得，，进而可得，，的关系．
【详解】
如图，在①部分中任找一点，过作连接，
，
，，
，
，
即，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．
43．70︒
【分析】
如图，由平行线的性质可求得∠1=∠3，由折叠的性质可求得∠4=∠5，再由平行线的性质可求得∠2．
【详解】
解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=40°，∠2=∠5，
又由折叠的性质可知∠4=∠5，且∠3+∠4+∠5=180°，
∴∠5=（180°-∠3）=70°，
∴∠2=70°，
故答案为：70︒．
【点拨】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
44．
【分析】
根据得到，再根据平行线的性质得到，即，最后根据即可得解．
【详解】
解：在中，，
，
，
，
即，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．
45．45°或60°
【分析】
根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】
解：当AC∥DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
当BC∥AD时，∠DAB=∠B=60°；
当BC∥AE时，∵∠EAB=∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°(不符合题意，舍去)；
当AB∥DE时，∠BAD=∠ADE=45°．
综上，∠BAD（0°<∠BAD<90°）其他所有可能符合条件的度数为45°或60°．
故答案为：45°或60°．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
46．120
【分析】
过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．
【详解】
解：过点B作BF∥CD，如图，
由题意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
47．40°
【分析】
过点C作BM的平行线CE，利用平行线的性质分别求出∠ECB和∠ACE，相减即可．
【详解】
解：如图，过点C作BM的平行线CE，
由题意可得：∠CAN=20°，∠CBM=60°，
∵CE∥BM，
∴∠ECB=∠MBC=60°，
∵AN∥CE，
∴∠ACE=∠CAN=20°，
∴∠ACB=∠ECB-∠ACE=60°-20°=40°，
故答案为：40°．
【点拨】本题主要考查了方向角，平行线的性质，角的和差，解题的关键是作出辅助线，利用平行线的性质求解．
48．25°
【分析】
根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠2减去∠1即可得到木条a旋转的度数．
【详解】
解：∵∠AOC=∠1=50°时，AB∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是75°-50°=25°．
故答案是：25°．
【点拨】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
49．15
【分析】
如图，过点A作AC∥m，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】
解：如图所示，过点A作AC∥m，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为15．
【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
50．
【分析】
过的定点作，根据平行线的性质即可求得．
【详解】
解：如图，过的顶点作
∴
∵
∴
∴
∵∠2=∠4+∠5，
∴
故答案为
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟悉平行线的性质是解题的关键．
51．45°或60°
【分析】
分三种情况进行分析讨论即可：当AC∥DE时；当BC∥AD时；当BC∥DE时，分别求出即可．
【详解】
解：当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；
当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
当BC∥DE时，为题目所给情形；
综上所述，当两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）其他所有可能符合条件的度数为：45°或60°，
故答案为：45°或60°．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，根据题意得出多种情况分析讨论是解本题的关键．
52．①②④
【分析】
利用等角的余角可判断①；先去出∠3与∠C，判定AE与BC位置关系可判断②；根据同旁内角210°，可判断③，根据平行线的判定和性质可判断④．
【详解】
解：∵∠EAD＝∠CAB＝90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，故①正确，
当∠2＝45°时，∠3＝90°-∠2=45°，
∵∠C=∠B=45°，
∴∠3=∠C
∴BCAE；，
故②正确，
∵∠2＝30°
∠1＝∠3=90°-∠2=60°
∴∠E+∠EAB=∠E+∠3+∠CAB=60°+60°+90°=210°
∴DE与AB不平行；
故③不正确，
∵∠2=45°，∠E＝60°，∠C=45°，
∴∠3=90°-∠2=90°-45°=45°=∠C，
∴AE∥BC，
∴∠E=∠4
故④正确，
故答案为：①②④．
【点拨】此题考查了平行线的判定和性质，同角的余角，三角板中的角，熟练掌握平行线的判定和性质，三角板中的角是解决本题的关键．
53．35
【分析】
（1）由平分和，可得；
（2）过点作，由，可推得，利用平行线性质可得，，利用角平分线定义与角的和即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵平分，
∴∠ADE=∠CDE，
∵，
∴，
故答案为；
（2）过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴．
故答案为．
【点拨】本题考查平行线性质，角平分线定义，角的和差，是基础题，掌握平行线性质，角平分线定义，角的和差是关键．
54． 两直线平行，同位角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补
【分析】
根据平行线的性质和已知求出，根据平行线的判定推出，根据平行线的性质推出即可．
【详解】
解：，
（两直线平行，同位角相等），
