2021年广西北部湾经济区中考数学试卷

这是一份2021年广西北部湾经济区中考数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广西北部湾经济区中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）（2021•广西）下列各数是有理数的是（　　）
A．π B．2 C．33 D．0
2．（3分）（2021•广西）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）（2021•广西）如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C出口走出的概率是（　　）

A．14 B．13 C．12 D．23
4．（3分）（2021•广西）我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面．经测算，地球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为（　　）
A．4×109 B．40×107 C．4×108 D．0.4×109
5．（3分）（2021•广西）如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（　　）

A．这一天最低温度是﹣4℃
B．这一天12时温度最高
C．最高温比最低温高8℃
D．0时至8时气温呈下降趋势
6．（3分）（2021•广西）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．3a2﹣2a＝a2
7．（3分）（2021•广西）平面直角坐标系内与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，3）
8．（3分）（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（　　）

A．2 B．3 C．2 D．3
9．（3分）（2021•广西）函数y＝2x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（3分）（2021•广西）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（　　）
A．y=3x-2y=2x+9 B．y=3(x-2)y=2x+9
C．y=3x-2y=2x-9 D．y=3(x-2)y=2x-9
11．（3分）（2021•广西）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB=2：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则EFAG的值为（　　）

A．22 B．23 C．12 D．53
12．（3分）（2021•广西）定义一种运算：a*b=a，a≥bb，a＜b，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是（　　）
A．x＞1或x＜13 B．﹣1＜x＜13 C．x＞1或x＜﹣1 D．x＞13或x＜﹣1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
13．（3分）（2021•广西）要使分式1x-2有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（3分）（2021•广西）分解因式：a2﹣4b2＝　 　．
15．（3分）（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为 　 　米（结果保留根号）．

16．（3分）（2021•广西）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）．小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是 　 　．
17．（3分）（2021•广西）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是 　 　．

18．（3分）（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）（2021•广西）计算：23×（-12+1）÷（1﹣3）．
20．（6分）（2021•广西）解分式方程：xx+1=x3x+3+1．
21．（8分）（2021•广西）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．

22．（8分）（2021•广西）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：
4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7
4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0
整理数据：
质量（kg）
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
数量（箱）
2
1
7
a
3
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
4.75
b
c
（1）直接写出上述表格中a，b，c的值．
（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？
（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？
23．（8分）（2021•广西）【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等．在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．
∴∠AEF＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF．
∵l1∥l2，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE＝DF．
又S△ABC=12BC•AE，S△DBC=12BC•DF．
∴S△ABC＝S△DBC．
【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．
解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．
请将余下的求解步骤补充完整．
【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．

24．（10分）（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=-112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=-18x2+bx+c运动．

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
25．（10分）（2021•广西）如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE＝x，连接BE．
（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；
（2）设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y=S1S2，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）如图②，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．

26．（10分）（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝62，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求ABNH的值．


2021年广西北部湾经济区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）（2021•广西）下列各数是有理数的是（　　）
A．π B．2 C．33 D．0
【解答】解：0是有理数．
故选：D．
2．（3分）（2021•广西）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是．
故选：C．
3．（3分）（2021•广西）如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C出口走出的概率是（　　）

A．14 B．13 C．12 D．23
【解答】解：小明恰好在C出口出来的概率为13，
故选：B．
4．（3分）（2021•广西）我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面．经测算，地球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为（　　）
A．4×109 B．40×107 C．4×108 D．0.4×109
【解答】解：400000000＝4×108，
故选：C．
5．（3分）（2021•广西）如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（　　）

A．这一天最低温度是﹣4℃
B．这一天12时温度最高
C．最高温比最低温高8℃
D．0时至8时气温呈下降趋势
【解答】解：从图象可以看出，这一天中的最高气温是大概14时是8℃，最低气温是﹣4℃，从0时至4时及14时至24时，这天的气温在逐渐降低，从4时至14时，这天的气温在逐渐升高，
故A正确，B，D错误；
这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，
故C错误；
故选：A．
6．（3分）（2021•广西）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．3a2﹣2a＝a2
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
C．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；
D．3a2﹣2a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
7．（3分）（2021•广西）平面直角坐标系内与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，3）
【解答】解：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故选：B．
8．（3分）（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（　　）

A．2 B．3 C．2 D．3
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，∠BAC＝30°，
∴∠ACO＝90°﹣30°＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∵OC⊥AB，
∴OD=12OC＝2，
故选：C．

9．（3分）（2021•广西）函数y＝2x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵k＝2＞0，图象过一三象限，b＝1＞0，图象过第二象限，
∴直线y＝2x+1经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
10．（3分）（2021•广西）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（　　）
A．y=3x-2y=2x+9 B．y=3(x-2)y=2x+9
C．y=3x-2y=2x-9 D．y=3(x-2)y=2x-9
【解答】解：设共有y人，x辆车，
依题意得：y=3(x-2)y=2x+9．
故选：B．
11．（3分）（2021•广西）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB=2：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则EFAG的值为（　　）

