初中数学8.2 消元---解二元一次方程组第二课时教案

这是一份初中数学8.2 消元---解二元一次方程组第二课时教案，共6页。
教学目标
1.掌握用代入法解二元一次方程组的步骤.
2.熟练运用代入法解系数较复杂的二元一次方程组.
3.找出题中的相等关系，正确地列出二元一次方程组，并求解.
4.培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形.训练学生的运算技巧，养成检验的习惯.
5.通过研究解决问题的方法，培养学生的合作交流意识与探究精神.
教学重难点
重点：灵活运用代入法的技巧，正确地列出二元一次方程组并求解.
难点：根据相等关系，正确地列出二元一次方程组.
课前准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
教师：上一节课，我们学习了解二元一次方程组，谁知道解方程组的基本思路是什么?
学生回答，教师给予积极地肯定.
教师：上一节课我们学习了用什么样的方法解二元一次方程组?
学生回答，教师给予表扬和肯定.
教师：指出下列方程组解法中比较简捷的是什么.
已知方程组 &4y＝x+4，①&5y＝4x+3.②比较简捷的解法是利用 ，用含 的式子表示x，再代入 .
学生完成填空，并回答，教师给予肯定和表扬.
教师：用这种方法解此二元一次方程组.学生独立完成，然后小组交流讨论并展示成果，如下：
解：由①，得x＝4y-4，③
把③代入②，得5y＝4(4y-4)+3，
解这个方程得y＝1311.
把y＝1311代入③，得x＝811.
所以原方程组的解是 &x＝811，&y＝1311.
教师：上面用代入法解二元一次方程组共分为哪几步?每一步具体怎样做的?
学生独立思考，小组讨论，展示交流成果，如有不足，教师引导，最后得出结论如下：
教师：从上题的练习中体会到代入法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？(出示幻灯片)
学生回忆
代入法的实质是消元，用代入法解二元一次方程组的一般步骤为：
第一步：变形.即从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用含x的式子表示出来，也就是化成y＝ax+b的形式.
第二步：代入求值.将y＝ax+b代入方程组中的另一个方程中，消去y，得到关于x的一元一次方程，并解这个一元一次方程，求出x的值.
第三步：回代求值.把求得的x值代入方程y＝ax+b中，求出y的值.
第四步：写解.即写出方程组解的形式.
第五步：检查.检验得到的解是不是原方程组的解，这一步不是完全必要的，若能肯定解题无误，这一点可以省略.
教师：观察这个方程组，解方程组 &2x−7y＝8，①&3x−8y−10＝0.②
它与第一个方程组有什么区别与联系?
学生回答：畅所欲言，如有不足，其他同学补充得出结论：这个方程组中两个未知数的系数都不是1或-1.
教师：这种未知数的系数比较复杂的二元一次方程组如何求解呢?这就是这节课我们研究的问题.教师板书课题.
设计意图
通过复习上一节代入法解二元一次方程组的内容，回顾了未知数系数为1或-1时解二元一次方程组的步骤和技巧，引出这节课我们学习的内容.
探究新知
探究点一：系数比较复杂的二元一次方程组的解法
解方程组 &2x−7y＝8，①&3x−8y−10＝0.②
师生分析：这里两个方程中未知数的系数都不是1或-1，此题中未知数系数比较简单的是方程①中x的系数2，可以将方程①中的x用含y的代数式表示出来.
学生：畅所欲言，互相补充，小组派发言人进行总结发言，最后，由老师指出(教师板书).
解：由①，得x＝8+7y2.③
把③代入②，得38+7y2-8y-10＝0.
化简，得y＝-45.
把y＝-45代入③，得x＝65.
所以原方程组的解为 &x＝65，&y＝−45.
探究点二：用整体代入思想解二元一次方程组
教师：观察方程组 &x2+y3＝−3，①&x2−y3＝5，②当方程中有分母，用代入法解方程组时，应该怎么处理.
学生回答，教师引导，最后得出结论：可以先依据等式的基本性质，把方程①②中的分母去掉，再用代入法求解.
教师：把方程①②中的分母去掉，原方程组化成的新方程组是什么？
学生独立完成，交流讨论并展示成果：
原方程组可化为 &3x+2y＝−18，③&3x−2y＝30.④
教师：观察新方程组，要让你解此方程组，你会怎样做，谈一谈你的想法？
学生畅所欲言，教师给予肯定和表扬，引导学生回答出：把3x和2y分别当成一个整体，用含有y的式子表示3x，解方程会更简单一些，如由④得3x＝30+2y⑤，把⑤代入③中，求y.
