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2021年广西贺州市中考数学试卷
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这是一份2021年广西贺州市中考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广西贺州市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分：给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在试卷上作答无效）
1．（3分）（2021•贺州）2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．-12 C．12 D．2
2．（3分）（2021•贺州）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠4
3．（3分）（2021•贺州）下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．打开电视机，正在播放新闻联播
C．随机买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
4．（3分）（2021•贺州）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
5．（3分）（2021•贺州）下列几何体中，左视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
7．（3分）（2021•贺州）多项式2x3﹣4x2+2x因式分解为（ ）
A．2x（x﹣1）2 B．2x（x+1） 2 C．x（2x﹣1） 2 D．x（2x+1） 2
8．（3分）（2021•贺州）若关于x的分式方程m+4x-3=3xx-3+2有增根，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）（2021•贺州）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π6 B．π3 C．π2 D．2π3
10．（3分）（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为（ ）
A．12 B．23 C．22 D．1
11．（3分）（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
12．（3分）（2021•贺州）如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{1，0，a}，集合B＝{1a，|a|，ba}，若A＝B，则b﹣a的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效）
13．（3分）（2021•贺州）要使二次根式x+1在实数范围内有意义，x的取值范围是 ．
14．（3分）（2021•贺州）数据0.000000407用科学记数法表示为 ．
15．（3分）（2021•贺州）盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5．从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
16．（3分）（2021•贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF．若BC＝2GC，则∠EGF＝ ．
17．（3分）（2021•贺州）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的标为 ．
18．（3分）（2021•贺州）如图．在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC＝3BE且BE＝CF，AE⊥BF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG、则OG的长为 ．
三、解答题：（本大题共8题、共66分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.在试卷上作答无效）
19．（6分）（2021•贺州）计算：4+（﹣1）0+|π﹣2|-3tan30°．
20．（6分）（2021•贺州）解不等式组：2x+5＞5x+2①3(x-1)＜4x②．
21．（8分）（2021•贺州）如图，某大学农学院的学生为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图．
（1）本次抽取的样本水稻秧苗为 株；
（2）求出样本中苗高为17cm的秧苗的株数，并完成折线统计图；
（3）根据统计数据，若苗高大于或等于15cm视为优良秧苗，请你估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数．
22．（8分）（2021•贺州）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行602海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．
23．（8分）（2021•贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
24．（8分）（2021•贺州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD=12∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若AD＝4，求△BED的面积．
25．（10分）（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若∠B＝30°，求CEDE的值．
26．（12分）（2021•贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
2021年广西贺州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分：给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在试卷上作答无效）
1．（3分）（2021•贺州）2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．-12 C．12 D．2
【解答】解：2的倒数12，
故选：C．
2．（3分）（2021•贺州）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠4
【解答】解：A、∠1与∠2是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
B、∠1与∠3是同旁内角，故本选项符合题意；
C、∠1与∠4是对顶角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
D、∠2与∠4是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）（2021•贺州）下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．打开电视机，正在播放新闻联播
C．随机买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【解答】解：A．任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，因此选项A符合题意；
B．打开电视机，有可能播放新闻联播，也有可能不是，是个随机事件，因此选项B不符合题意；
C．随机买一张电影票，座位号有可能是奇数号，也有可能是偶数号，是随机事件，因此选项C不符合题意；