A．22 B．23 C．12 D．53
【解答】解：过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：

由折叠A与A'对应易知：∠AOE＝90°，
∵∠EAO+∠AEO＝90°，
∠EAO+∠AGD＝90°，
∴∠AEO＝∠AGD，即∠FEH＝∠AGD，
又∵∠ADG＝∠FHE＝90°，
∴△ADG∽△FHE，
∴EFAG=HFAD=ABAD=12=22，
故选：A．
12．（3分）（2021•广西）定义一种运算：a*b=a，a≥bb，a＜b，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是（　　）
A．x＞1或x＜13 B．﹣1＜x＜13 C．x＞1或x＜﹣1 D．x＞13或x＜﹣1
【解答】解：由新定义得2x+1≥2-x2x+1＞3或2x+1＜2-x2-x＞3，
解得x＞1或x＜﹣1
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
13．（3分）（2021•广西）要使分式1x-2有意义，则x的取值范围是　x≠2　．
【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式1x-2有意义．
故答案为：x≠2．
14．（3分）（2021•广西）分解因式：a2﹣4b2＝　（a+2b）（a﹣2b）　．
【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
15．（3分）（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为 　（30﹣103）　米（结果保留根号）．

【解答】解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝60°，
∴BD=33AB＝103（m），
∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣103）m，
故答案为：（30﹣103）．
16．（3分）（2021•广西）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）．小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是 　89分　．
【解答】解：小婷的综合成绩为84×50%+95×40%+90×10%＝89（分），
故答案为：89分．
17．（3分）（2021•广西）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是 　33　．

【解答】解：连接AC、AE，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠BAC=12∠BAD=12×120°＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∵圆弧与BC相切于E，
∴AE⊥BC，
∴BE＝CE＝1，
∴AE=AB2-BE2=22-12=3，
设圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr=120×π×3180，解得r=33，
即圆锥的底面圆半径为33．
故答案为33．

18．（3分）（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 　y＝（x-2513）2　．

【解答】解：过C、D作x轴平行线，作B关于直线y＝4的对称点B'，过B'作B'E∥CD，且B'E＝CD，连接AE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，如图：

作图可知：四边形B'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴B'E∥CD，C'D'∥CD，且B'E＝DP，C'D'＝CD，
∴C'D'∥B'E且C'D'＝B'E，
∴四边形B'EC'D'是平行四边形，
∴B'D'＝EC'，
∵B关于直线y＝4的对称点B'，
∴BD'＝B'D'，
∴EC'＝BD'，
∴AE＝AC'+EC'＝AC'+BD'，即此时AC'+BD'转化到一条直线上，AC'+BD'最小，最小值为AE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵B（3，0）关于直线y＝4的对称点B'，
∴B'（3，8），
∵四边形B'ECD是平行四边形，C（﹣3，9），D（2，4），
∴E（﹣2，13），
设直线AE解析式为y＝kx+b，则0=k+b13=-2k+b，
解得k=-133b=133，
∴直线AE解析式为y=-133x+133，
令y＝9得9=-133x+133，
∴x=-1413，
∴C'（-1413，9），
∴CC'=-1413-（﹣3）=2513，
即将抛物线y＝x2向右移2513个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为y＝（x-2513）2，
故答案为：y＝（x-2513）2．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）（2021•广西）计算：23×（-12+1）÷（1﹣3）．
【解答】解：原式＝8×12÷（﹣2）
＝4÷（﹣2）
＝﹣2．
20．（6分）（2021•广西）解分式方程：xx+1=x3x+3+1．
【解答】解：去分母得：3x＝x+3x+3，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，3（x+1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣3．
21．（8分）（2021•广西）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
在△ABC和△CDA中，
∠B=∠D∠CAB=∠ACDAC=CA，
∴△ABC≌△CDA（AAS）；
（2）解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：

（3）解：由（1）知：△ABC≌△CDA，
∵四边形ABCD的面积为20，
∴S△ABC＝S△CDA＝10，
∴12AB•CE＝10，
∵AB＝5，
∴CE＝4．
22．（8分）（2021•广西）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：
4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7
4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0
整理数据：
质量（kg）
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
数量（箱）
2
1
7
a
3
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
4.75
b
c
（1）直接写出上述表格中a，b，c的值．
（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？
（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？
【解答】解：（1）a＝20﹣2﹣1﹣7﹣3﹣1＝6，
分析数据：样本中，4.7出现的次数最多；故众数b为4.7，
将数据从小到大排列，找最中间的两个数为4.7，4.8，故中位数c=4.7+4.82=4.75，
∴a＝6，b＝4.7，c＝4.75；
（2）选择平均数4.7，
这2000箱荔枝共损坏了2000×（5﹣4.7）＝600（千克）；
（3）10×2000×5÷（2000×5﹣600）≈10.7（元），
答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.7元才不亏本．
23．（8分）（2021•广西）【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等．在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．
∴∠AEF＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF．
∵l1∥l2，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE＝DF．
又S△ABC=12BC•AE，S△DBC=12BC•DF．
∴S△ABC＝S△DBC．
【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．
解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．
请将余下的求解步骤补充完整．
【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．

