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2021-2022学年浙江省宁波市奉化区八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年浙江省宁波市奉化区八年级（上）期末数学试卷 解析版，共23页。
2021-2022学年浙江省宁波市奉化区八年级（上）期末数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知两条线段a＝12cm，b＝5cm，下列线段能和a，b首尾顺次相接组成三角形的是（ ）
A．18cm B．12cm C．7cm D．5cm
3．（3分）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．﹣a+1＞﹣b+1 C．a﹣2＞b﹣2 D．ac＞bc
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，3）到x轴的距离是（ ）
A．﹣4 B．4 C．5 D．3
5．（3分）一次函数y＝﹣2x+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
7．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（3分）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90 B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90 D．10x﹣（19﹣x）＞90
9．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
10．（3分）△DEF和△GHK均为等边三角形，将它们按如图1、图2的方式放置在等边三角形ABC内，若求图1、图2中的阴影部分面积的和，则只需知道（ ）
A．△BDE的面积 B．四边形BEFD的面积
C．△ABC面积 D．△DGH的面积
二．填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）已知一次函数y＝kx﹣1（k≠0），若y随x的增大而减小，请你写出符合条件的k的一个值： ．
12．（4分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 ．
13．（4分）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于 km．
14．（4分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为 ．
15．（4分）如图，函数y＝kx+b（k＜0）和y＝2x的图象相交于点A（1，2），则关于x的不等式kx+b＜2x的解为 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点，将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 ．
三．解答题（本大题有8小题，共66分）
17．（6分）解不等式组．
18．（8分）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴．
19．（8分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE．
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长．
20．（8分）如图，△ABC（∠B＞∠A）．
（1）在边AC上用尺规作图作出点D，使∠CDB＝2∠A（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的情况下，连接BD，若CB＝CD，∠A＝35°，求∠C的度数．
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），动点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，△OPA的面积为S．
（1）求S关于x的函数表达式和x的取值范围．
（2）求当S＝2时点P的坐标．
（3）OP+PA的最小值为 ．
22．（8分）某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．
（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．
（2）某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少盒A款的文具盒？
23．（10分）小聪和小慧去某风景区游览，约好在观景点见面．小聪步行先从景区入口处出发，中途休息片刻后继续以原速度前行，此时小慧乘观光车从景区入口处出发，他们沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小聪与小慧离景区入口的路程y（千米）与时间x（分）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）小聪步行的速度是 （千米/分），中途休息 分钟．
（2）求小慧离景区入口的路程y（千米）关于时间x（分）函数表达式．
（3）小慧比小聪早几分钟到达观景点？请说明理由．
24．（10分）【证明体验】
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE．求证：△ACD≌△EBD．
【迁移应用】
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为AB的中点，DC⊥AC．求△ABC面积．
【拓展延伸】
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长．
2021-2022学年浙江省宁波市奉化区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）已知两条线段a＝12cm，b＝5cm，下列线段能和a，b首尾顺次相接组成三角形的是（ ）
A．18cm B．12cm C．7cm D．5cm
【分析】设第三边为xcm，根据三角形三边关系定理得出12﹣5＜x＜12+5，再逐个判断即可．
【解答】解：设第三边为xcm，
则12﹣5＜x＜12+5，
∴7＜x＜17，
符合的数只有12cm，
故选：B．
3．（3分）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．﹣a+1＞﹣b+1 C．a﹣2＞b﹣2 D．ac＞bc
【分析】依据不等式的基本性质解答即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴﹣a+1＜﹣b+1，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴a﹣2＞b﹣2，
∴选项C符合题意；
∵a＞b，当c＜0时，ac＜bc，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，3）到x轴的距离是（ ）