D．掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能正面朝下，是随机事件，因此选项D不符合题意；
故选：A．
4．（3分）（2021•贺州）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）．
故选：D．
5．（3分）（2021•贺州）下列几何体中，左视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．球的左视图是圆，故本选项符号题意；
B．圆柱的左视图是矩形，故本选项不合题意；
C．圆锥的左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
D．圆台的左视图是等腰梯形，故本选项不合题意；
故选：A．
6．（3分）（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（2，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝2，
故选：C．
7．（3分）（2021•贺州）多项式2x3﹣4x2+2x因式分解为（ ）
A．2x（x﹣1）2 B．2x（x+1） 2 C．x（2x﹣1） 2 D．x（2x+1） 2
【解答】解：原式＝2x（x2﹣2x+1）
＝2x（x﹣1）2．
故选：A．
8．（3分）（2021•贺州）若关于x的分式方程m+4x-3=3xx-3+2有增根，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3）得：m+4＝3x+2（x﹣3），
解得：x=15m+2，
∵方程有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴15m+2＝3，
∴m＝5，
故选：D．
9．（3分）（2021•贺州）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π6 B．π3 C．π2 D．2π3
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，
∴AD＝AB•sin60°＝2×32=3，
∴阴影部分的面积=60π×(3)2360=12π．
故选：C．
10．（3分）（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为（ ）
A．12 B．23 C．22 D．1
【解答】解：连接OD，过点O作OF⊥BC于F，
则BF＝EF，
∵AC是⊙O的切线，
∴OD⊥AC，
∵∠C＝90°，OF⊥BC，
∴OD∥BC，四边形ODCF为矩形，
∴△AOD∽△ABC，CF＝OD＝2，
∴ODBC=AOAB，即2BC=5-25，
解得：BC=103，
∴BF＝BC﹣CF=103-2=43，
∴BE＝2BF=83，
∴CE＝BC﹣BE=103-83=23，
故选：B．
11．（3分）（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，
如图所示：
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），
∴A′（3，y1），B（﹣1，y2），
根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
12．（3分）（2021•贺州）如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{1，0，a}，集合B＝{1a，|a|，ba}，若A＝B，则b﹣a的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：∵A＝B，a≠0，1a≠0，
∴ba=0，1a=1，|a|＝a或ba=0，1a=a，|a|＝1，
∴b＝0，a＝1（舍去）或b＝0，a＝﹣1，
∴b﹣a＝0﹣（﹣1）＝1，
故选：C．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效）
13．（3分）（2021•贺州）要使二次根式x+1在实数范围内有意义，x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【解答】解：若二次根式x+1在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
14．（3分）（2021•贺州）数据0.000000407用科学记数法表示为 4.07×10﹣7 ．
【解答】解：0.000000407＝4.07×10﹣7．
故答案为：4.07×10﹣7．
15．（3分）（2021•贺州）盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5．从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是 13 ．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，
∴两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率为412=13，
故答案为：13．
16．（3分）（2021•贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF．若BC＝2GC，则∠EGF＝ 45° ．
【解答】解：∵CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，
∴∠GDC＝∠GCD＝45°，∠DGC＝90°，
∴∠FDG＝∠FDC+∠CDG＝90°+45°＝135°，
∵E，F分别为BC，DA的中点，BC＝2GC，
∴DF＝DG，CE＝CG，
∴∠DGF＝∠∠DFG=12（180°﹣∠FDG）=12×45°＝22.5°，
同理，可得∠CEG＝∠CGE=12（180°﹣∠ECG）=12×45°=22.5°，
∴∠EGF＝∠DGC﹣∠DGF﹣EGC＝90°﹣22.5°﹣22.5°＝45°．
故答案为：45°．
17．（3分）（2021•贺州）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的标为 （﹣22，4﹣22） ．
【解答】解：∵一次函数y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
y＝x+4中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣4，
∴AO＝BO＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB+∠BPC＝135°＝∠OPA+∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
在△PCB和△OPA中，
∠PBC=∠OAP∠PCB=∠OPAOP=PC，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝4，
∴Rt△BDP中，BD＝PD=BP2=22，
∴OD＝OB﹣BD＝4﹣22，
∵PD＝BD＝22，
∴P（﹣22，4﹣22），
故答案为（﹣22，4﹣22）．
18．（3分）（2021•贺州）如图．在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC＝3BE且BE＝CF，AE⊥BF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG、则OG的长为 ．
【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB＝BC＝6，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵BC＝3BE，BE＝CF，
∴BE＝CF＝2，
∴E（2，0），F（6，2），A（0，6），D（6，6），
设直线AE解析式为y＝ax+b，则0=2a+b6=b，
解得a=-3b=6，
∴直线AE解析式为y＝﹣3x+6，
