考点05数的开方与二次根式（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点05数的开方与二次根式

【命题趋势】

数的开方与二次根式仍然中考的必考内容，同时也是中考的重要热点。中考主要以选择题、填空题形式考查平方根、算术平方根、立方根的概念及性质、二次根式有意义的条件、二次根式的性质、二次根式的化简与运算、二次根式的求值。通常考基础题。

【常考知识】

平方根、算术平方根、立方根的概念及性质、二次根式有意义的条件、二次根式的性质、二次根式的化简与运算、二次根式的求值。

【夺分技巧】

①非负数才有平方根和算术平方根，正数有两个平方根且互为相反数。

②任何数都有一个立方根。

③注意带根号数的平方根含义，如的平方根为±。

④估算时用完全平方数夹逼，如<<，即5<<6。

⑤二次根式的计算结果一定要化成最简二次根式.

⑥二次根式加减时必须先化简，再合并；二次根式乘除时，不必先化简，直接把所有的被开方数相乘除。

真题演练

一、单选题

1．（2021·重庆·中考真题）计算的结果是（    ）

A．7 B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案；

【详解】

解：

，

故选：B．

2．（2021·重庆·中考真题）下列计算中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据二次根式运算法则逐项进行计算即可．

【详解】

解：A. ，原选项错误，不符合题意；

B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；

C. ，原选项正确，符合题意；

D. ，原选项错误，不符合题意；

故选：C．

3．（2021·河南商丘·模拟预测）下列计算正确的是（    ）

A．

B．

C． 

D．

【答案】C

【详解】

略

4．（2021·山东邹城·七年级期末）4的算术平方根是（　　）

A．2 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】

依据算术平方根的定义解答即可．

【详解】

4的算术平方根是2，

故选：A．

5．（2021·云南五华·一模）下列说法：①任何不为零的数的零次幂是1；②对于变形和，从左到右都是因式分解；③81的算术平方根是9；④在数轴上表示数2与的两点的距离为．其中正确的是（    ）

A．①② B．①③ C．①④ D．②③

【答案】B

【分析】

根据因式分解、平方根等有关性质对每个说法进行判定即可．

【详解】

解：①任何不为零的数的零次幂是1，说法正确；

②因式分解是将整式和的性质转化为乘积的形式，是将乘积转化为和的性质，不是因式分解，说法错误；

③81的算术平方根是9，说法正确；

④在数轴上表示数2与的两点的距离为，而不是，说法错误；

故答案为B．

6．（2021·黑龙江龙沙·三模）下列各数中，化简结果为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

首先利用相反数，算术平方根，绝对值的意义和立方根计算化简，即可判定．

【详解】

A、，不符合题意；

B、，不符合题意；

C、，不符合题意；

D、，符合题意；

故选：D．

7．（2021·山东·胶州市初级实验中学模拟预测）下列说法正确的是（    ）

A．立方根等于它本身的数一定是和

B．在函数中，的值随着值的增大而增大

C．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形

D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等

【答案】C

【分析】

根据立方根、一次函数的性质、中点四边形的性质及圆周角的性质即可判断．

【详解】

A.立方根等于它本身的数是±和，故错误；

B.在函数中，当k＞0时，的值随着值的增大而增大，故错误；

C.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，正确；

D.在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长相等，故错误；

故选C．

8．（2021·河北石家庄·模拟预测）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（　　）

A．1 B．3 C．4 D．9

【答案】D

【分析】

依据平方根的性质列方出求解即可．

【详解】

∵一个正数的平方根是2a-1和-a+2，

∴2a-1-a+2=0．

解得：a=-1．

∴2a-1=-3．

∴这个正数是9．

故选：D．

9．（2021·福建龙岩·一模）比值为的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．我们国家的国旗宽与长之比接近这个比例，估计介于 （　　　）

