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2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（下）第二次周考数学试卷
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这是一份2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（下）第二次周考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列各数中，是有理数的是（ ）
A．πB．3C．D．3.3
2．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
3．（4分）下列各式中，计算结果为a6是（ ）
A．a3+a3B．a3•a2C．（a3）2D．a12÷a2
4．（4分）如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为3：5，则OA与OD之比为（ ）
A．2：3B．3：2C．2：5D．3：5
5．（4分）一个正比例函数的图象经过A（3，-9），B（-m，24）两点，则m的值为（ ）
A．8B．18C．-8D．-18
6．（4分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠DAB=72°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．49°B．54°C．59°D．72°
7．（4分）下列四个命题中，是真命题的（ ）
A．内错角相等
B．矩形的对角线相等
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
8．（4分）观察下列图形，第1个图形中有4颗棋子，第2个图形中有7颗棋子，第3个图形中有11颗棋子，第4个图形中有16颗棋子…依次规律，第8个图形中棋子的颗数是（ ）
A．29B．37C．46D．56
9．（4分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知快递车从乙地返回时的速度是90千米/时，两车之间距离y（千米）与时间x（小时）之间函数图象如图所示，①图象中的折线段AB表示货车正在另装货物；②货车的速度为60千米/时，甲地到乙地的距离是300千米；③整个过程中货车行驶的时间为3.75小时；④整个过程中快递车行驶的距离为321千米，上述说法正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（4分）如图是杨家坪步行街某天桥扶梯横截面的平面图．身高为1.5米的小明站在距离扶梯底端A处8米远的点P处，测得扶梯顶端B的仰角为18°，扶梯AB的坡度i=3：4，已知扶梯顶端B到天桥顶部的距离为2.3米，则小明所在位置点P到天桥顶部的距离是（ ）（参考数据：sin18°≈0.29，cs18°≈0.95，tan18°≈）
A．12.3米B．9.8米C．7.9米D．7.5米
11．（4分）若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程=1的解是非负数，则符合条件的所有整数a的个数是（ ）
12．（4分）如图，在等腰△AOB中，AO=AB，顶点A为反比例函数y=（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=的图象上于点C，连接OC交AB于点D，若△BCD的面积为2，则k的值为（ ）
A．18B．20C．22D．21
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）某地民政局接受当地防治新冠肺炎社会捐款共计约3180000元，3180000用科学记数法表示为_______.
14．（4分）如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足x-y=3，则k的值是______.
15．（4分）一个不透明的袋中有四张形状大小质地完全相同的卡片，它们上面分别标有数字-1、2、-3、4、-5，随机抽取一张卡片，把上面的数字记为a，然后再从剩下的四张卡片随机抽取一张，把上面的数字记为b，则恰好使得抛物线y=-ax2+x-1的对称轴在y轴左侧，且双曲线y=经过一、三象限的概率是___.
16．（4分）如图，在扇形AOB中，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA=2
，AB=OB，则阴影部分的面积为______.
17．（4分）如图，三角形纸片ABC，点D是AB的中点，点E为BC上一点，连接DE，把△BDE沿着DE翻折，得到△B'DE，B'恰好落在AC上，连接BB'交DE于点F．若DF=，B'F=2，△B'EC的面积为6，则点D到BC的距离为________.
18．（4分）汤圆，别称“汤团”“浮元子”，象征合家团圆美满，是一种深受人们喜爱的传统小吃．某超市通过市场调查，发现花生汤圆、黑芝麻汤圆及小汤圆最受欢迎．1月里，超市购进花生汤圆和黑芝麻汤圆的进价相同，小汤圆的成本是黑芝麻汤圆成本的．该超市将黑芝麻汤圆、花生汤圆、小汤圆的进价依次提高60%、40%、100%进行销售，到月底，发现小汤圆的销量占全部销量的40%，三种汤圆的总利润率是62.5%．2月里．临近春节，黑芝麻汤圆的进价涨了20%，销量比1月销量涨了倍，利润率为1月的利润率的2倍，花生汤圆的销量是1月销量的2倍，小汤圆的销量比1月销量涨了50%，则2月底，三种汤圆销售利润率是_____.