设直线BF解析式为y＝cx，则2＝6c，
解得c=13，
∴直线BF解析式为y=13x，
由y=-3x+6y=13x得x=95y=35，
∴G（95，35），
∵O为BD中点，
∴O（3，3），
∴OG=(3-95)2+(3-35)2=655，
故答案为：655．
三、解答题：（本大题共8题、共66分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.在试卷上作答无效）
19．（6分）（2021•贺州）计算：4+（﹣1）0+|π﹣2|-3tan30°．
【解答】解：原式＝2+1+π﹣2-3×33
＝2+1+π﹣2﹣1
＝π．
20．（6分）（2021•贺州）解不等式组：2x+5＞5x+2①3(x-1)＜4x②．
【解答】解：解不等式①，得：x＜1，
解不等式②，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x＜1．
21．（8分）（2021•贺州）如图，某大学农学院的学生为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图．
（1）本次抽取的样本水稻秧苗为 500 株；
（2）求出样本中苗高为17cm的秧苗的株数，并完成折线统计图；
（3）根据统计数据，若苗高大于或等于15cm视为优良秧苗，请你估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数．
【解答】解：（1）本次抽取的样本水稻秧苗为：80÷16%＝500（株）；
故答案为：500；
（2）苗高为14cm的秧苗的株数有500×20%＝100（株），
苗高为17cm的秧苗的株数有500﹣40﹣100﹣80﹣160＝120（株），
补全统计图如下：
（3）90000×500-(40+100)500=64800（株），
答：估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数有64800株．
22．（8分）（2021•贺州）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行602海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．
【解答】解：延长CB交AD于点D，则∠ADB＝90°，
由题意可知∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴AD＝BD，
在Rt△ABD中，
∵AB＝602海里，sin∠DAB=BDAB，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝602×22=60（海里），
∵BC＝20海里，
∴DC＝60+20＝80（海里），
在Rt△ADC中，
由勾股定理得，AC=AD2+DC2=602+802=100（海里），
答：AC的距离为100海里．
23．（8分）（2021•贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
【解答】解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，
依题意得：10x=3212x+(14-12)y=51.4，
解得：x=3.2y=6.5．
答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．
（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，
∴用水量超过12m3．
设用水量为am3，
依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，
解得：a＝16．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16m3．
24．（8分）（2021•贺州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD=12∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若AD＝4，求△BED的面积．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，
∴EC⊥DC，
∵EF⊥BD，EF＝EC，
∴DE是∠BDC的平分线，
∴∠EDB＝∠EDC，
∵∠ADB=12∠BDC，
∴∠ADB＝∠EDB，
∵∠ADB＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）解：由（1）知，四边形ABED是菱形，
∴DE＝BE＝AD＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDB＝∠EDC＝∠ADB，
∴∠EDC＝30°，
∴CD＝DE•cos30°＝4×32=23，
∴S△BED=12BE•CD=12×4×23=43．
25．（10分）（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若∠B＝30°，求CEDE的值．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，即∠OEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠OEA＝∠EAC，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠OAE＝∠EAC，即AE平分∠BAC；
（2）解：∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵∠OAE＝∠EAC，∠C＝90°，
∴△DAE∽△EAC，
∴CEDE=AEAD，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE=12∠BAC＝30°，
∵cos∠DAE=AEAD，cos30°=32，
∴CEDE=AEAD=32．
26．（12分）（2021•贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
【解答】解：（1）抛物线过A（﹣1，0），对称轴为x＝2，
∴0=(-1)2+b×(-1)+c-b2×1=2，
解得b=-4c=-5，
∴抛物线表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，
∵∠CAB＝45°，
∴AE＝CE，
设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc＝xc+1，
∴C（xc，xc+1），
代入y＝x2﹣4x﹣5得，
xc+1=xc2-4xc﹣5，
解得xc＝﹣1（舍去），xc＝6，
∴yc＝7，
∴点C的坐标是（6，7）；
（3）由（2）得C的坐标是（6，7），
∵对称轴x＝2，
∴点D的坐标是（﹣2，7），
∴CD＝8，
∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，
设△PCD以CD为底边的高为h，
则h＝|yp|+7，
∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，
∵1≤xp≤a，1≤a≤5，
①当1≤a≤2时，1≤xp＜2，此时y＝x2﹣4x﹣5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小，
∴|yp|max＝|a2﹣4a﹣5|＝5+4a﹣a2，
∴h＝|yp|+7＝12+4a﹣a2，
∴△PCD的最大面积为：
Smax=12×CD×h=12×8×（12+4a﹣a2）＝48+16a﹣4a2；
②当2≤a≤5时，此时y＝x2﹣4x﹣5的对称轴x＝2含于1≤xp≤a内，
∴|yp|max＝|22﹣4×2﹣5|＝9，
∴h＝9+7＝16，
∴△PCD的最大面积为Smax=12×CD×h=12×8×16＝64，
综上所述：当1≤a≤2时，△PCD的最大面积为48+16a﹣4a2；
