第3讲 因数和倍数—小升初数学专题讲练（知识点+练习）（通用版，含详解）

小升初数学精讲精练专题汇编

第3讲 因数和倍数

知识精讲

知识点一：因数与倍数的意义和特征

1.意义：如果ab=c（a、b是非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数

例如：24=8，就说2和4是8的因数，8是2和4的倍数

2.特征：①一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

例如：15最小的因数是1，最大的因数是15

②一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数

例如：31最小的倍数是31，没有最大的倍数。）

【提示】①研究因数与倍数时，所说的数一般指非0自然数。

②因数和倍数相互依存，不能单独说一个数是因数或倍数，应该说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

知识点二：2 、3、5的倍数的特征

①2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。例如：20,136,4578....

②3的倍数的特征：个位是 0 或 5。例如：21，327，.576.....

③5 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。例如：50，895  2645......

同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数同时是2和5的倍数。例如：90，340，....

知识点三：奇数与偶数

1.奇数：不是2的倍数的数叫作奇数，最小的奇数是1.

偶数：是2的倍数的数叫作偶数，最小的偶数是0。

2.和与积的奇偶性：

（1）偶数士偶数=偶数     奇数士奇数=偶数     奇数士偶数=奇数

（2）偶数 偶数=偶数      奇数×奇数=奇数     偶数×奇数=偶数

知识点四：质数与合数

1.质数：只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数），最小的质数是2.

2.合数：除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是4

3.1既不是质数，也不是合数。

4.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。

5，分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。

6，公因数只有1的两个数叫作互质数。

【提示】按因数个数的多少，自然数（0除外）可分为三类：质数、合数和1

知识点五：最大公因数和最小公倍数

1. 公因数和最大公因数：几个数公有的因数叫作这几个数的公因数；其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数

2. 求最大公因数的方法：（1）列举法；（2）筛选法（3）短除法

3. 公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数；其中最小的公倍数叫作这几个数的最小公倍数

4. 求最小公倍数的方法 （1）列举法；（2）筛选法（3）短除法

5. 求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况：如果两个数是倍数关系，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数；如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。

能力提升

一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)

1．（2021五上·九台期末）自然数中，17的倍数是（　　）。 

A．都是奇数 B．都是质数 C．都是合数 D．以上都不对

2．（2021三上·九台期末）一双鞋的价格是一双袜子的9倍，一双袜子的价格是10元，一双鞋的价格是（　　）

A．18元 B．90元 C．99元

3．（2021五上·英德期末）从2，0，5，7四个数字中选择三个数字组成一个三位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数。这个三位数最大是（　　）。 

A．705 B．720 C．750 D．702

4．（2020·五华）下列说法正确的是（　　）。  

A．所有的偶数都是合数

B．假分数的倒数一定是真分数

C．两个完全一样的梯形都能拼成一个平行四边形

5．（2020·大庆）在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，下列数字满足条件的是：（　　）  

A．25 B．20 C．18 D．17

二、判断正误(共5题；每题2分，共10分)

6．（2021五上·南郑期末）分数的分子与分母是两个不同的质数，这样的分数一定是最简分数。（　　）

7．一个数既是4的倍数，又是6的倍数，这个数一定是24的倍数。

8．18分解质因数是18=1×2×3×3。

9．（2020·沈阳）用小于10的三个不同质数组成的同时是2和3的倍数的最大三位数是972。（　　）

10．（2021五下·贵州期末）a的最大因数和b的最小倍数相等，那么a与b相等。（   ） 

三、仔细想，认真填(共9题；每空1分，共15分)

11．（2021五上·九台期末）在15，18，25，30，19中，2的倍数有　     　，5的倍数有　           　3的倍数有　           　，既是2，5的倍数，又是3的倍数有　     　。

12．（2021五上·蒙城期末）6和24最大公因数是　     　，最小公倍数是　     　。

13．（2021五上·乐昌期末）已知4路公共汽车10分开出一辆，6路公共汽车15分开出一辆，同时开出一辆后，至少再过　     　分又同时开出。

14．一个数被3除余2，被5除余2，被6除余2，这个数最小是　     　。

15．育红小学五（1）班学生人数在45~60之间，参加植树活动时，如果每6人一组或9人一组，都刚好分完且无剩余。这个班有　     　人。

16．（2021五下·苏州期末）王老师把36块饼干和40颗糖平均分给幼儿园的几个小朋友，结果饼干多了1块，糖少了2颗。参与分饼干和糖的小朋友有　     　人。

17．（2021·长春）如果你写出12的所有约数，除 1 和 12 外，你会发现最大的约数是最小约数的 3 倍，现有一个整数n， 除掉它的约数 1 和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的 15 倍，那么满足条件的整数n为 　        　 ．（写出所有可能的答案）