【解答】解：【类比探究】过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∵DE＝CE，EF⊥CD，
∴DF＝CF=12CD＝2，∠ADC＝∠EFD＝90°，
∴AD∥EF，
∴S△ADE＝S△ADF，
∴S△ADE=12×AD×DF=12×4×2＝4；
【拓展应用】如图③，连接CF，

∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，
∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°，
∴∠BDC＝∠GCF，
∴BD∥CF，
∴S△BDF＝S△BCD，
∴S△BDF=12BC×BC＝8．
24．（10分）（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=-112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=-18x2+bx+c运动．

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y=-18x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
4=c8=-18×42+4b+c，解得：b=32c=4，
∴抛物线C2的函数解析式为：y=-18x2+32x+4；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
-18m2+32m+4﹣（-112m2+76m+1）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，
解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3）C1：y=-112x2+76x+1=-112（x﹣7）2+6112，
当x＝7时，运动员到达坡顶，
即-18×72+7b+4＞3+6112，
解得：b＞3524．
25．（10分）（2021•广西）如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE＝x，连接BE．
（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；
（2）设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y=S1S2，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）如图②，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．

【解答】解：（1）设EF＝m．
∵BC＝14，BD＝6，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣6＝8，
∵AD＝8，
∴AD＝DC＝8，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴AC=2AD＝82，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝FG＝GH＝EF＝m，∠EHG＝∠FGH＝90°，
∴∠AHE＝∠FGC＝90°，
∵∠DAC＝∠C＝45°，
∴∠AEH＝∠EAH＝45°，∠GFC＝∠C＝45°，
∴AH＝EH＝x，CG＝FG＝x，
∴3m＝82，
∴m=823，
∴EF=823．

（2）∵DE＝DF＝x，DA＝DC＝8，
∴AE＝CF＝8﹣x，
∴EH=22AE=22（8﹣x），EF=2DE=2x，
∴y=S1S2=12×(8-x)×62x×22(8-x)=3x，
∴y=3x（0＜x＜8）．

（3）如图③中，由（2）可知点P在y=3x上，

当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时P（3，3），
当直线MN⊥OP时，△OMN的面积最小，
此时OM＝ON＝23，
∴△MON的面积的最小值=12×23×23=6．

26．（10分）（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝62，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求ABNH的值．

【解答】（1）证明：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠DOC＝∠OAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AEF，
∴∠DOC＝∠AEF，
∵EF是⊙O的直径，
∴∠EAF＝90°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠AFE+∠DOC＝90°，
∵∠AFE＝∠OCD，
∴∠OCD+∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接DF，如图：

∵AD是⊙O的直径，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠G+∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝∠G，
又∠DAF＝∠GAD，
∴△ADF∽△AGD，
∴AFAD=ADAG，
∵AD＝62，GF＝1，
∴AF62=62AF+1，
解得AF＝8或AF＝﹣9（舍去），
在Rt△AEF中，AE=EF2-AF2=AD2-AF2=22，
∴cos∠AEF=AEEF=13；
（3）延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图：

∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∵OC∥AB，
∴∠CKA＝90°，即OK⊥AF，
∵EF＝AD＝62，AF＝8，
∴FO＝32，FK＝AK＝4，
Rt△OKF中，OK=FO2-FK2=2，
∵∠G+∠OAF＝90°，∠OFA+∠AEF＝90°，
且∠OAF＝∠OFA，
∴∠G＝∠AEF，
∴tanG＝tan∠AEF，
即CKGK=AFAE，
∴CKFK+GF=AFAE，即CK5=822，
解得CK＝102，
∵BH平分∠ABC，OC∥AB，
∴∠CBH＝∠ABH＝∠CHB，
∴CH＝BC＝OA＝32，
∴MH＝CK﹣OK﹣OM﹣CH＝102-2-32-32=32，
∴KH＝OK+OM+MH＝72，
在Rt△AKH中，AH=AK2+KH2=42+(72)2=114，
而∠MNH＝∠MFA=12∠MOA=12∠ABC＝∠ABH，
且∠MHN＝∠HAB，
∴△MNH∽△HBA，
∴ABNH=AHMH=11432=573．