A．﹣4 B．4 C．5 D．3
【分析】根据各象限内点的坐标特征与点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．
【解答】解：点M（﹣4，3）在第二象限，到x轴的距离是3．
故选：D．
5．（3分）一次函数y＝﹣2x+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数图象的性质可进行判断．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，b＝1＞0，
∴一次函数y＝2x+1的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
【分析】根据证明三角形全等的条件AAS，SAS，ASA，SSS逐一验证选项即可．
【解答】解：在△ABC和△DCB中，
∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，
A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），
故A能证明；
B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，
故B不能证明；
C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），
故C能证明；
D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），
故D能证明；
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，
故选：C．
8．（3分）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90 B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90 D．10x﹣（19﹣x）＞90
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：﹣5（19﹣x），不等关系：小聪得分超过90分．
【解答】解：设他答对了x道题，根据题意，得
10x﹣5（19﹣x）＞90．
故选：B．
9．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
【分析】过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性质得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根据勾股定理求出BM＝4，进而求出．
【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，
则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
在Rt△BCM中，
∵BC＝5，CM＝3，
∴BM＝＝＝4，
∴CN＝4，
∴CE＝2CN＝2×4＝8，
故选：D．
10．（3分）△DEF和△GHK均为等边三角形，将它们按如图1、图2的方式放置在等边三角形ABC内，若求图1、图2中的阴影部分面积的和，则只需知道（ ）
A．△BDE的面积 B．四边形BEFD的面积
C．△ABC面积 D．△DGH的面积
【分析】利用等边三角形的性质，图形的拼剪，分割法解决问题即可．
【解答】解：如图1中，∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝∠B＝60°，∠DFE＝∠EDF＝∠DEF＝60°，DE＝DF＝EF，
∵∠DFC＝∠A+∠ADF＝∠DFE+∠CFE，
∴∠ADF＝∠CFE，
∴△DAF≌△FCE（AAS），
同法可证△DAF≌△EBD，
∴图1、图2中的阴影部分面积的和＝S△ABC﹣S△DEF＝3S△DEB，
故选：A．
二．填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）已知一次函数y＝kx﹣1（k≠0），若y随x的增大而减小，请你写出符合条件的k的一个值： k＝﹣1（答案不唯一） ．
【分析】根据题意和一次函数的性质，可知k＜0，从而可以写出一个符号要求的函数．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1（k≠0），y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴符合要求的k的值为﹣1，
故答案为：k＝﹣1（答案不唯一）．
12．（4分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 如果a，b互为相反数，那么a+b＝0 ．
【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．
【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：
如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．
13．（4分）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于 2 km．
【分析】直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2（km）．
故答案为：2．
14．（4分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为 2 ．
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质求出EF＝DE＝8，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，
∴DE＝EF，
∵S△BCE＝×BC×EF＝5，
∴×5×EF＝5，
∴EF＝DE＝2，
故答案为：2．
15．（4分）如图，函数y＝kx+b（k＜0）和y＝2x的图象相交于点A（1，2），则关于x的不等式kx+b＜2x的解为 x＞1 ．
【分析】利用函数图象，找出正比例函数y＝2x的图象在一次函数y＝kx+b（k≠0）上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵函数y＝kx+b（k＜0）和y＝2x的图象相交于点A（1，2），
根据题意得，当x＞1时，kx+b＜2x．
故答案为：x＞1．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点，将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 或﹣1 ．
【分析】Rt△ABC中，AC＝BC＝1，所以∠CAB＝∠B＝45°，∠ECD＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，分两种情况讨论①AF＝FD时，AF＝＝＝；②AF＝AD时，AF＝﹣1．