当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64．
2021年广西贺州市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分：给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在试卷上作答无效）
1．（3分）（2021•贺州）2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．-12 C．12 D．2
2．（3分）（2021•贺州）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠4
3．（3分）（2021•贺州）下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．打开电视机，正在播放新闻联播
C．随机买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
4．（3分）（2021•贺州）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
5．（3分）（2021•贺州）下列几何体中，左视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
7．（3分）（2021•贺州）多项式2x3﹣4x2+2x因式分解为（ ）
A．2x（x﹣1）2 B．2x（x+1） 2 C．x（2x﹣1） 2 D．x（2x+1） 2
8．（3分）（2021•贺州）若关于x的分式方程m+4x-3=3xx-3+2有增根，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）（2021•贺州）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π6 B．π3 C．π2 D．2π3
10．（3分）（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为（ ）
A．12 B．23 C．22 D．1
11．（3分）（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
12．（3分）（2021•贺州）如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{1，0，a}，集合B＝{1a，|a|，ba}，若A＝B，则b﹣a的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效）
13．（3分）（2021•贺州）要使二次根式x+1在实数范围内有意义，x的取值范围是 ．
14．（3分）（2021•贺州）数据0.000000407用科学记数法表示为 ．
15．（3分）（2021•贺州）盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5．从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
16．（3分）（2021•贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF．若BC＝2GC，则∠EGF＝ ．
17．（3分）（2021•贺州）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的标为 ．
18．（3分）（2021•贺州）如图．在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC＝3BE且BE＝CF，AE⊥BF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG、则OG的长为 ．
三、解答题：（本大题共8题、共66分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.在试卷上作答无效）
19．（6分）（2021•贺州）计算：4+（﹣1）0+|π﹣2|-3tan30°．
20．（6分）（2021•贺州）解不等式组：2x+5＞5x+2①3(x-1)＜4x②．
21．（8分）（2021•贺州）如图，某大学农学院的学生为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图．
（1）本次抽取的样本水稻秧苗为 株；
（2）求出样本中苗高为17cm的秧苗的株数，并完成折线统计图；
（3）根据统计数据，若苗高大于或等于15cm视为优良秧苗，请你估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数．
22．（8分）（2021•贺州）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行602海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．
23．（8分）（2021•贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
24．（8分）（2021•贺州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD=12∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若AD＝4，求△BED的面积．
25．（10分）（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若∠B＝30°，求CEDE的值．
26．（12分）（2021•贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
2021年广西贺州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分：给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在试卷上作答无效）
1．（3分）（2021•贺州）2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．-12 C．12 D．2
【解答】解：2的倒数12，
故选：C．
2．（3分）（2021•贺州）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠4
【解答】解：A、∠1与∠2是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
B、∠1与∠3是同旁内角，故本选项符合题意；
C、∠1与∠4是对顶角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
D、∠2与∠4是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）（2021•贺州）下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．打开电视机，正在播放新闻联播
C．随机买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【解答】解：A．任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，因此选项A符合题意；
B．打开电视机，有可能播放新闻联播，也有可能不是，是个随机事件，因此选项B不符合题意；
C．随机买一张电影票，座位号有可能是奇数号，也有可能是偶数号，是随机事件，因此选项C不符合题意；
D．掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能正面朝下，是随机事件，因此选项D不符合题意；
故选：A．
4．（3分）（2021•贺州）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）．