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19．（10分）计算：
（1）（x-y）2-x（x+y）；
（2）（x-2-）÷
20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接DE；
（2）若∠EBC=30°，EC=1，求四边形BCED的面积．
21．（10分）近期，某校在网上举办了关于《重庆市文明城市促进条例》知识答题竞赛，初、高中部各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的成绩如图所示．
（1）根据图示计算a=_____，b=_____，c=_____，并补全条形统计图；
（2）若该校初中部成绩在85分及以上的有2160名学生，估计该校初中部有多少名学生？
（3）结合两队成绩的相关数据，评价哪个队的决赛成绩较好？
22．（8分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
23．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=的自变量的取值范围是______；
（2）如表是函数y与自变量x的几组对应值，则m=_____，n=______；
（3）在平面直角坐标系xOy中，补全此函数的图象，并写出这个函数的一条性质：_______________________________；
（4）根据函数图象，直接写出=x-1的近似解_____．（精确到0.1）
24．（10分）对任意一个三位数m=100a+10b+c，（1≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c均为整数），如果个位数字与百位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“平衡数”，将m的百位作为个位，m的个位作为十位，m的十位作为百位组成一个新的三位数s，规定：r=m-s，F（m）=r+99c，例如：132是一个“平衡数”，s=321，r=132-321=-189，F（132）=-189+198=9
（1）请任意写出三个“平衡数”：并猜想r是否是9的倍数，请说明理由．
（2）已知一个三位“平衡数”n=50（2x+1）+3y，（1≤x≤9，0≤y≤6，且x，y均为整数），求F（n）的最大值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）点B与点D的坐标；
（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP=S△ABC，求m的值；
（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．
26．（10分）在△ABC和△BDE中，∠BDE=∠BAC=90°，AB=AC，DB=DE，BC=2BE，点F为EC中点，连接DF、AF，△DBE绕着点B顺时针旋转．
（1）如图1，BE旋转到BC边上时，若BD=，求AF的长；
（2）当△DBE旋转到图2位置时，求证：AF=DF；
（3）如图3，△DBE绕着点B顺时针旋转，其中BD=，当AF最小时，直接写出△ADE的面积．
2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（下）第二次周考数学试卷（教师版）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑.
1．（4分）下列各数中，是有理数的是（ ）
A．πB．3C．D．3.3
2．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
3．（4分）下列各式中，计算结果为a6是（ ）
A．a3+a3B．a3•a2C．（a3）2D．a12÷a2
4．（4分）如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为3：5，则OA与OD之比为（ ）
A．2：3B．3：2C．2：5D．3：5
5．（4分）一个正比例函数的图象经过A（3，-9），B（-m，24）两点，则m的值为（ ）
A．8B．18C．-8D．-18
6．（4分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠DAB=72°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．49°B．54°C．59°D．72°
7．（4分）下列四个命题中，是真命题的（ ）
A．内错角相等
B．矩形的对角线相等
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
8．（4分）观察下列图形，第1个图形中有4颗棋子，第2个图形中有7颗棋子，第3个图形中有11颗棋子，第4个图形中有16颗棋子…依次规律，第8个图形中棋子的颗数是（ ）
A．29B．37C．46D．56
9．（4分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知快递车从乙地返回时的速度是90千米/时，两车之间距离y（千米）与时间x（小时）之间函数图象如图所示，①图象中的折线段AB表示货车正在另装货物；②货车的速度为60千米/时，甲地到乙地的距离是300千米；③整个过程中货车行驶的时间为3.75小时；④整个过程中快递车行驶的距离为321千米，上述说法正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：由图图象可得，点A表示快递车到达乙地，线段AB表示快递车正在另装货物，BC表示快递车从乙地返回直至与货车相遇．故①错误；
由图图象可得，点B的横坐标为3+45/60=15/4（小时），
设货车的速度为a千米/时，由快递车从乙地返回时的速度是90千米/时以及折线段ABC得，
（4-3）a+（4-）×90=120，
解得：a=60，
设快递车向乙地行驶时的速度为b千米/时，由线段OA得，
3（b-60）=120，
解得：b=100，
∴甲地到乙地的距离是100×3=300千米，故②正确；
整个过程中货车一直行驶，所以整个过程中货车行驶的时间为4=4.25小时，故③错误；
快递车从甲地向乙地行驶300千米，返回时行驶90×（4-）=45（千米），300+45=345（千米），故④错误；
正确的只有②，
故选：A．
10．（4分）如图是杨家坪步行街某天桥扶梯横截面的平面图．身高为1.5米的小明站在距离扶梯底端A处8米远的点P处，测得扶梯顶端B的仰角为18°，扶梯AB的坡度i=3：4，已知扶梯顶端B到天桥顶部的距离为2.3米，则小明所在位置点P到天桥顶部的距离是（ ）（参考数据：sin18°≈0.29，cs18°≈0.95，tan18°≈）
A．12.3米B．9.8米C．7.9米D．7.5米
【答案】B
11．（4分）若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程=1的解是非负数，则符合条件的所有整数a的个数是（ ）
【答案】B
12．（4分）如图，在等腰△AOB中，AO=AB，顶点A为反比例函数y=（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=的图象上于点C，连接OC交AB于点D，若△BCD的面积为2，则k的值为（ ）
A．18B．20C．22D．21
解：如图，
过点A作AF⊥OB交x轴于F，交OC于点E，
∵OA=AB，AF⊥OB，
∴OF=FB=1/2OB，
∵BC⊥OB，
∴AF∥BC，
∴BC=2EF，
设OF=a，则OB=2a，
∴AF=2BC=4EF，AE=AF-EF=3EF，
∵△ADE∽△BDC，
∵△BCD的面积为2，
∵k＞0，
∴k=20．
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）某地民政局接受当地防治新冠肺炎社会捐款共计约3180000元，3180000用科学记数法表示为_______.
14．（4分）如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足x-y=3，则k的值是______.