A．0.4与0.5之间 B．0.5与0.6之间 C．0.6与0.7之间 D．0.7与0.8之间

【答案】C

【分析】

先估算的范围，进一步估算即可求解．

【详解】

∵2.22=4.84,2.32=5.29

∴2.2＜＜2.3

∵=0.6，=0.65

∴0.6＜＜0.65

∴介于0.6与0.7之间

故选C．

10．（2021·浙江嘉兴·中考真题）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．

【详解】

解：A、，是无理数，不符合题意；

B、，是无理数，不符合题意；

C、，是有理数，符合题意；

D、，是无理数，不符合题意；

故选：C．

二、填空题

11．（2021·湖北黄冈·中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．

【答案】10

【分析】

先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．

【详解】

解：，

（为正整数），

，

，

，

，

则，

故答案为：10．

12．（2021·云南曲靖·二模）使代数式有意义的的取值范围是__________．

【答案】

【分析】

分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．

【详解】

根据题意，得

，

解得，；

故答案为．

13．（2021·内蒙古·中考真题）一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______．

【答案】2

【分析】

根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可．

【详解】

∵和是正数a的平方根，

∴，

解得 ，

将b代入，

∴正数 ，

∴，

∴的立方根为：，

故填：2．

14．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）一个正方体的棱长增加2cm后，体积为125cm3．这个正方体原来的棱长为___cm．

【答案】3

【分析】

设这个正方体原来的棱长为xcm，根据正方体的体积公式计算即可．

【详解】

解：设这个正方体原来的棱长为xcm，根据题意，得

（x+2）3＝125，

∴x+2＝5，

∴x＝3．

即这个正方体原来的棱长为3cm．

故答案为为：3．

15．（2021·青海海东·二模）7的倒数为______；的立方根为______．

【答案】       

【分析】

根据倒数的定义、立方根的定义即可得．

【详解】

解：，

的倒数为；

，

的立方根为；

故答案为：，．

16．（2021·陕西汉阴·八年级期中）已知a、b满足（a﹣1）2+=0，则a+b=_____．

【答案】﹣1

【分析】

利用非负数的性质可得a-1=0，b+2=0，解方程即可求得a，b的值，进而得出答案．

【详解】

∵（a﹣1）2+=0，

∴a=1，b=﹣2，

∴a+b=﹣1，

故答案为﹣1．

17．（2021·江苏通州·二模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM，DN．若AM＝CN，则(DM＋DN)2的最小值为____．

【答案】

【分析】

过点C作CH⊥AC，使得CH=AD，连接NH，由题意易得∠NCH=∠MAD=90°，进而可得△NCH≌△MAD，然后可得DM=NH，要使的值为最小，只需DM+DN的值为最小，即NH+DN的值为最小，所以可得D、N、H三点共线时最小，则过点H作HE⊥DC于点E，然后根据勾股定理可求解．

【详解】

解：过点C作CH⊥AC，使得CH=AD，连接NH，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，AB=2，

∴∠MAD=∠DCB=90°，∠DCA=45°，AD=CH=AB=CD=2，

∴∠NCH=∠MAD=90°，

∵AM=CN，

∴△NCH≌△MAD（SAS），

∴DM=NH，

若使的值为最小，只需DM+DN的值为最小，即NH+DN的值为最小，所以可得D、N、H三点共线时最小，则过点H作HE⊥DC于点E，如图所示：

∴∠DCA=∠ECH=45°，

∴△CEH为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴在Rt△DEH中，；

∴的最小值为；

故答案为．

三、解答题

18．（2021·内蒙古新城·二模）“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x－＝0，就可利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：

（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，则x2+y2的值为　 　；

（2）解方程：x2－x+2－8＝0．

【答案】（1）0；（2），

【分析】

（1）设，则原方程可以转变成，求出这个一元二次方程即可得到答案；

（2）设，则原方程可以转变成，求出t，再求出x即可.

【详解】

解：（1）设，则原方程可以转变成

∴

解得或（舍去）

∴

∴

（2）设，则原方程可以转变成

∴

解得或（舍去）

∴

∴

∴

∴即

解得

∴，

19．（2021·江苏连云港·中考真题）计算：．

【答案】4．

【分析】

由，，计算出结果．

【详解】

解：原式

故答案为：4．

20．（2021·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【分析】

将被除数中分子因式分解，括号里先通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，然后约分，得到最简结果，代入x的值计算即可．

【详解】

解：原式，

，

，

．

当时，原式．

21．（2021·江苏海安·二模）（1）计算：

（2）先化简，再求值：，其中

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）先化简各二次根式、计算零指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号，再计算加减即可；

（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算即可．

【详解】

解：（1）原式＝；

（2）原式＝

当时，

原式=．