北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何2 空间向量与向量运算2.1 从平面向量到空间向量第1课时课后练习题

从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算

(15分钟　30分)

1．已知向量，，满足||＝||＋||，则有(　　)

A．＝＋      B．＝－－

C．与同向      D．与同向

【解析】选D.向量，，满足||＝||＋||，所以C在线段AB之间，所以与同向.

2．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝(　　)

A．2      B．3

C．3      D．2

【解析】选B.－＋＝＋＝＋2＝3.

3．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(　　)

A．m，n，p共线      B．m与p共线

C．n与p共线       D．m，n，p共面

【解析】选D.由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，

即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．

4．如图，P为空间中任意一点，动点Q在△ABC所在平面内运动，且＝2－3＋m，则实数m＝(　　)

A.0    B．2    C．－2    D．1

【解析】选C.因为＝2－3＋m，

所以＝2－3－m.

又动点Q在△ABC所在平面内运动，所以2－3－m＝1，解得m＝－2.

5．如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心，

(1)求证：＋＋＝0；

(2)化简：＋－－.

【解析】(1)＝－(＋)，①

＝－(＋)，②

＝－(＋)，③

①＋②＋③得＋＋＝0.

(2)因为＝×(＋)＝(＋)，

所以＋－－

＝(－)＋(－)－×(＋)

＝＋(－)－(＋)＝0.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．设空间中四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0<t<1，则有(　　)

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的延长线上

C．点P在线段BA的延长线上

D．点P不一定在直线AB上

【解析】选A.＝＋t，即－＝＝

t，因为0<t<1，所以点P在线段AB上．

2．在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，如图所示，用向量a，b，c表示向量等于(　　)

A.a＋b＋c      B．a＋b＋c

C．a＋b       D．a

【解析】选D.＝＝＝a.

3．已知空间四边形ABCD，点E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为(　　)

A．＝       B．∥

C．||＝||      D．||≠||

【解析】选B.－＝λ－λ＝λ，

即＝λ.同理＝μ.因为μ∥λ，

所以∥，即∥.又λ与μ不一定相等，故||不一定等于||.

4．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　)

A．O，A，B，C四点共面

B．P，A，B，C四点共面

C．O，P，B，C四点共面

D．O，P，A，B，C五点共面

【解析】选B.由6＝＋2＋3，

得－＝2(－)＋3(－)，

即＝2＋3，故，，共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面．

【误区警示】在获得了一个向量用另外两个不共线向量表示的线性表达式后，要说明四点共面，必须保证这三个向量有一个公共点．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列命题中不正确的有(　　)

A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0

B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件

C．若，共线，则AB∥CD

D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面

【解析】选BCD.显然A正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故B错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误．

6．已知空间向量，，，，则下列结论正确的有(　　)

A．＝＋

B．－＋＝

C．＋＋＝

D．＝－

【解析】选AB.＋＝，故A正确；－＋＝＋＋＝，故B正确；CD不正确．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________.

【解析】原式＝a＋

b＋c＝a＋b－c.

答案：a＋b－c

8．在三棱锥A­BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＝____，化简＋－－的结果为________.

【解析】如图，

延长DE交边BC于点F，

则DF为正三角形BCD的中线，E为中心，

所以＝，＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0.

答案：　0

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

(1)＋－；(2)－－．

【解析】(1)＋－＝＋＋＝＋＝(如图).

(2)－－＝＋(＋)

＝＋(＋)＝＋＝ (如图).

10．如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．

【解析】因为＝＋＋

＝－＋－－

＝－＋＝－＋(＋)

＝－＋(＋)＝－＋＋(－)

＝－＋＋，所以x＝，y＝－.

【创新迁移】

1．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x·＋3y·＋4z·，则2x＋3y＋4z＝________.

【解析】＝(－2x)·＋(－3y)·＋

(－4z)·，

由A，B，C，D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，

即2x＋3y＋4z＝－1.

答案：－1

2．如图，在平行六面体ABCD­EFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝MB，＝，AR＝2RE，求平面MNR截体对角线AG所得线段AP与PG的比．

【解析】设＝m，

因为＝＋＋＝2＋3＋，

所以＝2m＋3m＋m.

由于P，M，R，N四点共面，所以2m＋3m＋m＝1，

从而得m＝，即＝，所以＝.

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