15．（4分）一个不透明的袋中有四张形状大小质地完全相同的卡片，它们上面分别标有数字-1、2、-3、4、-5，随机抽取一张卡片，把上面的数字记为a，然后再从剩下的四张卡片随机抽取一张，把上面的数字记为b，则恰好使得抛物线y=-ax2+x-1的对称轴在y轴左侧，且双曲线y=经过一、三象限的概率是___.
16．（4分）如图，在扇形AOB中，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA=2
，AB=OB，则阴影部分的面积为______.
17．（4分）如图，三角形纸片ABC，点D是AB的中点，点E为BC上一点，连接DE，把△BDE沿着DE翻折，得到△B'DE，B'恰好落在AC上，连接BB'交DE于点F．若DF=，B'F=2，△B'EC的面积为6，则点D到BC的距离为________.
解：如图，过点D作DH⊥BE于H．
∵把△BDE沿着DE翻折，得到△B'DE，B'恰好落在AC上，
∵DE垂直平分线段BB′，
∴BF=FB′=2，
∵AD=DB，
∴DF∥AC，
∴BE=EC，
∴S△B′EC=S△B′BE=6，
∴1/2•BB′•EF=6，
∵BB′=2BF=4，
∴EF=3，
18．（4分）汤圆，别称“汤团”“浮元子”，象征合家团圆美满，是一种深受人们喜爱的传统小吃．某超市通过市场调查，发现花生汤圆、黑芝麻汤圆及小汤圆最受欢迎．1月里，超市购进花生汤圆和黑芝麻汤圆的进价相同，小汤圆的成本是黑芝麻汤圆成本的．该超市将黑芝麻汤圆、花生汤圆、小汤圆的进价依次提高60%、40%、100%进行销售，到月底，发现小汤圆的销量占全部销量的40%，三种汤圆的总利润率是62.5%．2月里．临近春节，黑芝麻汤圆的进价涨了20%，销量比1月销量涨了倍，利润率为1月的利润率的2倍，花生汤圆的销量是1月销量的2倍，小汤圆的销量比1月销量涨了50%，则2月底，三种汤圆销售利润率是_____.
解：设花生汤圆和黑芝麻汤圆的进价为x元，则小汤圆的成本为1/2x元，全部销量为y，花生汤圆的销量为a，黑芝麻汤圆的销量为b，根据题意得
故答案为：84%．
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19．（10分）计算：
（1）（x-y）2-x（x+y）；
（2）（x-2-）÷
20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接DE；
（2）若∠EBC=30°，EC=1，求四边形BCED的面积．
21．（10分）近期，某校在网上举办了关于《重庆市文明城市促进条例》知识答题竞赛，初、高中部各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的成绩如图所示．
（1）根据图示计算a=_____，b=_____，c=_____，并补全条形统计图；
（2）若该校初中部成绩在85分及以上的有2160名学生，估计该校初中部有多少名学生？
（3）结合两队成绩的相关数据，评价哪个队的决赛成绩较好？
22．（8分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
解得：x=3，
经检验x=3是原方程的解，
所以3+2=5，
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；
（2）解法一：设建A摊位a个，建造这90个摊位的费用为y元，则建B摊位（90-a）个，
由题意得：y=5a×40+3×30（90-a）=110a+8100，
∵110＞0，
∴y随a的增大而增大，
∵90-a≥3a，
解得a≤22.5，
∵a为整数，
∴当a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：110×22+8100=10520；
解法二：设建A摊位a（a为整数）个，则建B摊位（90-a）个，
由题意得：90-a≥3a，
解得a≤22.5，
∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，
∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：22×40×5+30×（90-22）×3=10520，
答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．
23．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=的自变量的取值范围是______；
（2）如表是函数y与自变量x的几组对应值，则m=_____，n=______；
（3）在平面直角坐标系xOy中，补全此函数的图象，并写出这个函数的一条性质：_______________________________；
（4）根据函数图象，直接写出=x-1的近似解_____．（精确到0.1）
24．（10分）对任意一个三位数m=100a+10b+c，（1≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c均为整数），如果个位数字与百位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“平衡数”，将m的百位作为个位，m的个位作为十位，m的十位作为百位组成一个新的三位数s，规定：r=m-s，F（m）=r+99c，例如：132是一个“平衡数”，s=321，r=132-321=-189，F（132）=-189+198=9
（1）请任意写出三个“平衡数”：并猜想r是否是9的倍数，请说明理由．
（2）已知一个三位“平衡数”n=50（2x+1）+3y，（1≤x≤9，0≤y≤6，且x，y均为整数），求F（n）的最大值．
解：（1）264，
设m=100a+10b+c则s=100b+10c+a，
∴r=m-s=99a-90b-9c=9×（11a-10b-c），
∴能被9整除，
∴r是9的倍数；
（2）n=100x+50+3y，n又是一个平衡数，所以可得一共有4种可能，分别是
①x=5，y=0 n=550 s=505 r=n-s=45 F（550）=45+0×99=45
②x=2，y=1，n=251 s=512 r=n-s=-261 F（251）=-261+99=-162
③x=1，y=5，n=165 s=651 r=n-s=-486 F（165）=-486+99×5=9
④x=y=4，n=462，s=624，r=n-s=-162 F（462）=-162+99×4=333，
综上所述；最大值是当n为462时，F（462）=333，最大值为333．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）点B与点D的坐标；
（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP=S△ABC，求m的值；
（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）当y=0时，
由
∴A（-2，0），B（8，0）；
∵点D为线段AB的中点，
∴D（3，0）.
