考点03 分式与二次根式（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

这是一份考点03 分式与二次根式（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版），共11页。试卷主要包含了分式，二次根式等内容，欢迎下载使用。


一、分式
1．分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
3．约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
4．最简分式
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5．通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则
把两个或者几个分式通分：
①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；
②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
7．分式的运算
（1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
（3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
（4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
（5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
二、二次根式
1．二次根式的有关概念
（1）二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
【注】被开方数只能是非负数．即要使二次根式eq \r(a)有意义，则a≥0．
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
（4）；（5）．
3．二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则：；除法法则：．
（3）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•河北模拟）如果m2+3m﹣1＝0，那么代数式（m−9m）•m2m−3的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【分析】根据分式减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据m2+3m﹣1＝0，可以得到m2+3m＝1，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：原式=(m2m−9m)⋅m2m−3，
=m2−9m⋅m2m−3，
=(m−3)(m+3)m⋅m2m−3，
＝（m+3）m，
＝m2+3m，
∵m2+3m﹣1＝0，
∴m2+3m＝1，
故选：C．
2．（2021•河北模拟）嘉嘉在做“先化简，再求值：x−3x+3−2x+32x+6，其中x＝1．”时，误将2x+3中2x前的系数2漏掉，那么他的计算结果与正确结果（ ）
A．相等B．相差18C．和为0D．积为﹣1
【分析】根据分式的加减混合运算法则分别把两个化简，代入计算即可．
【解答】解：x−3x+3−2x+32x+6
=2x−62x+6−2x+32x+6
=−92x+6，
当x＝1时，原式=−92×1+6=−98，
x−3x+3−x+32x+6
=2x−62x+6−x+32x+6
=x−92x+6，
当x＝1时，原式=1−92+6=−1，
﹣1﹣（−98）=18，
∴计算结果与正确结果相差18，
故选：B．
3．（2021•定兴县一模）化简2ba2−b2+M的结果为1a−b，则M为（ ）
A．1a−bB．aa−bC．1a+bD．aa+b
【分析】根据加法与减法互为逆运算可得M=1a−b−2ba2−b2，通过计算可得答案．
【解答】解：由题意得，M=1a−b−2ba2−b2=a+b(a−b)(a+b)−2b(a−b)(a+b)=a−b(a−b)(a+b)=1a+b．
故选：C．
4．（2021•邯郸模拟）xx−1=（ ）−2x−11−x．
A．﹣1B．1C．﹣2D．任意实数
【分析】利用被减式等于差加上减式，列出式子运算即可得出结论．
【解答】解：设括号内的式子为A，
∵被减式等于差加上减式，
∴A=xx−1+2x−11−x=xx−1−2x−1x−1=x−2x+1x−1=−1．
故选：A．
5．（2021•张家口一模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ ）
A．−23a=−23aB．−b−6a=b6a
C．3a−4b=−3a4bD．−−8a3b=8a−3b
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、−23a=−23a，故A正确．
B、−b−6a=b6a，故B正确．
C、3a−4b=−3a4b，故C正确．
D、−−8a3b=8a3b，故D错误．
故选：D．
6．（2021•唐山一模）实数（3−1）0的值是（ ）
A．1−2B．3−1C．1D．﹣1
【分析】直接利用零指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：（3−1）0＝1．
故选：C．
7．（2021•遵化市模拟）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（ ）
A．8B．19C．67D．230−6
【分析】根据题意求出两个小正方形的边长，可得出大正方形的边长，进而得出答案．
【解答】解：∵两个小正方形面积分别为12，10，
∴两个小正方形的边长分别为23，10，
∴两个小正方形重合部分的边长为23+10−大正方形的边长，
∴两个小正方形的重合部分是正方形，
∵两个小正方形重合部分的面积为3，
∴重合部分的边长为3，
