高中1.3 直线的方程第2课时习题

这是一份高中1.3 直线的方程第2课时习题，共5页。试卷主要包含了下列说法正确的是，已知直线l经过点和点.等内容，欢迎下载使用。
A． eq \f(x,2) ＋ eq \f(y,－2) ＝1 B． eq \f(x,－2) ＋ eq \f(y,2) ＝1
C． eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,2) ＝1 D． eq \f(x,4) － eq \f(y,2) ＝1
【解析】选D.依题意可设 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,2－a) ＝1，
把(0，－2)代入方程可得a＝4.
所以直线方程为 eq \f(x,4) － eq \f(y,2) ＝1.
2．若直线过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，－3)) 和点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－4)) ，则该直线的方程为( )
A．y＝ eq \f(\r(3),3) x－4 B．y＝ eq \f(\r(3),3) x＋4
C．y＝ eq \r(3) x－6 D．y＝ eq \f(\r(3),3) x＋2
【解析】选A.方法一：因为直线过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，－3)) 和点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－4)) ，
所以直线的方程为 eq \f(y－（－4）,－3－（－4）) ＝ eq \f(x－0,\r(3)－0) ，
整理得y＝ eq \f(\r(3),3) x－4；
方法二：因为直线过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，－3)) 和点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－4)) ，
所以直线的斜率为k＝ eq \f(\r(3),3) ，
所以直线的方程为y＋4＝ eq \f(\r(3),3) x，
整理得y＝ eq \f(\r(3),3) x－4.
3．已知直线mx－2y－3m＝0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则m＝________.
【解析】直线方程可化为 eq \f(x,3) ＋ eq \f(y,－\f(3m,2)) ＝1，
所以－ eq \f(3m,2) ×4＝3，解得m＝－ eq \f(1,2) .
答案：－ eq \f(1,2)
4．若三点A(1，1)，B(a，0)，C(0，2)共线，则a＝________.
【解析】由题意得过点A，C的直线方程为 eq \f(y－1,2－1) ＝ eq \f(x－1,0－1) ，
整理得x＋y－2＝0.
又点B(a，0)在直线上，所以a－2＝0，解得a＝2.
答案：2
5．求经过点A(－2，2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．
【解析】设直线方程为 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ab))＝1，,\f(－2,a)＋\f(2,b)＝1，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，))
故所求的直线方程为： eq \f(x,2) ＋y＝1或－x－ eq \f(y,2) ＝1.
(25分钟 50分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．若△ABC的顶点A(－5，0)，B(3，－2)，C(1，2)，则经过AB，BC两边中点的直线方程为( )
A．y＝3x－2 B．y＝ eq \f(1,3) x－ eq \f(4,3)
C．y＝ eq \f(1,3) x－ eq \f(2,3) D．y＝3x－4
【解析】选C.由题意，可得线段AB的中点为(－1，－1)，线段BC的中点为(2，0).
因此所求直线方程为 eq \f(y＋1,0＋1) ＝ eq \f(x＋1,2＋1) ，即y＝ eq \f(1,3) x－ eq \f(2,3) .
2．直线 eq \f(x,m) － eq \f(y,n) ＝1与 eq \f(x,n) － eq \f(y,m) ＝1在同一坐标系中的图象可能是( )
【解析】选B.两直线的方程分别化为斜截式：
y＝ eq \f(n,m) x－n，y＝ eq \f(m,n) x－m，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B选项的两直线的斜率符号相同．
3．直线l： eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1中a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为( )
A．6 B．7 C．8 D．16
【解析】选B.因为a>0，b>0，
所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝ eq \f(1,2) ab，
于是 eq \f(1,2) ab≥10⇒ab≥20，
若a＝1时，没有这样的b满足条件；
若a＝3时，b＝8；
若a＝5时，b∈{4，6，8}；
若a＝7时，b∈{4，6，8}，所以这样的直线的条数为7.
4．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
【解析】选A.点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得 eq \f(y－2,4－2) ＝ eq \f(x－3,2－3) ，
即2x＋y－8＝0.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．下列说法正确的是( )
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为 eq \f(y－y1,y2－y1) ＝ eq \f(x－x1,x2－x1)
D．经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
【解析】选AB.A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2正确，
B中 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0＋1,2)，\f(2＋1,2))) 在直线y＝x＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以B正确，
C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误，
D选项错误，还有一条截距都为0的直线y＝x.
6．下列说法正确的是( )
A．截距相等的直线都可以用方程 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,a) ＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
【解析】选BD.若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,a) ＝1表示，所以A不正确；
当m＝0时，平行于y轴的直线方程形式为x＝2，所以B正确；
若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C不正确；
设点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y)) 是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________.
【解析】设点A(m，0)，B(0，n)，
由点P(1，3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，
即A，B的坐标分别为(2，0)，(0，6).
则l的方程为 eq \f(x,2) ＋ eq \f(y,6) ＝1.
答案： eq \f(x,2) ＋ eq \f(y,6) ＝1
8．过点P(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条，方程为________.
【解析】①当截距不为0，且截距相等时，
设直线的截距为a，则直线方程为：
eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,a) ＝1，
将点P坐标代入直线方程解得a＝2，
所以直线方程为 eq \f(x,2) ＋ eq \f(y,2) ＝1；
②当截距不为0，且截距互为相反数时，
设直线的横截距为a，则纵截距为－a，
则直线方程为： eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,－a) ＝1，
将点P坐标代入直线方程，解得：a＝4，
所以直线方程为： eq \f(x,4) － eq \f(y,4) ＝1；
③当截距为0时，设直线方程为：y＝kx，代入点P，可得：
k＝－ eq \f(1,3) ，直线方程为：x＋3y＝0，故直线有3条．
答案：3 x＋3y＝0， eq \f(x,2) ＋ eq \f(y,2) ＝1， eq \f(x,4) － eq \f(y,4) ＝1
四、解答题
9．(10分)已知直线l经过点(1，6)和点(8，－8).
(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
【解析】(1)由已知得直线l的两点式方程为 eq \f(y－6,－8－6) ＝ eq \f(x－1,8－1) ，所以 eq \f(y－6,－14) ＝ eq \f(x－1,7) ，即 eq \f(y－6,－2) ＝x－1，
所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以 eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,8) ＝1.
故所求截距式方程为 eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,8) ＝1.
(2)如图，直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB，且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8，
故S△AOB＝ eq \f(1,2) ·|OA|·|OB|＝ eq \f(1,2) ×4×8＝16.
故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16.
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