（2）如图1，作PG⊥x轴，交CD的延长线于点G，作PE⊥CD于点E，
（3）存在．
①如图1，BC为矩形BKCH的对角线，连结KH交BC于点Q．
∵Q为BC的中点，
∴Q（4，2），
∴QK2=QC2=42+（4-2）2=20，
整理，得m4-12m3+36m2-32m=0，即m2（m2-12m+32）+4m（m-8）=0，
∴m（m-2）（m-8）=0
解得m1=2，m2=0（不符合题意，舍去），m3=8（不符合题意，舍去），
∴K（2，6），
∵点H与点K（2，6）关于点Q（4，2）对称，
∴H（6，-2）；
②如图3，作平行四边形ACBH．
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CBO+∠OCB=90°，
∴当点K与点A重合时，四边形KCBH是矩形，
∵点H与点C（0，4）关于点D（3，0）对称，
∴H（6，-4）；
③如图4，作BK∥AC交抛物线于另一点K，作平行四边形BCHK，则四边形BCHK是矩形；
连结CK、BH交于点R．
设直线AC的解析式为y=px+4，则-2p+4=0，解得p=2，
∴y=2x+4；
设直线BK的解析式为y=2x+q，则16+q=0，解得q=-16，
∴y=2x-16．
∴K（-10，-36），
∴R（-5，-16），
∵点H与点B（8，0）关于点R（-5，-16）对称，
∴H（-18，-32）．
综上所述，点H的坐标为（6，-2）或（6，-4）或（-18，-32）．
26．（10分）在△ABC和△BDE中，∠BDE=∠BAC=90°，AB=AC，DB=DE，BC=2BE，点F为EC中点，连接DF、AF，△DBE绕着点B顺时针旋转．
（1）如图1，BE旋转到BC边上时，若BD=，求AF的长；
（2）当△DBE旋转到图2位置时，求证：AF=DF；
（3）如图3，△DBE绕着点B顺时针旋转，其中BD=，当AF最小时，直接写出△ADE的面积．
解：（1）如图1中，过点C作DE的平行线交DF的延长线于K，连接AD，AK．
∵CK∥DE，
∴∠CKF=∠FDE，
∵∠CFK=∠EFD，CF=EF，
∴△CFK≌△EFD（AAS），
∴DE=CK，DF=FK，
∵AB=AC，DB=DE，∠BDE=∠CAB=90°，
∴∠DBE=∠CBA=45°，
∴∠ABD=90°，
∵BD⊥DE，CK∥DE，BD∥AC，
∴CK⊥AC，
∴∠ACK=∠ABD=90°，
∵BD=CK，BA=CA，
∴△ABD≌△ACK（SAS），
∴AD=AK，∠BAD=∠CAK，
∴∠DAK=∠BAC=90°，
∴△ADK是等腰直角三角形，
∵BD=DE=，
∴BE=BD=2，
∵BC=2BE，
∴BC=4，
∴AB=AC=2，
（2）如图2中，过点C作DE的平行线交DF的延长线于K，连接AD，AK，延长DE交AC于H．
∵CK∥DE，
∴∠CKF=∠FDE，
∵∠CFK=∠EFD，CF=EF，
∴△CFK≌△EFD（AAS），
∴DE=CK，DF=FK，
∵AB=AC，DB=DE，∠BDE=∠CAB=90°，
∵CK∥DH，
∴∠KCH=∠CHD，
∵∠BDH+∠BAH=180°，
∴∠ABD+∠AHD=180°，
∵∠CHD+∠AHD=180°，
∴∠ACK=∠ABD，
∵BD=CK，BA=CA，
∴△ABD≌△ACK（SAS），
∴AD=AK，∠BAD=∠CAK，
∴∠DAK=∠BAC=90°，
∴△ADK是等腰直角三角形，
∵DF=FK，
∴AF=1/2DK=DF．
（3）如图2中，由（2）可知，△ADF是等腰直角三角形，
∴AD最小时，AF的值最小，
∵AD≥AB-BD，
∴AD≥，
∴AD的最小值为，此时点D落在AB上（如图3中，连接AE），
∴S△ADE=1/2×DE×AD=1．
A．
B．
C．
D．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
平均分
中位数
众数
方差
初中部
a
85
b
70
高中部
85
c
100
160
x
…
-3
-2
-1
0
1
3
4
5
6
7
…
y
…
0.6
m
1
1.5
3
n
1.5
1
0.75
0.6
…
A．
B．
C．
D．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
平均分
中位数
众数
方差
初中部
a
85
b
70
高中部
85
c
100
160
x
…
-3
-2
-1
0
1
3
4
5
6
7
…
y
…
0.6
m
1
1.5
3
n
1.5
1
0.75
0.6
…
1．（4分）下列各数中，是有理数的是（ ）
A．πB．3C．D．3.3
2．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
3．（4分）下列各式中，计算结果为a6是（ ）