【解答】解：∵Rt△ABC中，AC＝BC＝1，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，
∴∠ECD＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，
①AF＝FD时，
∠FDA＝∠FAD＝45°，
∴∠AFD＝90°，
∠CDA＝45°+45°＝90°＝∠ECD＝∠DAE，
∵EC＝CD，
∴四边形ADCE是正方形，
∴AD＝DC，
∴AF＝＝＝；
②AF＝AD时，
∠ADF＝∠AFD＝67.5°，
∴∠CDB＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠DCB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠DCB＝∠CDB，
∴BD＝CB＝1，
∴AD＝AB﹣BD＝﹣1，
∴AF＝AD＝﹣1，
故答案为：或﹣1．
三．解答题（本大题有8小题，共66分）
17．（6分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＞1，
解不等式②，得：x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2．
18．（8分）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴．
【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（2）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8）在x轴上，
∴2a+8＝0，
∴a＝﹣4，
∴点P（﹣6，0）；
（2）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴，
∴a﹣2＝1，
解得：a＝3，
故2a+8＝14，
则P（1，14）．
19．（8分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE．
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长．
【分析】（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5.5﹣4＝1.5，
答：BD的长为1.5．
20．（8分）如图，△ABC（∠B＞∠A）．
（1）在边AC上用尺规作图作出点D，使∠CDB＝2∠A（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的情况下，连接BD，若CB＝CD，∠A＝35°，求∠C的度数．
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D，则DA＝DB，所以∠A＝∠DBA，则根据三角形外角性质可得到∠CDB＝2∠A；
（2）先计算出∠CDB＝70°，再根据等腰三角形的性质由CB＝CD得到∠CBD＝∠CDB＝70°，然后根据三角形内角和计算∠C的度数．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；
（2）由（1）得∠CDB＝2∠A＝2×35°＝70°，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝70°，
∴∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），动点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，△OPA的面积为S．
（1）求S关于x的函数表达式和x的取值范围．
（2）求当S＝2时点P的坐标．
（3）OP+PA的最小值为 10 ．
【分析】（1）首先把x+y＝8，变形成y＝8﹣x，再利用三角形的面积求法：×底×高＝S，可以得到S关于x的函数表达式；由P在第一象限，可得到x的取值范围；
（2）把S＝2代入函数解析式即可得答案；
（3）作点O关于y＝8﹣x的对称点D，则OP＝DP，OP+PA＝DP+PA，当D、P、A在同一直线上时，DP+PA最小，即AD的长．
【解答】解：（1）∵x+y＝8，
∴y＝8﹣x，
∴S＝×2×（8﹣x）＝8﹣x，
即S关于x的函数表达式为S＝8﹣x；
∵P（x，y）在第一象限，
∴x＞0且y＞0，
∴x＞0且8﹣x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜8；
（2）∵S＝2，
∴2＝8﹣x，
解得x＝6，
∴y＝8﹣6＝2，
∴当S＝2时，点P的坐标是（6，2）；
（3）作点O关于y＝8﹣x的对称点D，
∴OP＝DP，OP+PA＝DP+PA，
当D、P、A在同一直线上时，DP+PA最小，即AD的长．
设y＝8﹣x与x轴交于点M，与y轴交于点N，连接DM，
∴M（8，0），N（0，8），
∴OM＝ON＝8，
∴∠OMN＝45°，
∵点O、点D关于y＝8﹣x对称，
∴MN垂直平分OD，
∴OM＝DM＝8，∠DMP＝∠OMN＝45°，
∴∠OMD＝90°，
在Rt△AMD中，AM＝OM﹣OA＝6，DM＝8，
∴AD＝10，
∴OP+PA的最小值为10．
故答案为：10．
22．（8分）某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．
（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．
（2）某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少盒A款的文具盒？
【分析】（1）设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，由题意：若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该班购买m盒A款的文具盒，由题意：某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，
由题意得：，
解得：，
答：每盒A款的文具盒为6元，每盒B款的文具盒为4元；
（2）设该班购买m盒A款的文具盒，
由题意得：6m+4（40﹣m）≤210，
解得：m≤25，
答：该班最多可以购买25盒A款的文具盒．
23．（10分）小聪和小慧去某风景区游览，约好在观景点见面．小聪步行先从景区入口处出发，中途休息片刻后继续以原速度前行，此时小慧乘观光车从景区入口处出发，他们沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小聪与小慧离景区入口的路程y（千米）与时间x（分）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）小聪步行的速度是 0.1 （千米/分），中途休息 3 分钟．
（2）求小慧离景区入口的路程y（千米）关于时间x（分）函数表达式．
（3）小慧比小聪早几分钟到达观景点？请说明理由．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小聪步行的速度和中途休息的时间；
