2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高一（上）期末数学试卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由定义域以及指数函数的值域求法化简集合，再求交集.

【详解】解：，，

．

故选：B

2. “”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据终边相同的角的三角函数值相等，结合充分不必要条件的定义，即可得到答案；

【详解】，

当，

“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

3. 已知，令那么，，之间的大小关系为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由对数函数、指数函数、余弦函数的性质比较即可.

【详解】解：，，，，

，

故选：A．

4. 函数的零点所在区间为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性，

得出函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解.

【详解】由题意可知，的定义域为，

令，则，由在上单调递减，

在定义域内单调递增，

所以在单调递减.

所以函数在上单调递减.

所以

故，根据零点的存在性定理，可得

函数的零点所在区间为.

故选：B.

5. 命题：，使得成立．若是假命题，则实数的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据是假命题，转化为命题的否定为真命题求解．

【详解】命题：，使得成立．

因为是假命题，则命题的否定为：，使得成立，为真命题．

所以，解得，

所以实数的取值范围是．

故选：B．

6. 平面直角坐标系中，已知点在单位圆上且位于第三象限，点的纵坐标为，现将点沿单位圆按顺时针方向运动到点，所经过的弧长为，则点的纵坐标为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设点对应的角为，则对应的角为，由三角函数的定义结合平方关系求解即可.

【详解】解：设点对应的角为，则对应的角为，由题意可得，则，所以，则点的纵坐标为．

故选：D.

7. 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（）

A.  B. 4 C.  D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，即可得到函数的解析式，然后由对数的运算以及函数的奇偶性，即可得到结果.

【详解】由于函数的图像与函数的图像关于直线对称，

则，

所以当时，，

则，

又奇函数，则．

故选:D．

8. 已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由在区间上单调递减，分类讨论，，三种情况，根据零点个数求出实数a的取值范围.

【详解】函数在区间上单调递减，且方程的两根为.

若时，由解得或，满足题意.

若时，，，当时，，即函数在区间上只有一个零点，因为函数恰有2个零点，所以且.

当时，，，此时函数有两个零点，满足题意.

综上，

故选：D

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，则下列不等式正确的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断．

详解】当时，，A错；

由函数是增函数得成立，B正确；

当时，，从而，C正确；

当时，与的大小不确定，比如，，因此D错；

故选：BC．

10. 已知，，那么的可能值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题干条件和同角三角函数的平方关系建立方程组，求出正弦和余弦，进而求出正切值.

【详解】因为①，又sin2α+cos2α=1②，

联立①②，解得或，

因为，所以或．

故选：BD

11. 已知为正数，，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 的最小值为1

C. 的最小值为8 D. 的最小值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】由结合基本不等式，求得的最大值，的最小值，判断选项正误.

【详解】因为，为正数，，

所以，即，得，

所以，当且仅当时，等号成立.

同理，解得，当且仅当时，等号成立.

对于A，，

所以，当时，等号成立，所以A错误；

对于B，，当时，等号成立，所以B正确；

对于C，，当且仅当时，等号成立，所以C正确；

对于D，设，则，所以，

即，则，得，

解得，所以D正确.

故选：BCD.

12. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（）

A. 若，则函数为奇函数

B. 若，则

C. 函数的图象必有对称中心

D. ，

【答案】ACD

【解析】

【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可.

【详解】对于选项A，记．

因为，所以为奇函数，故选项A正确；

对于选项B，由选项A可知，从而，

所以，故选项B错误；

对于选项C，记．若为奇函数，则，

，即，

所以，即．

上式化简得，．

则必有，解得，

因此当时，图象必关于点对称，故选项C正确；

对于选项D，由选项C可知，．

当时，是减函数，，所以

，

故选项D正确．

故选：ACD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13. 函数的定义域为______．

【答案】

【解析】

【分析】由对数的真数大于零、二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，列不等式组可求得答案

【详解】由题意得

，解得，

所以函数的定义域为，

故答案为：

14. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可知扇形的弧长和直径，再计算扇形的面积和圆心角弧度数.

【详解】解：由题意，扇形的弧长，直径，

所以扇形的圆心角弧度数是，

故答案为：.

15. 若函数在单调递增，则实数的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据复合函数单调性性质将问题转化为二次函数单调性问题，注意真数大于0.