A．a3+a3B．a3•a2C．（a3）2D．a12÷a2
4．（4分）如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为3：5，则OA与OD之比为（ ）
A．2：3B．3：2C．2：5D．3：5
5．（4分）一个正比例函数的图象经过A（3，-9），B（-m，24）两点，则m的值为（ ）
A．8B．18C．-8D．-18
6．（4分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠DAB=72°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．49°B．54°C．59°D．72°
7．（4分）下列四个命题中，是真命题的（ ）
A．内错角相等
B．矩形的对角线相等
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
8．（4分）观察下列图形，第1个图形中有4颗棋子，第2个图形中有7颗棋子，第3个图形中有11颗棋子，第4个图形中有16颗棋子…依次规律，第8个图形中棋子的颗数是（ ）
A．29B．37C．46D．56
9．（4分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知快递车从乙地返回时的速度是90千米/时，两车之间距离y（千米）与时间x（小时）之间函数图象如图所示，①图象中的折线段AB表示货车正在另装货物；②货车的速度为60千米/时，甲地到乙地的距离是300千米；③整个过程中货车行驶的时间为3.75小时；④整个过程中快递车行驶的距离为321千米，上述说法正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（4分）如图是杨家坪步行街某天桥扶梯横截面的平面图．身高为1.5米的小明站在距离扶梯底端A处8米远的点P处，测得扶梯顶端B的仰角为18°，扶梯AB的坡度i=3：4，已知扶梯顶端B到天桥顶部的距离为2.3米，则小明所在位置点P到天桥顶部的距离是（ ）（参考数据：sin18°≈0.29，cs18°≈0.95，tan18°≈）
A．12.3米B．9.8米C．7.9米D．7.5米
11．（4分）若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程=1的解是非负数，则符合条件的所有整数a的个数是（ ）
12．（4分）如图，在等腰△AOB中，AO=AB，顶点A为反比例函数y=（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=的图象上于点C，连接OC交AB于点D，若△BCD的面积为2，则k的值为（ ）
A．18B．20C．22D．21
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）某地民政局接受当地防治新冠肺炎社会捐款共计约3180000元，3180000用科学记数法表示为_______.
14．（4分）如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足x-y=3，则k的值是______.
15．（4分）一个不透明的袋中有四张形状大小质地完全相同的卡片，它们上面分别标有数字-1、2、-3、4、-5，随机抽取一张卡片，把上面的数字记为a，然后再从剩下的四张卡片随机抽取一张，把上面的数字记为b，则恰好使得抛物线y=-ax2+x-1的对称轴在y轴左侧，且双曲线y=经过一、三象限的概率是___.
16．（4分）如图，在扇形AOB中，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA=2
，AB=OB，则阴影部分的面积为______.
17．（4分）如图，三角形纸片ABC，点D是AB的中点，点E为BC上一点，连接DE，把△BDE沿着DE翻折，得到△B'DE，B'恰好落在AC上，连接BB'交DE于点F．若DF=，B'F=2，△B'EC的面积为6，则点D到BC的距离为________.
18．（4分）汤圆，别称“汤团”“浮元子”，象征合家团圆美满，是一种深受人们喜爱的传统小吃．某超市通过市场调查，发现花生汤圆、黑芝麻汤圆及小汤圆最受欢迎．1月里，超市购进花生汤圆和黑芝麻汤圆的进价相同，小汤圆的成本是黑芝麻汤圆成本的．该超市将黑芝麻汤圆、花生汤圆、小汤圆的进价依次提高60%、40%、100%进行销售，到月底，发现小汤圆的销量占全部销量的40%，三种汤圆的总利润率是62.5%．2月里．临近春节，黑芝麻汤圆的进价涨了20%，销量比1月销量涨了倍，利润率为1月的利润率的2倍，花生汤圆的销量是1月销量的2倍，小汤圆的销量比1月销量涨了50%，则2月底，三种汤圆销售利润率是_____.
