2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示学案文

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1．函数与映射的概念
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
常用结论
1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
2．几个常用函数的定义域
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)正切函数y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是相等函数．( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )
(3)若集合A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．( )
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
常见误区| (1)对函数概念理解不透彻；
(2)解分段函数不等式时忘记范围；
(3)用换元法求解析式，反解时忽视范围．
1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝eq \f(1,2)x；②f：x→y＝eq \f(1,3)x；③f：x→y＝eq \f(2,3)x；④f：x→y＝eq \r(x).
解析：对于③，因为当x＝4时，y＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)∉Q，所以③不是函数．
答案：③
2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋1）2，x1)．
(2)(配凑法)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))eq \s\up12(2)－2，
所以f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝c＝3.
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，
所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，))
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(4)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，
所以f(x)＝2x.
【答案】 (1)f(x)＝lgeq \f(2,x－1)(x＞1) (2)f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞) (3)f(x)＝x2－x＋3 (4)f(x)＝2x
eq \a\vs4\al()
求函数解析式的4种方法
(1)配凑法：由已知条件f[g(x)]＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得f(x)的表达式．
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(4)解方程组法：已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．
1．(一题多解)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝_______．
解析：方法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝eq \f(t－1,2)，
所以f(t)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t－1,2)))eq \s\up12(2)－6·eq \f(t－1,2)＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
方法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
方法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＝4，,4a＋2b＝－6，,a＋b＋c＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－5，,c＝9，))
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
答案：x2－5x＋9(x∈R)
2．已知函数f(x)满足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，则f(x)＝________________．
解析：因为2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，①
把①中的x换成eq \f(1,x)，得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(3,x).②
联立①②可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2f（x）＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f（x）＝\f(3,x)，))
解此方程组可得f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)．
答案：2x－eq \f(1,x)(x≠0)
3．已知函数f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，则f(x)的解析式为________________．
解析：方法一(换元法)：设t＝eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式得
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
方法二(配凑法)：因为x＋2eq \r(x)＝(eq \r(x))2＋2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)＋1)2－1，
所以f(eq \r(x)＋1)＝(eq \r(x)＋1)2－1，eq \r(x)＋1≥1，
即f(x)＝x2－1，x≥1.
答案：f(x)＝x2－1(x≥1)
分段函数(多维探究)
角度一 分段函数求值
(1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≤0，,f（x－3），x>0，))则f(5)的值为( )
A．－7 B．－1
C．0 D．eq \f(1,2)
(2)若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg（1－x），x