故选：D．
5．（3分）（2021•贺州）下列几何体中，左视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．球的左视图是圆，故本选项符号题意；
B．圆柱的左视图是矩形，故本选项不合题意；
C．圆锥的左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
D．圆台的左视图是等腰梯形，故本选项不合题意；
故选：A．
6．（3分）（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（2，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝2，
故选：C．
7．（3分）（2021•贺州）多项式2x3﹣4x2+2x因式分解为（ ）
A．2x（x﹣1）2 B．2x（x+1） 2 C．x（2x﹣1） 2 D．x（2x+1） 2
【解答】解：原式＝2x（x2﹣2x+1）
＝2x（x﹣1）2．
故选：A．
8．（3分）（2021•贺州）若关于x的分式方程m+4x-3=3xx-3+2有增根，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3）得：m+4＝3x+2（x﹣3），
解得：x=15m+2，
∵方程有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴15m+2＝3，
∴m＝5，
故选：D．
9．（3分）（2021•贺州）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π6 B．π3 C．π2 D．2π3
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，
∴AD＝AB•sin60°＝2×32=3，
∴阴影部分的面积=60π×(3)2360=12π．
故选：C．
10．（3分）（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为（ ）
A．12 B．23 C．22 D．1
【解答】解：连接OD，过点O作OF⊥BC于F，
则BF＝EF，
∵AC是⊙O的切线，
∴OD⊥AC，
∵∠C＝90°，OF⊥BC，
∴OD∥BC，四边形ODCF为矩形，
∴△AOD∽△ABC，CF＝OD＝2，
∴ODBC=AOAB，即2BC=5-25，
解得：BC=103，
∴BF＝BC﹣CF=103-2=43，
∴BE＝2BF=83，
∴CE＝BC﹣BE=103-83=23，
故选：B．
11．（3分）（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，
如图所示：
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），
∴A′（3，y1），B（﹣1，y2），
根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
12．（3分）（2021•贺州）如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{1，0，a}，集合B＝{1a，|a|，ba}，若A＝B，则b﹣a的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：∵A＝B，a≠0，1a≠0，
∴ba=0，1a=1，|a|＝a或ba=0，1a=a，|a|＝1，
∴b＝0，a＝1（舍去）或b＝0，a＝﹣1，
∴b﹣a＝0﹣（﹣1）＝1，
故选：C．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效）
13．（3分）（2021•贺州）要使二次根式x+1在实数范围内有意义，x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【解答】解：若二次根式x+1在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
14．（3分）（2021•贺州）数据0.000000407用科学记数法表示为 4.07×10﹣7 ．
【解答】解：0.000000407＝4.07×10﹣7．
故答案为：4.07×10﹣7．
15．（3分）（2021•贺州）盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5．从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是 13 ．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，
∴两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率为412=13，
故答案为：13．
16．（3分）（2021•贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF．若BC＝2GC，则∠EGF＝ 45° ．
【解答】解：∵CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，
∴∠GDC＝∠GCD＝45°，∠DGC＝90°，
∴∠FDG＝∠FDC+∠CDG＝90°+45°＝135°，
∵E，F分别为BC，DA的中点，BC＝2GC，
∴DF＝DG，CE＝CG，
∴∠DGF＝∠∠DFG=12（180°﹣∠FDG）=12×45°＝22.5°，
同理，可得∠CEG＝∠CGE=12（180°﹣∠ECG）=12×45°=22.5°，
∴∠EGF＝∠DGC﹣∠DGF﹣EGC＝90°﹣22.5°﹣22.5°＝45°．
故答案为：45°．
17．（3分）（2021•贺州）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的标为 （﹣22，4﹣22） ．
【解答】解：∵一次函数y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
y＝x+4中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣4，
∴AO＝BO＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB+∠BPC＝135°＝∠OPA+∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
在△PCB和△OPA中，
∠PBC=∠OAP∠PCB=∠OPAOP=PC，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝4，
∴Rt△BDP中，BD＝PD=BP2=22，
∴OD＝OB﹣BD＝4﹣22，
∵PD＝BD＝22，
∴P（﹣22，4﹣22），
故答案为（﹣22，4﹣22）．
18．（3分）（2021•贺州）如图．在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC＝3BE且BE＝CF，AE⊥BF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG、则OG的长为 ．
【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB＝BC＝6，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵BC＝3BE，BE＝CF，
∴BE＝CF＝2，
∴E（2，0），F（6，2），A（0，6），D（6，6），
设直线AE解析式为y＝ax+b，则0=2a+b6=b，
解得a=-3b=6，
∴直线AE解析式为y＝﹣3x+6，
设直线BF解析式为y＝cx，则2＝6c，
解得c=13，
∴直线BF解析式为y=13x，
由y=-3x+6y=13x得x=95y=35，
∴G（95，35），
∵O为BD中点，
∴O（3，3），
∴OG=(3-95)2+(3-35)2=655，