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19．（10分）计算：
（1）（x-y）2-x（x+y）；
（2）（x-2-）÷
20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接DE；
（2）若∠EBC=30°，EC=1，求四边形BCED的面积．
21．（10分）近期，某校在网上举办了关于《重庆市文明城市促进条例》知识答题竞赛，初、高中部各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的成绩如图所示．
（1）根据图示计算a=_____，b=_____，c=_____，并补全条形统计图；
（2）若该校初中部成绩在85分及以上的有2160名学生，估计该校初中部有多少名学生？
（3）结合两队成绩的相关数据，评价哪个队的决赛成绩较好？
22．（8分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
23．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=的自变量的取值范围是______；
（2）如表是函数y与自变量x的几组对应值，则m=_____，n=______；
（3）在平面直角坐标系xOy中，补全此函数的图象，并写出这个函数的一条性质：_______________________________；
（4）根据函数图象，直接写出=x-1的近似解_____．（精确到0.1）
24．（10分）对任意一个三位数m=100a+10b+c，（1≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c均为整数），如果个位数字与百位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“平衡数”，将m的百位作为个位，m的个位作为十位，m的十位作为百位组成一个新的三位数s，规定：r=m-s，F（m）=r+99c，例如：132是一个“平衡数”，s=321，r=132-321=-189，F（132）=-189+198=9
（1）请任意写出三个“平衡数”：并猜想r是否是9的倍数，请说明理由．
（2）已知一个三位“平衡数”n=50（2x+1）+3y，（1≤x≤9，0≤y≤6，且x，y均为整数），求F（n）的最大值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）点B与点D的坐标；
（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP=S△ABC，求m的值；
（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．
26．（10分）在△ABC和△BDE中，∠BDE=∠BAC=90°，AB=AC，DB=DE，BC=2BE，点F为EC中点，连接DF、AF，△DBE绕着点B顺时针旋转．
（1）如图1，BE旋转到BC边上时，若BD=，求AF的长；
（2）当△DBE旋转到图2位置时，求证：AF=DF；
（3）如图3，△DBE绕着点B顺时针旋转，其中BD=，当AF最小时，直接写出△ADE的面积．
2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（下）第二次周考数学试卷（教师版）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑.
1．（4分）下列各数中，是有理数的是（ ）
A．πB．3C．D．3.3
2．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
3．（4分）下列各式中，计算结果为a6是（ ）
A．a3+a3B．a3•a2C．（a3）2D．a12÷a2
4．（4分）如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为3：5，则OA与OD之比为（ ）
A．2：3B．3：2C．2：5D．3：5
5．（4分）一个正比例函数的图象经过A（3，-9），B（-m，24）两点，则m的值为（ ）
A．8B．18C．-8D．-18
6．（4分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠DAB=72°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．49°B．54°C．59°D．72°
7．（4分）下列四个命题中，是真命题的（ ）
A．内错角相等
B．矩形的对角线相等
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
8．（4分）观察下列图形，第1个图形中有4颗棋子，第2个图形中有7颗棋子，第3个图形中有11颗棋子，第4个图形中有16颗棋子…依次规律，第8个图形中棋子的颗数是（ ）
A．29B．37C．46D．56
9．（4分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知快递车从乙地返回时的速度是90千米/时，两车之间距离y（千米）与时间x（小时）之间函数图象如图所示，①图象中的折线段AB表示货车正在另装货物；②货车的速度为60千米/时，甲地到乙地的距离是300千米；③整个过程中货车行驶的时间为3.75小时；④整个过程中快递车行驶的距离为321千米，上述说法正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：由图图象可得，点A表示快递车到达乙地，线段AB表示快递车正在另装货物，BC表示快递车从乙地返回直至与货车相遇．故①错误；
由图图象可得，点B的横坐标为3+45/60=15/4（小时），
设货车的速度为a千米/时，由快递车从乙地返回时的速度是90千米/时以及折线段ABC得，
（4-3）a+（4-）×90=120，
解得：a=60，
设快递车向乙地行驶时的速度为b千米/时，由线段OA得，
3（b-60）=120，
解得：b=100，
∴甲地到乙地的距离是100×3=300千米，故②正确；
整个过程中货车一直行驶，所以整个过程中货车行驶的时间为4=4.25小时，故③错误；
快递车从甲地向乙地行驶300千米，返回时行驶90×（4-）=45（千米），300+45=345（千米），故④错误；
正确的只有②，
故选：A．
10．（4分）如图是杨家坪步行街某天桥扶梯横截面的平面图．身高为1.5米的小明站在距离扶梯底端A处8米远的点P处，测得扶梯顶端B的仰角为18°，扶梯AB的坡度i=3：4，已知扶梯顶端B到天桥顶部的距离为2.3米，则小明所在位置点P到天桥顶部的距离是（ ）（参考数据：sin18°≈0.29，cs18°≈0.95，tan18°≈）
A．12.3米B．9.8米C．7.9米D．7.5米
【答案】B
11．（4分）若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程=1的解是非负数，则符合条件的所有整数a的个数是（ ）
【答案】B
12．（4分）如图，在等腰△AOB中，AO=AB，顶点A为反比例函数y=（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=的图象上于点C，连接OC交AB于点D，若△BCD的面积为2，则k的值为（ ）
A．18B．20C．22D．21
解：如图，
过点A作AF⊥OB交x轴于F，交OC于点E，
∵OA=AB，AF⊥OB，
∴OF=FB=1/2OB，
∵BC⊥OB，
∴AF∥BC，
∴BC=2EF，
设OF=a，则OB=2a，
∴AF=2BC=4EF，AE=AF-EF=3EF，
∵△ADE∽△BDC，
∵△BCD的面积为2，
∵k＞0，
∴k=20．
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）某地民政局接受当地防治新冠肺炎社会捐款共计约3180000元，3180000用科学记数法表示为_______.
14．（4分）如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足x-y=3，则k的值是______.