教师：用这种方法解此方程组.
学生独立完成，在黑板上板演解题过程.
解：原方程组可化为 &3x+2y＝−18，③&3x−2y＝30，④
由④，得3x＝30+2y，⑤
把⑤代入③，得30+2y+2y＝-18，
解得y＝-12.
把y＝-12代入⑤，得x＝2.
所以方程组 &x2+y3＝−3，&x2−y3＝5的解是 &x＝2，&y＝−12.
设计意图：让学生板演解题过程，暴露问题，采用个人纠错的方式加深学生对解方程的理解；通过灵活的解方程组，让学生感受整体代入思想在解方程中的应用.
新知应用
例 (教材第92页)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
分析：问题中包含两个条件：大瓶数∶小瓶数＝2∶5，大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液＝总生产量.
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得
&5x＝2y，①&500x+250y＝22 500 000.②
由①，得y＝52x.③
把③代入②，得500x+250×52x＝22 500 000.
解这个方程，得x＝20 000.
把x＝20 000代入③，得y＝50 000.
所以这个方程组的解是 &x＝20 000，&y＝50 000.
答：这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000小瓶.
上面解方程组的过程可以用下面的框图(如图1)表示：
图1
师生活动
教师引导学生分析两个等量关系，从而列出方程组，并独立完成解答过程，小组交流讨论后，学生展示，教师作出点评，并用框架的形式把解题过程归纳整理.
设计意图
经历例题的分析过程，从中体会转化的思想和分析问题的方法，进一步培养推理能力，能熟练运用并掌握.
课堂练习
(见导学案“当堂达标”)
参考答案
1.C 2.B 3.B 4.C 5.11 6.0
7.说明：把③代入消元时，只能代入没有变形的方程①中，不能代入②，因为③是②变形来的.
把③代入②中最终会出现0＝0的形式.
正确的解法是：由②，得y＝12(1-6x)，③
把③代入①，得4x-3×12(1-6x)＝5，x＝12.
把x＝12代入③，得y＝-1.
所以方程组的解为 &x＝12，&y＝−1.
8.解：(1)由②，得y＝2x−13，③
把③代入①，得5x+6×2x−13＝16，x＝2.
把x＝2代入③，得y＝1.
所以方程组的解为 &x＝2，&y＝1.
(2)由①，得x＝7−3y2.③
把③代入②，得3×7−3y2-3y＝8，y＝13.
把y＝13代入③，得x＝3.
所以这个方程组的解是 &x＝3，&y＝13.
9.解：因为方程①②③④的解相同，
所以由 &3x−y＝5，&4x−7y＝1，解得 &x＝2，&y＝1.把 &x＝2，&y＝1代入 &ax−by＝4，&ax+by＝6，
得 &2a−b＝4，&2a+b＝6，解得 &a＝52，&b＝1.
(见导学案“课后提升”)
参考答案
1.解： &2x−3y−2＝0，①&2x−3y+57+2y＝9，②
由①，得2x-3y＝2.③
将③代入②，得2+57+2y＝9，
解得y＝4.
把y＝4代入③，得2x-3×4＝2，解得x＝7.
所以原方程组的解是 &x＝7，&y＝4.
2.解：设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，
根据题意，得 &2x+y＝80，&x+3y＝115.解得 &x＝25，&y＝30.
答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元.
课堂小结
1.对一般形式的二元一次方程组用代入法求解的关键是选择哪一个方程变形，消哪个元.选取的原则是：①选择未知数的系数是1或-1的方程；②若未知数的系数不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程.
2.对运算的结果养成检验的习惯.
布置作业
教材第93页练习第1，2，3，4题
板书设计
8.2 消元——解二元一次方程组(第二课时)
代入法解二元一次方程组的步骤： 解方程组 &2x−7y＝8，①&3x−8y−10＝0.②
(1)变形 由①，得x＝8+7y2③.
(2)代入求值 把③代入②，得38+7y2-8y-10＝0， 解得y＝-45.
(4)回代求值 把y＝-45代入③，得x＝65.
(5)写解 所以方程组的解是 &x＝65，&y＝−45.
教学反思