【详解】令，则，因为为减函数，所以在上单调递增等价于在上单调递减，且，即，解得.

故答案为：

16. 已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________．

【答案】或

【解析】

【分析】令，记的两根为，由题知的图象与直线共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.

【详解】令，记的零点为，

因为集合中有3个元素，所以的图象与直线共有三个交点，

则，或或

当时，得，，满足题意；

当时，得，，满足题意；

当时，，解得.

综上，t的取值范围为或.

故答案为：或

四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.

17. 计算下列各式的值：

（1）

（2）

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）利用指数运算性质即可得出．

（2）利用对数运算性质即可得出．

【详解】（1）原式＝0.3．

（2）原式．

【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

18. 设函数的定义域为集合的定义域为集合．

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的补集、交集运算求解即可；
（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.

【小问1详解】

由，解得或，

所以．

．

当时，由，即，解得，

所以．所以．

【小问2详解】

由（1）知，．

由，即，解得，

所以．

因为“”是“”的必要条件，

所以．所以，解得．

所以实数的取值范围是．

19. 在①；②函数为偶函数：③0是函数的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．

问题：已知函数，，且______．

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）

（2）单调递增，证明见解析

【解析】

【分析】（1）若选条件①，根据及指数对数恒等式求出的值，即可求出函数解析式；若选条件②，根据，即可得到，从而求出的值，即可求出函数解析式；若选条件③，直接代入即可得到方程，求出的值，即可求出函数解析式；

（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

【小问1详解】

解：若选条件①．因为，

所以，即．

解得．所以．

若选条件②．函数的定义域为R．因为为偶函数，

所以，，即，

，化简得，．

所以，即．所以．

若选条件③．由题意知，，

即，解得．所以．

【小问2详解】

解：函数在区间上单调递增．

证明如下：，，且，

则．

因为，，，所以，即．

又因为，所以，即．

所以，即．

所以在区间上单调递增．

20. 某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：

，其中．

（1）求，并说明的实际意义；

（2）若该路公交车每分钟的净收益（元，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．

【答案】（1）答案见解析

（2）发车时间间隔时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38

【解析】

【分析】（1）根据题意，直接将代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，分与，分别计算的最大值，即可得到结果.

【小问1详解】

，

的实际意义为：当发车时间间隔为6分钟时，公交车载客量为44；

【小问2详解】

，，

①当时，

当且仅当，即时，等号成立，

此时的最大值为38；

②当时，

易知此时在上单调递减，

当时，的最大值为28.4．

综合①②可得：当发车时间间隔时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．

21. 已知函数.

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）当时，求函数的值域；

（3）已知，若，使得，求实数a的取值范围.

【答案】（1）是偶函数

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义式判断即可；

（2）根据复合函数求值域计算即可；

（3）根据不等式恒成立与能成立综合，原式等价于，分别计算和的最小值，再代入解关于a的不等式即可.

【小问1详解】

的定义域为

故是偶函数.

【小问2详解】

当时，

因，所以，所以，

即的值域是.

【小问3详解】

，使得

等价于.

,

所以.

令函数，

对，当时，

有

所以在上单调递增.

于是，当时，在单调递增，故，

所以，解得，即a的范围为；

当时，在单调递减，故，

所以，无解.

综上：a的取值范围为.

22. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“局部奇函数”．

（1）已知函数，试判断函数是否为“局部奇函数”，并说明理由；

（2）函数为定义在上的“局部奇函数”，试求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，使得函数是定义在上的“局部奇函数”，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）不是，理由见解析

（2）

（3）存在，

【解析】

【分析】(1)利用新定义即可判断；

(2)利用新定义的定义建立方程，将问题转化为有解问题，进而可以求解；

(3)利用新定义的定义，求出使方程有解的实数的范围，进而可以求解.

【小问1详解】

函数不是“局部奇函数”，理由如下：

因为,

所以函数不是“局部奇函数”.

【小问2详解】

因为函数为定义在上

的“局部奇函数”，则，即，

则，当时，令，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，，当或时，，

所以.

【小问3详解】

假设函数定义

在上的“局部奇函数”，则有，

即

化简得： ，

令，则，

所以在上有解，

令

当即解得时，

在上有解，

时，要满足题意只需，

解得，

综上，实数的范围为.