18．（2021六上·济南期末）有两个质数，它们的和是合数，差是质数，并且和是差的6倍，这两个质数是　     　和　     　．

19．（2020·武昌）在等式a=3×5×m，b=3×7×m中，m是大于0的自然数，如果a和b的最大公因数是6，那么m是　     　，a和b的最小公倍数是　     　。

四、计算能手(共1题；共6分)

20．（2021五下·滁州期中）直接写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。

[7，10]＝               [24，4]＝               [12，15]＝

（8，12）＝        （75，15）＝          （20，21）＝

五、解决问题(共11题；共59分)

21．（5分）五（1）班学生人数不超过50人，在分小组做游戏时，可以分为每组6人或者每组8人，两种分法都刚好分完。这个班的学生最多可能有多少人？

22．（5分）如下图所示，用若干个长10厘米、宽8厘米的小长方形可以拼成一个正方形，那么拼成的正方形的边长最短是多少？至少需要多少个这样的小长方形？

23．（5分）（2020·惠阳）为支援灾区的学生，试验小学开展了捐苗活动，四年级捐书210本，五年级比四年级少捐50本，六年级捐的本数是五年级的2倍。六年级捐书多少本？

24．（5分）育才小学六（I）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行。这个班至少有学生多少人？  

25．（5分）今年3月12日，五年级有一部分学生参加了植树活动，人数在30和50人之间，如果分4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。五年级参加植树的学生有多少人？

26．（5分）小华是中学生．有人问他得了多少分？第几名？几岁了？小华说这三个问题的答案的乘积为291O．小华得了多少分？第几名？多少岁？ 

27．（5分）五一班参加兴趣小组活动，如果3人一组，8人一组或16人一组，都没有剩下的同学，这个班至少有多少人？ 

28．（6分）学校用地板砖铺设长90分米，宽60分米的教室地面，可以选用边长多少分米的正方形地板砖（使用的地板砖都是整块）？至少需要多少块？ 

29．（6分）小刚和爸爸在400米的环形跑道上跑步锻炼。爸爸每4分钟跑一圈，小刚每6分钟跑一圈。他们同时从起点出发后，至少经过多少分钟又能在起点相遇？

30．（6分）（2021五上·峄城期中）小明、小华两位同学共向河南灾区捐款180元，其中小明捐款的钱数是小华捐款的钱数的2倍，小明、小华各捐款多少元？

31．（6分）把一个长40厘米、宽32厘米、高28厘米的长方体木块锯成若干个大小相同的正方体木块，锯完后没有余料，最少可以锯成多少个正方体？

答案解析

1．【答案】D

【完整解答】解：自然数中，17的倍数有：17、34、51、68、85······这些数中有奇数、偶数、质数也有合数。
故答案为：D。

【思路引导】17的倍数有奇数、偶数、质数还有合数。

2．【答案】B

【完整解答】解：10×9=90（元）
故答案为：B。

【思路引导】一双鞋的价格=一双袜子的价格×9，据此解答。

3．【答案】C

【完整解答】 从2，0，5，7四个数字中选择三个数字组成一个三位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数。这个三位数最大是750。
故答案为：C。

【思路引导】既是3的倍数，又是5的倍数：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，个位上是0或5的数，据此解答。

4．【答案】C

【完整解答】A选项， 所有的偶数都是合数，说法错误；
B选项， 假分数的倒数一定是真分数，说法错误 ；
C选项， 两个完全一样的梯形都能拼成一个平行四边形，说法正确 。
故答案为：C。
【思路引导】A、B选项，举反例即可，2是偶数，但不是合数；1是假分数，它的倒数仍是1。据此解答即可。

5．【答案】A

【完整解答】 在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，下列数字满足条件的是：25。
故答案为：A。
【思路引导】 解答此题时，首先判断个位是几，这个数的个位乘9后，积的个位还是原来的个位，说明个位只能是0或5；当个位是0，因为20×9=180，30×9=270，……，不管是几十乘9，结果百位数字总比原来的十位数字小，所以个位只能是5，25×9=225，在25的中间插入数字2，就变成了225，符合题意。

6．【答案】（1）正

【完整解答】解：分数的分子与分母是两个不同的质数，这样的分数一定是最简分数。原题说法正确。
故答案为：正确。

【思路引导】分子和分母的公因数只有1的分数是最简分数，分数的分子和分母是两个不同的质数，这个分数的分子和分母只有公因数1，所以是最简分数。

7．【答案】（1）错误

【完整解答】解：一个数既是4的倍数，又是6的倍数，但是这个数不一定是24的倍数。
故答案为：错误。
【思路引导】12既是4的倍数，又是6的倍数，但不是24的倍数。