∴大正方形的边长是23+10−3=3+10，
∴空白部分的面积为（3+10）2﹣（12+10﹣3）＝230−6．
故选：D．
8．（2021•河北）与32−22−12结果相同的是（ ）
A．3﹣2+1B．3+2﹣1C．3+2+1D．3﹣2﹣1
【分析】化简32−22−12=9−4−1=4=2，再逐个选项判断即可．
【解答】解：32−22−12=9−4−1=4=2，
∵3﹣2+1＝2，故A符合题意；
∵3+2﹣1＝4，故B不符合题意；
∵3+2+1＝6，故C不符合题意；
∵3﹣2﹣1＝0，故D不符合题意．
故选：A．
9．（2021•桥西区模拟）下列计算结果正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．5−3=2
C．81=±9D．a3÷b•1b=a3b2
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；
B、5−3无法计算，故此选项错误；
C、81=9，故此选项错误；
D、a3÷b•1b=a3b2，故此选项正确．
故选：D．
10．（2021•石家庄一模）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=5B．2−3=−1C．2×3=6D．2÷3=23
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；利用二次根式的乘法法则对C进行判断；利用二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、2与3不能合并，所以A选项错误；
B、2与3不能合并，所以B选项错误；
C、原式=2×3=6，所以C选项正确；
D、原式=23=63，所以D选项错误．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•开平区一模）已知x=8，y=12，则yx= 62 ．
【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算．
【解答】解：yx=128=128=64=62，
故答案为：62．
12．（2021•安次区一模）5÷20= 12 ．
【分析】利用二次根式的除法法则解答即可．
【解答】解：原式=5÷20=520=14=12．
故答案为：12．
13．（2021•河北模拟）32+8=ab，则ab＝ 10 ．
【分析】先化简已知等式，再合并同类二次根式，再根据二次根式的概念可得a、b的值，代入所求式子进行计算可得答案．
【解答】解：∵32+8=32+22=52=ab，
∴a＝5，b＝2，
∴ab＝5×2＝10．
故答案为：10．
14．（2021•迁西县模拟）化简：x2yxy2= xy ．
【分析】直接利用分式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：x2yxy2=xy．
故答案为：xy．
15．（2021•南皮县一模）计算：（﹣1）﹣2＝ 1 ．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：原式=1(−1)2=1，
故答案为：1．
三．解答题（共3小题）
16．（2021•河北模拟）规定一种新运算：a☆b＝2a+b2，例如：2☆1＝2×2+12＝4+1＝5．
（1）计算：﹣5☆3；
（2）若x☆1=2x3−3，求x的值；
（3）先化简，再求值：(x+2x+1x)÷x+1x，其中x的值从（1）（2）的计算结果选取．
【分析】（1）根据新运算法则计算；
（2）根据新运算法则把原式化为一元一次方程，解方程即可；
（3）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：（1）﹣5☆3＝2×（﹣5）+32＝﹣10+9＝﹣1；
（2）x☆1=2x3−3，
则2x+1=2x3−3，
解得：x＝﹣3；
（3）原式=x2+2x+1x•xx+1
=(x+1)2x•xx+1
＝x+1，
∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+1＝﹣2．
17．（2021•乐亭县一模）已知A=m+12，B=2mm+1．
（1）当m＞0时，比较A﹣B与0的大小，并说明理由；
（2）设y=2A+B，当y＝3时，求m的值．
【分析】（1）利用分式的运算法则即可求出答案．
（2）根据题意列出方程即可求出m的值．
【解答】解：（1）当m＞0时，A﹣B≥0．
由题意，得：A﹣B=m+12−2mm+1
=(m+1)2−4m2(m+1)
=(m−1)22(m+1)
∵m＞0，
∴m+1＞0，
∴2（m+1）＞0，（m﹣1）2≥0，
∴(m−1)22(m+1)≥0，
∴A﹣B≥0．
（2）∵y=2A+B，
∴y=4m+1+2mm+1
=2m+4m+1
∵y＝3，
∴2m+4m+1=3，
2m+4＝3（m+1），2m+4＝3m+3，
2m﹣3m＝3﹣4，
﹣m＝﹣1，
m＝1，
检验：当m＝1时，m+1＝2≠0，
∴m＝1是方程的解．
∴m的值为1．
18．（2021•安次区一模）利用平方差公式可以进行简便计算：
例1：99×101＝（100﹣1）（100+1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999；
例2：39×410＝39×41×10＝（40﹣1）（40+1）×10＝（402﹣12）×10＝（1600﹣1）×10＝1599×10＝15990．
请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：
（1）192×212；
（2）（20213+20212）（3−2）．
【分析】（1）原式变形为14×（20﹣1）×（20+1），再利用平方差公式计算即可；
（2）原式变形为2021×（3+2）×（3−2），再利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式=14×（20﹣1）×（20+1）
=14×（202﹣12）
=14×（400﹣1）
=3994；
（2）原式＝2021×（3+2）×（3−2）
＝2021×（3﹣2）
＝2021．