故答案为：655．
三、解答题：（本大题共8题、共66分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.在试卷上作答无效）
19．（6分）（2021•贺州）计算：4+（﹣1）0+|π﹣2|-3tan30°．
【解答】解：原式＝2+1+π﹣2-3×33
＝2+1+π﹣2﹣1
＝π．
20．（6分）（2021•贺州）解不等式组：2x+5＞5x+2①3(x-1)＜4x②．
【解答】解：解不等式①，得：x＜1，
解不等式②，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x＜1．
21．（8分）（2021•贺州）如图，某大学农学院的学生为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图．
（1）本次抽取的样本水稻秧苗为 500 株；
（2）求出样本中苗高为17cm的秧苗的株数，并完成折线统计图；
（3）根据统计数据，若苗高大于或等于15cm视为优良秧苗，请你估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数．
【解答】解：（1）本次抽取的样本水稻秧苗为：80÷16%＝500（株）；
故答案为：500；
（2）苗高为14cm的秧苗的株数有500×20%＝100（株），
苗高为17cm的秧苗的株数有500﹣40﹣100﹣80﹣160＝120（株），
补全统计图如下：
（3）90000×500-(40+100)500=64800（株），
答：估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数有64800株．
22．（8分）（2021•贺州）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行602海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．
【解答】解：延长CB交AD于点D，则∠ADB＝90°，
由题意可知∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴AD＝BD，
在Rt△ABD中，
∵AB＝602海里，sin∠DAB=BDAB，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝602×22=60（海里），
∵BC＝20海里，
∴DC＝60+20＝80（海里），
在Rt△ADC中，
由勾股定理得，AC=AD2+DC2=602+802=100（海里），
答：AC的距离为100海里．
23．（8分）（2021•贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
【解答】解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，
依题意得：10x=3212x+(14-12)y=51.4，
解得：x=3.2y=6.5．
答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．
（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，
∴用水量超过12m3．
设用水量为am3，
依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，
解得：a＝16．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16m3．
24．（8分）（2021•贺州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD=12∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若AD＝4，求△BED的面积．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，
∴EC⊥DC，
∵EF⊥BD，EF＝EC，
∴DE是∠BDC的平分线，
∴∠EDB＝∠EDC，
∵∠ADB=12∠BDC，
∴∠ADB＝∠EDB，
∵∠ADB＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）解：由（1）知，四边形ABED是菱形，
∴DE＝BE＝AD＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDB＝∠EDC＝∠ADB，
∴∠EDC＝30°，
∴CD＝DE•cos30°＝4×32=23，
∴S△BED=12BE•CD=12×4×23=43．
25．（10分）（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若∠B＝30°，求CEDE的值．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，即∠OEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠OEA＝∠EAC，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠OAE＝∠EAC，即AE平分∠BAC；
（2）解：∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵∠OAE＝∠EAC，∠C＝90°，
∴△DAE∽△EAC，
∴CEDE=AEAD，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE=12∠BAC＝30°，
∵cos∠DAE=AEAD，cos30°=32，
∴CEDE=AEAD=32．
26．（12分）（2021•贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
【解答】解：（1）抛物线过A（﹣1，0），对称轴为x＝2，
∴0=(-1)2+b×(-1)+c-b2×1=2，
解得b=-4c=-5，
∴抛物线表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，
∵∠CAB＝45°，
∴AE＝CE，
设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc＝xc+1，
∴C（xc，xc+1），
代入y＝x2﹣4x﹣5得，
xc+1=xc2-4xc﹣5，
解得xc＝﹣1（舍去），xc＝6，
∴yc＝7，
∴点C的坐标是（6，7）；
（3）由（2）得C的坐标是（6，7），
∵对称轴x＝2，
∴点D的坐标是（﹣2，7），
∴CD＝8，
∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，
设△PCD以CD为底边的高为h，
则h＝|yp|+7，
∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，
∵1≤xp≤a，1≤a≤5，
①当1≤a≤2时，1≤xp＜2，此时y＝x2﹣4x﹣5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小，
∴|yp|max＝|a2﹣4a﹣5|＝5+4a﹣a2，
∴h＝|yp|+7＝12+4a﹣a2，
∴△PCD的最大面积为：
Smax=12×CD×h=12×8×（12+4a﹣a2）＝48+16a﹣4a2；
②当2≤a≤5时，此时y＝x2﹣4x﹣5的对称轴x＝2含于1≤xp≤a内，
∴|yp|max＝|22﹣4×2﹣5|＝9，
∴h＝9+7＝16，
∴△PCD的最大面积为Smax=12×CD×h=12×8×16＝64，
综上所述：当1≤a≤2时，△PCD的最大面积为48+16a﹣4a2；
当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64．
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