（2）根据（1）中的结果和图象中的数据，可以计算出小聪18分钟时走的路程，然后再设小慧离景区入口的路程y（千米）关于时间x（分）函数表达式，然后代入数据计算即可；
（3）根据题意和图象中的数据，可以分别计算出小聪和小慧到达景点的时间，然后作差，即可得到小慧比小聪早几分钟到达观景点．
【解答】解：（1）由图象可得，
小聪步行的速度为：1÷10＝0.1（千米/分），
中途休息：13﹣10＝3（分钟），
故答案为：0.1，3；
（2）小聪第18分钟步行的路程为：1+（18﹣13）×0.1＝1.5（千米），
则第18分钟时，小聪和小慧相遇，此时他们走的路程为1.5千米，
设小慧离景区入口的路程y（千米）关于时间x（分）函数表达式为y＝kx+b，
∵点（13，0），（18，1.5）在该函数图象上，
∴，
解得，
即小慧离景区入口的路程y（千米）关于时间x（分）函数表达式为y＝0.3x﹣3.9；
（3）小慧比小聪早10分钟到达观景点，
理由：当y＝3时，3＝0.3x﹣3.9，得x＝23，
小聪到达景点用的总的时间为：13+（3﹣1）÷0.1＝33（分钟），
33﹣23＝10（分钟），
即小慧比小聪早10分钟到达观景点．
24．（10分）【证明体验】
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE．求证：△ACD≌△EBD．
【迁移应用】
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为AB的中点，DC⊥AC．求△ABC面积．
【拓展延伸】
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等；
（2）如图2中，延长CD到T，使得DT＝CD，连接BT．由（1）可知△ADC≌△BDT，推出AC＝BT＝5，∠ACD＝∠T＝90°，利用勾股定理求出CT，即可解决问题；
（3）如图3中，延长AC到R，使得CR＝CA，连接DR．证明DE＝DR＝AB，设DE＝DR＝AB＝x，则BF＝x﹣2，DF＝x+2，在Rt△DBF中，根据BF2+BD2＝DF2，构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：如图2中，延长CD到T，使得DT＝CD，连接BT．
由（1）可知△ADC≌△BDT，
∴AC＝BT＝5，∠ACD＝∠T＝90°，
∴CT＝＝＝12，
∴CD＝DT＝6，
∴S△ACB＝S△ADC+S△CDB＝•AC•DC+•BT•CD＝×5×6+×5×6＝30；
（3）解：如图3中，延长AC到R，使得CR＝CA，连接DR．
由（1）可知，△ACB≌△RCD，
∴AB＝DR，∠A＝∠R，
∵FE＝FA，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠DER，
∴∠DER＝∠R，
∴DE＝DR＝AB，
设DE＝DR＝AB＝x，则BF＝x﹣2，DF＝x+2，
在Rt△DBF中，BF2+BD2＝DF2，
∴（x﹣2）2+62＝（x+2）2，
∴x＝，
∴DE＝．
2021-2022学年浙江省宁波市奉化区八年级（上）期末数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知两条线段a＝12cm，b＝5cm，下列线段能和a，b首尾顺次相接组成三角形的是（ ）
A．18cm B．12cm C．7cm D．5cm
3．（3分）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．﹣a+1＞﹣b+1 C．a﹣2＞b﹣2 D．ac＞bc
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，3）到x轴的距离是（ ）
A．﹣4 B．4 C．5 D．3
5．（3分）一次函数y＝﹣2x+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
7．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（3分）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90 B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90 D．10x﹣（19﹣x）＞90
9．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
10．（3分）△DEF和△GHK均为等边三角形，将它们按如图1、图2的方式放置在等边三角形ABC内，若求图1、图2中的阴影部分面积的和，则只需知道（ ）
A．△BDE的面积 B．四边形BEFD的面积
C．△ABC面积 D．△DGH的面积
二．填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）已知一次函数y＝kx﹣1（k≠0），若y随x的增大而减小，请你写出符合条件的k的一个值： ．
12．（4分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 ．
13．（4分）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于 km．
14．（4分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为 ．
15．（4分）如图，函数y＝kx+b（k＜0）和y＝2x的图象相交于点A（1，2），则关于x的不等式kx+b＜2x的解为 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点，将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 ．
三．解答题（本大题有8小题，共66分）
17．（6分）解不等式组．
18．（8分）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴．
19．（8分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE．
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长．
20．（8分）如图，△ABC（∠B＞∠A）．
（1）在边AC上用尺规作图作出点D，使∠CDB＝2∠A（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的情况下，连接BD，若CB＝CD，∠A＝35°，求∠C的度数．
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），动点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，△OPA的面积为S．
（1）求S关于x的函数表达式和x的取值范围．
（2）求当S＝2时点P的坐标．
（3）OP+PA的最小值为 ．
22．（8分）某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．