8．【答案】（1）错误

【完整解答】解：18分解质因数是18=2×3×3。
故答案为：错误。
【思路引导】把一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。

9．【答案】（1）错误

【完整解答】 用小于10的三个不同质数组成的同时是2和3的倍数的最大三位数是732。原说法错误。
故答案为：错误。
【思路引导】10以内质数有2、3、5、7。百位是7，十位是2，个位是2时，符合题意。

10．【答案】（1）正

【完整解答】解：a的最大因数是它本身，b的最小倍数是它本身，那么a与b相等。
故答案为：正确。

【思路引导】一个数的最大因数与最小倍数都等于它本身，所以a与b相等。

11．【答案】18、30；15、25、30；15、18、30；30

【完整解答】解：2的倍数有：18、30；
5的倍数有：15、25、30；
3的倍数有：15、18、30；
既是2，5的倍数，又是3的倍数有：30。
故答案为：18、30； 15、25、30；15、18、30；30。

【思路引导】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上是0或者5的数是5的倍数；一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位上是0，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是2、3和5的倍数。

12．【答案】6；24

【完整解答】解：6和24最大公因数是6，最小公倍数是24。
故答案为：6；24。

【思路引导】两个数是倍数关系，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

13．【答案】30

【完整解答】解：

10和15的最小公倍数是：5×2×3
=10×3
=30，至少再经过30分又同时开出。
故答案为：30。
【思路引导】又同时开出至少再经过的时间=10和15的最小公倍数，用短除法求出。

14．【答案】32

【完整解答】解：3、5、6的最小公倍数是30，30+2=32，所以这个数最小是32。
故答案为：32。
【思路引导】因为这个数被3、5、6除都余2，所以先求出3、5、6的最小公倍数，然后加上2即可。

15．【答案】54

【完整解答】解：
6和9的最小公倍数是：3×2×3
=6×3
=18
18×3=54（人）
故答案为：54。
【思路引导】如果每6人一组或9人一组，都刚好分完且无剩余，则这个班的人数是6和9的公倍数，用短除法求出；因为育红小学五（1）班学生人数在45~60之间，所以参加植树活动时的人数=18×3=54人。

16．【答案】7

【完整解答】解：36-1=35
40＋2=42

35和42的最大公因数是7，则参与分饼干和糖的小朋友有7人。
故答案为：7。
【思路引导】参与分饼干和糖的小朋友的人数=35和42的最大公因数，用短除法求出。

17．【答案】60或135

【完整解答】解：因为其中一个约数是另一个约数的15倍，结合15=3×5，那么这个数必然含有约数3和5，那么最小的约数除1外就不能是5，所以就只有2和3，那么n就是2×15×2=60，或者3×15×3=135。
故答案为：60或135。
【思路引导】因为其中一个约数是另一个约数的15倍，结合15=3×5，那么这个数必然含有约数3和5，那么最小的约数除1外就不能是5，所以就只有2和3；然后确定n的所有可能即可。

18．【答案】5；7

【完整解答】解：设其中一个数为a，另一个数为b，则
a+b=6（a-b）
a+b=6a-6b
a+b-6a+6b=0
7b-5a=0
则这两个质数是5和7。
故答案为：5；7。
【思路引导】设其中一个数为a，另一个数为b，根据两个数的和是差的6倍列出一个含有未知数的等式，化简这个等式确定a与b的关系并确定这两个数即可。

19．【答案】2；210

【完整解答】解：3m=6，则m=2；
最小公倍数是：3×5×2×7=210。
故答案为：2；210。

【思路引导】两个数公有的质因数是3和m，最大公因数是6，说明3和m的乘积是6，这样就能确定m的值。两个数的最小公倍数是两个数公有的质因数和独有的质因数的乘积。

20．【答案】[7，10]＝70             [24，4]＝24               [12，15]＝60

（8，12）＝4        （75，15）＝15          （20，21）＝1

【思路引导】求两个数的最大公因数，先把这两个数分解质因数，它们的最大公因数就是把它们公有的质因数乘起来即可；
求两个数的最小公倍数，先把这两个数分解质因数，它们的最小公倍数就是把它们公有的和各自有的质因数乘起来即可；
互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；
一个数的另一个数的整数倍，那么这两个数的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

21．【答案】解：6和8的最小公倍数是24。

24×2=48（人）

答：这个班的学生最多可能有48人。

【思路引导】每组6人或者每组8人，两种分法都刚好分完，先找出6和8的最小公倍数，然后根据最小公倍数的倍数找出符合题意的人数即可。

22．【答案】解：10和8的最小公倍数是40，

（40÷10）×（40÷8）=20（个）

答：拼成的正方形的边长最短是40厘米，至少需要20个这样的小长方形。

【思路引导】拼成的正方形的边长最短就是小长方形的长和宽的最小公倍数，那么至少需要这样的小正方形的个数=（拼成的正方形的边长÷长方形的长）×（拼成的正方形的边长÷长方形的宽）。