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
故答案是：，两直线平行，同位角相等，等量代换，，内错角相等，两直线平行，，两直线平行，同旁内角互补，．
【点拨】本题考查了对平行线的性质和判定的应用，熟悉相关证明过程是解题的关键．
55．4
【分析】
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，并由勾股定理可得出答案．
【详解】
解：∵AC⊥b，且ab，
∴平行线a，b之间的距离为AC的长，
∵AC=4
∴平行线a，b之间的距离为4
故答案为：4．
【点拨】题考查了平行线之间的距离，键是掌握平行线之间距离的定义．
56．3
【分析】
根据题意作PM⊥AB于M，PM即为直线AB与CD的距离，进而根据三角形面积公式求得PM即可．
【详解】
解：作PM⊥AB于M，
∵AB//CD，
∴PM的长就是两平行线间的距离，
∵三角形PAB的面积为6，AB=4，
∴AB•PM=6，即×4PM＝6，
∴PM=3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查三角形面积以及两平行线间的距离，由题意求得三角形AB边上的高是解题的关键．
57．=
【分析】
由可推出和等高，又有两个三角形的有公共底BC，根据三角形面积公式即可确定关系．
【详解】
解：∵，
∴△ABC与△DBC的高相等．
∵BC=BC，
∴=．
故答案为：=．
【点拨】本题关键是理解两平行线间的距离相等这一定理．
58．3 2
【分析】
两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半．因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小．
【详解】
解：图1、2、3的高相等，图2三角形的底是8，8÷2＝4，图1梯形的上、下底之和除以2，即为（2+7）÷2＝4.5；图3平行四边形的底为5，
∵5＞4.5＞4；
所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小．
故答案是：3，2．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及等积法，熟练掌握平行线间的距离相等及等积法是解题的关键．
59．=
【分析】
过P作PE⊥AB于E，过Q作QF⊥AB于F，得出四边形PEFQ是平行四边形，推出PE=QF，根据S△PAB=×AB×PE，S△QAB=×AB×QF推出S1=S2即可．
【详解】
解：过P作PE⊥AB于E，过Q作QF⊥AB于F，如图所示：
∵MN∥AB，
∴PE=QF，
∴S△PAB=×AB×PE，S△QAB=×AB×QF，
∴S1=S2，
故答案为：=．
【点拨】本题主要考查了三角形的面积和平行线之间的距离的应用，注意：等底等高的三角形面积相等．
60．3； 2； 5； ．
【分析】
根据△ABC的面积是5，△ABE的面积是2可得△BEC的面积；根据“平行线间的距离相等”可得△ABC的高与△DBC的高相等，所以△DBC的面积与△ABC的面积相等；从而得到△DEC的面积；因为△ABE和△BEC为等高三角形，所以面积之比为底之比，可得AE:EC=2：3，从而得到△ADE 的面积．
【详解】
解：∵S△ABC=5，S△ABE=2，
∴=5-2=3，
∵△ABC和△DBC为同底等高的三角形，
∴=5，
∴=5-3=2，
∵△ABE和△BEC为等高三角形，
∴S△ABE∶S△BEC= AE:EC=2：3，
∴=．
故答案为：3；2；5；．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的面积等知识．解题的关键是理解“平行线间的距离相等”．
61．见解析
【分析】
根据平行线的性质与判定即可写出.
【详解】
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠AGB（对顶角相等）
∴∠1＝∠AGB
∴EC∥BF（同位角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠AEC（两直线平行，同位角相等）
又∵∠B＝∠C（已知）
∴∠AEC＝ ∠C （等量替换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）
【点拨】此题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟知平行线判定的方法.
62．见解析
【分析】
根据平行线的性质和判定，对顶角相等即可得出答案．
【详解】
解：证明：∵（已知）
且，（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴（内错角相等两直线平行）
∴（两直线平行同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等两直线平行）．
【点拨】本题考查平行线的性质和判定，对顶角相等，解题的关键是掌握平行线的性质和判定．
63．（1）见解析（2）35°
【分析】
（1）由知∠1=∠DCF，则∠2=∠DCF，即可证明；
（2）由得∠B=90°-∠2=35°，再根据（1）可知的度数.
【详解】
∵
∴∠1=∠DCF，
∵
∴∠2=∠DCF，
∴；
（2）∵，∴∠BEF=90°，
∴∠B=90°-∠2=35°，
又∵
∴=∠B=35°.
【点拨】此题主要考察平行线的性质与判定.
64．DE∥AC．理由见解析.
【分析】
根据平行线的判定定理易证AD∥FG,又由平行线的性质、已知条件,利用等量代換推知∠DAC=∠2,则ED∥AC即可解答
【详解】
DE∥AC．理由如下：
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠ADG=∠FGC=90°，
∴AD∥FG，
∴∠1=∠CAD，
∵∠1=∠2，
∴∠CAD=∠2，
∴DE∥AC．
【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，解题关键在于求得∠CAD=∠2
65．见解析
【详解】
试题分析：由同旁内角互补，两直线平行得到AB∥CD，进而得到∠ABC=∠BCD，再由∠P=∠Q，得到PB∥CQ，从而有∠PBC=∠QCB，根据等式性质得到∠1=∠2．
试题解析：证明：∵∠ABC+∠ECB=180°，∴AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD．∵∠P=∠Q，∴PB∥CQ，∴∠PBC=∠QCB，∴∠ABC﹣∠PBC=∠BCD﹣∠QCB，即∠1=∠2．
【点拨】：本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
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