（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．
（2）某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少盒A款的文具盒？
23．（10分）小聪和小慧去某风景区游览，约好在观景点见面．小聪步行先从景区入口处出发，中途休息片刻后继续以原速度前行，此时小慧乘观光车从景区入口处出发，他们沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小聪与小慧离景区入口的路程y（千米）与时间x（分）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）小聪步行的速度是 （千米/分），中途休息 分钟．
（2）求小慧离景区入口的路程y（千米）关于时间x（分）函数表达式．
（3）小慧比小聪早几分钟到达观景点？请说明理由．
24．（10分）【证明体验】
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE．求证：△ACD≌△EBD．
【迁移应用】
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为AB的中点，DC⊥AC．求△ABC面积．
【拓展延伸】
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长．
2021-2022学年浙江省宁波市奉化区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）已知两条线段a＝12cm，b＝5cm，下列线段能和a，b首尾顺次相接组成三角形的是（ ）
A．18cm B．12cm C．7cm D．5cm
【分析】设第三边为xcm，根据三角形三边关系定理得出12﹣5＜x＜12+5，再逐个判断即可．
【解答】解：设第三边为xcm，
则12﹣5＜x＜12+5，
∴7＜x＜17，
符合的数只有12cm，
故选：B．
3．（3分）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．﹣a+1＞﹣b+1 C．a﹣2＞b﹣2 D．ac＞bc
【分析】依据不等式的基本性质解答即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴﹣a+1＜﹣b+1，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴a﹣2＞b﹣2，
∴选项C符合题意；
∵a＞b，当c＜0时，ac＜bc，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，3）到x轴的距离是（ ）
A．﹣4 B．4 C．5 D．3
【分析】根据各象限内点的坐标特征与点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．
【解答】解：点M（﹣4，3）在第二象限，到x轴的距离是3．
故选：D．
5．（3分）一次函数y＝﹣2x+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数图象的性质可进行判断．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，b＝1＞0，
∴一次函数y＝2x+1的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
【分析】根据证明三角形全等的条件AAS，SAS，ASA，SSS逐一验证选项即可．
【解答】解：在△ABC和△DCB中，
∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，
A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），
故A能证明；
B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，
故B不能证明；
C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），
故C能证明；
D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），
故D能证明；
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，
故选：C．
8．（3分）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90 B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90 D．10x﹣（19﹣x）＞90
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：﹣5（19﹣x），不等关系：小聪得分超过90分．
【解答】解：设他答对了x道题，根据题意，得
10x﹣5（19﹣x）＞90．
故选：B．
9．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
【分析】过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性质得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根据勾股定理求出BM＝4，进而求出．
【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，
则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
在Rt△BCM中，
∵BC＝5，CM＝3，
∴BM＝＝＝4，
∴CN＝4，
∴CE＝2CN＝2×4＝8，
故选：D．
10．（3分）△DEF和△GHK均为等边三角形，将它们按如图1、图2的方式放置在等边三角形ABC内，若求图1、图2中的阴影部分面积的和，则只需知道（ ）
A．△BDE的面积 B．四边形BEFD的面积
C．△ABC面积 D．△DGH的面积
【分析】利用等边三角形的性质，图形的拼剪，分割法解决问题即可．
【解答】解：如图1中，∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝∠B＝60°，∠DFE＝∠EDF＝∠DEF＝60°，DE＝DF＝EF，
∵∠DFC＝∠A+∠ADF＝∠DFE+∠CFE，
∴∠ADF＝∠CFE，
∴△DAF≌△FCE（AAS），
同法可证△DAF≌△EBD，
∴图1、图2中的阴影部分面积的和＝S△ABC﹣S△DEF＝3S△DEB，
故选：A．
二．填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）已知一次函数y＝kx﹣1（k≠0），若y随x的增大而减小，请你写出符合条件的k的一个值： k＝﹣1（答案不唯一） ．