23．【答案】解：（210－50）×2
=160×2
=320（本）
答： 六年级捐书320本。

【思路引导】根据“ 六年级捐的本数是五年级的2倍”可得“五年级的本数×2=六年级的本数”据此解答即可。

24．【答案】解：12=2×2×3，16=2×2×2×2，12和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48，
48+1=49（人）
答：这个班至少有学生49人。

【思路引导】除了体育委员，其他学生人数一定是12和16的公倍数，因此求出12和16的最小公倍数再加上体育委员就是这个班至少的人数。

25．【答案】解：4、6、8的最小公倍数是24，4、6、8的公倍数有24、48、72……，
答：五年级参加植树的学生有48人。

【思路引导】因为分4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完，所以总人数一定是4、6、8的公倍数。先找出三个数的最小公倍数，再找出几个倍数，在30到50之间的倍数就是五年级参加植树的学生数。

26．【答案】解：2910=2×3×5×97， 

小华是中学生，小学生一般六周岁入学，

则他的年龄一定是3×5=15岁，

即2910=15×2×97．

则他的得分为97，

名次为第2名，

年龄是15．

答：小华得了97分，第2名，15岁

【思路引导】本题可将2910分解质因数后，根据得分、名次及年龄的特点进行确定． 

2910=2×3×5×97．由于2910正好是小明得分、名次和他的年龄的连乘积．小华是中学生，小学生一般六周岁入学，则他的年龄一定是3×5=15岁，则他的得分为97，名次为第2名．首先将2910分解质因数，并根据年级及年龄特点确定年龄是完成本题的关键．

27．【答案】解：8=2×2×2，

16=2×2×2×2，

3、8和16的最小公倍数是；2×2×2×2×3=48，

答：这个班至少有48人。

【思路引导】如果3人一组，8人一组或16人一组，都没有剩下的同学，那么五一班的人数是3、8和16的公倍数，要求至少有多少人，就是求3、8和16的最小公倍数，据此解答．解答本题关键是理解：每3人分一组，没有剩余，每8人分一组也没有剩余，每16人分一组也没有剩余，就是说五一班的人数是3、8和16的公倍数． 

28．【答案】解：90的因数有：1、2、3、5、6、9、10、15、30、45、90， 

60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，

所以90、60的公因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，

答：可以选择边长是2分米、3分米、5分米、6分米、15分米、30分米的正方形地砖．

求至少需要多少块，应使每块正方形地板砖的面积最大，所以：

90×60÷（30×30）

=5400÷900

=6（块）

答：至少需要6块

【思路引导】（1）根据题意，要满足使用的地砖都是整块，则正方形地砖的边长是90、60的公因数；然后求出90、60的因数各有哪些，进而判断出90、60的公因数，即可求出选择边长是多少分米的正方形地砖．（2）求至少需要多少块，应使每块正方形地板砖的面积最大；先根据长方形的面积公式：S=ab和正方形的面积公式：S=a2，分别求出教室的面积和地板砖的最大面积，再用教室的面积除以地板砖的面积，解答即可．此题主要考查了几个数的公因数的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是注意联系生活实际． 

29．【答案】解：
4和6的最小公倍数是：2×2×3
=4×3
=12
答：至少经过12分钟又能在起点相遇。

【思路引导】又能在起点相遇至少经过的时间=4和6的最小公倍数，用短除法求出。

30．【答案】解：小华捐款的钱数=180÷（1+2）
=180÷3
=60（元）；
小明捐款的钱数=60×2=120（元）。
答：小明捐款120元；小华捐款60元。

【思路引导】小华捐款的钱数占1份，则小明捐款的钱数占2份，所以小华捐款的钱数=小明和小华一共捐款的钱数÷（小华捐款的钱数占的份数+小明捐款的钱数占的份数）；小明捐款的钱数=小华捐款的钱数×小明捐款的钱数是小华捐款的钱数的倍数，代入数值计算即可。

31．【答案】解：
40、32和28的最大公因数是2×2=4
40÷4=10（个）
32÷4=8（个）
28÷4=7（个）
10×8×7
=80×7
=560（个）

答：最少可以锯成560个正方体。

【思路引导】最少可以锯成正方体的个数=长方体长边锯的个数×宽边锯的个数×高边锯的个数；其中；长、宽、高边锯的个数=长方形的长、宽、高分别÷它们的最大公因数；用短除法求出它们的最大公因数。