15．（4分）一个不透明的袋中有四张形状大小质地完全相同的卡片，它们上面分别标有数字-1、2、-3、4、-5，随机抽取一张卡片，把上面的数字记为a，然后再从剩下的四张卡片随机抽取一张，把上面的数字记为b，则恰好使得抛物线y=-ax2+x-1的对称轴在y轴左侧，且双曲线y=经过一、三象限的概率是___.
16．（4分）如图，在扇形AOB中，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA=2
，AB=OB，则阴影部分的面积为______.
17．（4分）如图，三角形纸片ABC，点D是AB的中点，点E为BC上一点，连接DE，把△BDE沿着DE翻折，得到△B'DE，B'恰好落在AC上，连接BB'交DE于点F．若DF=，B'F=2，△B'EC的面积为6，则点D到BC的距离为________.
解：如图，过点D作DH⊥BE于H．
∵把△BDE沿着DE翻折，得到△B'DE，B'恰好落在AC上，
∵DE垂直平分线段BB′，
∴BF=FB′=2，
∵AD=DB，
∴DF∥AC，
∴BE=EC，
∴S△B′EC=S△B′BE=6，
∴1/2•BB′•EF=6，
∵BB′=2BF=4，
∴EF=3，
18．（4分）汤圆，别称“汤团”“浮元子”，象征合家团圆美满，是一种深受人们喜爱的传统小吃．某超市通过市场调查，发现花生汤圆、黑芝麻汤圆及小汤圆最受欢迎．1月里，超市购进花生汤圆和黑芝麻汤圆的进价相同，小汤圆的成本是黑芝麻汤圆成本的．该超市将黑芝麻汤圆、花生汤圆、小汤圆的进价依次提高60%、40%、100%进行销售，到月底，发现小汤圆的销量占全部销量的40%，三种汤圆的总利润率是62.5%．2月里．临近春节，黑芝麻汤圆的进价涨了20%，销量比1月销量涨了倍，利润率为1月的利润率的2倍，花生汤圆的销量是1月销量的2倍，小汤圆的销量比1月销量涨了50%，则2月底，三种汤圆销售利润率是_____.
解：设花生汤圆和黑芝麻汤圆的进价为x元，则小汤圆的成本为1/2x元，全部销量为y，花生汤圆的销量为a，黑芝麻汤圆的销量为b，根据题意得
故答案为：84%．
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19．（10分）计算：
（1）（x-y）2-x（x+y）；
（2）（x-2-）÷
20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接DE；
（2）若∠EBC=30°，EC=1，求四边形BCED的面积．
21．（10分）近期，某校在网上举办了关于《重庆市文明城市促进条例》知识答题竞赛，初、高中部各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的成绩如图所示．
（1）根据图示计算a=_____，b=_____，c=_____，并补全条形统计图；
（2）若该校初中部成绩在85分及以上的有2160名学生，估计该校初中部有多少名学生？
（3）结合两队成绩的相关数据，评价哪个队的决赛成绩较好？
22．（8分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
解得：x=3，
经检验x=3是原方程的解，
所以3+2=5，
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；
（2）解法一：设建A摊位a个，建造这90个摊位的费用为y元，则建B摊位（90-a）个，
由题意得：y=5a×40+3×30（90-a）=110a+8100，
∵110＞0，
∴y随a的增大而增大，
∵90-a≥3a，
解得a≤22.5，
∵a为整数，
∴当a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：110×22+8100=10520；
解法二：设建A摊位a（a为整数）个，则建B摊位（90-a）个，
由题意得：90-a≥3a，
解得a≤22.5，
∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，
∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：22×40×5+30×（90-22）×3=10520，
答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．
23．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=的自变量的取值范围是______；
（2）如表是函数y与自变量x的几组对应值，则m=_____，n=______；
（3）在平面直角坐标系xOy中，补全此函数的图象，并写出这个函数的一条性质：_______________________________；
（4）根据函数图象，直接写出=x-1的近似解_____．（精确到0.1）
24．（10分）对任意一个三位数m=100a+10b+c，（1≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c均为整数），如果个位数字与百位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“平衡数”，将m的百位作为个位，m的个位作为十位，m的十位作为百位组成一个新的三位数s，规定：r=m-s，F（m）=r+99c，例如：132是一个“平衡数”，s=321，r=132-321=-189，F（132）=-189+198=9
（1）请任意写出三个“平衡数”：并猜想r是否是9的倍数，请说明理由．
（2）已知一个三位“平衡数”n=50（2x+1）+3y，（1≤x≤9，0≤y≤6，且x，y均为整数），求F（n）的最大值．
解：（1）264，
设m=100a+10b+c则s=100b+10c+a，
∴r=m-s=99a-90b-9c=9×（11a-10b-c），
∴能被9整除，
∴r是9的倍数；
（2）n=100x+50+3y，n又是一个平衡数，所以可得一共有4种可能，分别是
①x=5，y=0 n=550 s=505 r=n-s=45 F（550）=45+0×99=45
②x=2，y=1，n=251 s=512 r=n-s=-261 F（251）=-261+99=-162
③x=1，y=5，n=165 s=651 r=n-s=-486 F（165）=-486+99×5=9
④x=y=4，n=462，s=624，r=n-s=-162 F（462）=-162+99×4=333，
综上所述；最大值是当n为462时，F（462）=333，最大值为333．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）点B与点D的坐标；
（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP=S△ABC，求m的值；
（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）当y=0时，
由
∴A（-2，0），B（8，0）；
∵点D为线段AB的中点，
∴D（3，0）.
（2）如图1，作PG⊥x轴，交CD的延长线于点G，作PE⊥CD于点E，
（3）存在．
①如图1，BC为矩形BKCH的对角线，连结KH交BC于点Q．
∵Q为BC的中点，
∴Q（4，2），
∴QK2=QC2=42+（4-2）2=20，
整理，得m4-12m3+36m2-32m=0，即m2（m2-12m+32）+4m（m-8）=0，
∴m（m-2）（m-8）=0
解得m1=2，m2=0（不符合题意，舍去），m3=8（不符合题意，舍去），
∴K（2，6），
∵点H与点K（2，6）关于点Q（4，2）对称，
∴H（6，-2）；
②如图3，作平行四边形ACBH．
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CBO+∠OCB=90°，
∴当点K与点A重合时，四边形KCBH是矩形，
∵点H与点C（0，4）关于点D（3，0）对称，
∴H（6，-4）；
③如图4，作BK∥AC交抛物线于另一点K，作平行四边形BCHK，则四边形BCHK是矩形；
连结CK、BH交于点R．
设直线AC的解析式为y=px+4，则-2p+4=0，解得p=2，
∴y=2x+4；
设直线BK的解析式为y=2x+q，则16+q=0，解得q=-16，
∴y=2x-16．
∴K（-10，-36），
∴R（-5，-16），
∵点H与点B（8，0）关于点R（-5，-16）对称，
∴H（-18，-32）．
综上所述，点H的坐标为（6，-2）或（6，-4）或（-18，-32）．
26．（10分）在△ABC和△BDE中，∠BDE=∠BAC=90°，AB=AC，DB=DE，BC=2BE，点F为EC中点，连接DF、AF，△DBE绕着点B顺时针旋转．
（1）如图1，BE旋转到BC边上时，若BD=，求AF的长；
（2）当△DBE旋转到图2位置时，求证：AF=DF；
（3）如图3，△DBE绕着点B顺时针旋转，其中BD=，当AF最小时，直接写出△ADE的面积．
解：（1）如图1中，过点C作DE的平行线交DF的延长线于K，连接AD，AK．
∵CK∥DE，
∴∠CKF=∠FDE，
∵∠CFK=∠EFD，CF=EF，
∴△CFK≌△EFD（AAS），
∴DE=CK，DF=FK，
∵AB=AC，DB=DE，∠BDE=∠CAB=90°，
∴∠DBE=∠CBA=45°，
∴∠ABD=90°，
∵BD⊥DE，CK∥DE，BD∥AC，
∴CK⊥AC，
∴∠ACK=∠ABD=90°，
∵BD=CK，BA=CA，
∴△ABD≌△ACK（SAS），
∴AD=AK，∠BAD=∠CAK，
∴∠DAK=∠BAC=90°，
∴△ADK是等腰直角三角形，
∵BD=DE=，
∴BE=BD=2，
∵BC=2BE，
∴BC=4，
∴AB=AC=2，
（2）如图2中，过点C作DE的平行线交DF的延长线于K，连接AD，AK，延长DE交AC于H．
∵CK∥DE，
∴∠CKF=∠FDE，
∵∠CFK=∠EFD，CF=EF，
∴△CFK≌△EFD（AAS），
∴DE=CK，DF=FK，
∵AB=AC，DB=DE，∠BDE=∠CAB=90°，
∵CK∥DH，
∴∠KCH=∠CHD，
∵∠BDH+∠BAH=180°，
∴∠ABD+∠AHD=180°，
∵∠CHD+∠AHD=180°，
∴∠ACK=∠ABD，
∵BD=CK，BA=CA，
∴△ABD≌△ACK（SAS），
∴AD=AK，∠BAD=∠CAK，
∴∠DAK=∠BAC=90°，
∴△ADK是等腰直角三角形，
∵DF=FK，
∴AF=1/2DK=DF．
（3）如图2中，由（2）可知，△ADF是等腰直角三角形，
∴AD最小时，AF的值最小，
∵AD≥AB-BD，
∴AD≥，
∴AD的最小值为，此时点D落在AB上（如图3中，连接AE），
∴S△ADE=1/2×DE×AD=1．
A．
B．
C．
D．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
平均分
中位数
众数
方差
初中部
a
85
b
70
高中部
85
c
100
160
x
…
-3
-2
-1
0
1
3
4
5
6
7
…
y
…
0.6
m
1
1.5
3
n
1.5
1
0.75
0.6
…
A．
B．
C．
D．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
平均分
中位数
众数
方差
初中部
a
85
b
70
高中部
85
c
100
160
x
…
-3
-2
-1
0
1
3
4
5
6
7
…
y
…
0.6
m
1
1.5
3
n
1.5
1
0.75
0.6
…
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