【分析】根据题意和一次函数的性质，可知k＜0，从而可以写出一个符号要求的函数．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1（k≠0），y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴符合要求的k的值为﹣1，
故答案为：k＝﹣1（答案不唯一）．
12．（4分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 如果a，b互为相反数，那么a+b＝0 ．
【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．
【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：
如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．
13．（4分）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于 2 km．
【分析】直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2（km）．
故答案为：2．
14．（4分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，若△BCE的面积为5，则ED的长为 2 ．
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质求出EF＝DE＝8，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，
∴DE＝EF，
∵S△BCE＝×BC×EF＝5，
∴×5×EF＝5，
∴EF＝DE＝2，
故答案为：2．
15．（4分）如图，函数y＝kx+b（k＜0）和y＝2x的图象相交于点A（1，2），则关于x的不等式kx+b＜2x的解为 x＞1 ．
【分析】利用函数图象，找出正比例函数y＝2x的图象在一次函数y＝kx+b（k≠0）上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵函数y＝kx+b（k＜0）和y＝2x的图象相交于点A（1，2），
根据题意得，当x＞1时，kx+b＜2x．
故答案为：x＞1．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点，将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 或﹣1 ．
【分析】Rt△ABC中，AC＝BC＝1，所以∠CAB＝∠B＝45°，∠ECD＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，分两种情况讨论①AF＝FD时，AF＝＝＝；②AF＝AD时，AF＝﹣1．
【解答】解：∵Rt△ABC中，AC＝BC＝1，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，
∴∠ECD＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，
①AF＝FD时，
∠FDA＝∠FAD＝45°，
∴∠AFD＝90°，
∠CDA＝45°+45°＝90°＝∠ECD＝∠DAE，
∵EC＝CD，
∴四边形ADCE是正方形，
∴AD＝DC，
∴AF＝＝＝；
②AF＝AD时，
∠ADF＝∠AFD＝67.5°，
∴∠CDB＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠DCB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠DCB＝∠CDB，
∴BD＝CB＝1，
∴AD＝AB﹣BD＝﹣1，
∴AF＝AD＝﹣1，
故答案为：或﹣1．
三．解答题（本大题有8小题，共66分）
17．（6分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＞1，
解不等式②，得：x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2．
18．（8分）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴．
【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（2）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8）在x轴上，
∴2a+8＝0，
∴a＝﹣4，
∴点P（﹣6，0）；
（2）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴，
∴a﹣2＝1，
解得：a＝3，
故2a+8＝14，
则P（1，14）．
19．（8分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE．
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长．
【分析】（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5.5﹣4＝1.5，
答：BD的长为1.5．
20．（8分）如图，△ABC（∠B＞∠A）．
（1）在边AC上用尺规作图作出点D，使∠CDB＝2∠A（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的情况下，连接BD，若CB＝CD，∠A＝35°，求∠C的度数．
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D，则DA＝DB，所以∠A＝∠DBA，则根据三角形外角性质可得到∠CDB＝2∠A；
（2）先计算出∠CDB＝70°，再根据等腰三角形的性质由CB＝CD得到∠CBD＝∠CDB＝70°，然后根据三角形内角和计算∠C的度数．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；
（2）由（1）得∠CDB＝2∠A＝2×35°＝70°，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝70°，
∴∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），动点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，△OPA的面积为S．
（1）求S关于x的函数表达式和x的取值范围．
（2）求当S＝2时点P的坐标．
（3）OP+PA的最小值为 10 ．
【分析】（1）首先把x+y＝8，变形成y＝8﹣x，再利用三角形的面积求法：×底×高＝S，可以得到S关于x的函数表达式；由P在第一象限，可得到x的取值范围；
（2）把S＝2代入函数解析式即可得答案；
（3）作点O关于y＝8﹣x的对称点D，则OP＝DP，OP+PA＝DP+PA，当D、P、A在同一直线上时，DP+PA最小，即AD的长．
【解答】解：（1）∵x+y＝8，
∴y＝8﹣x，
∴S＝×2×（8﹣x）＝8﹣x，
即S关于x的函数表达式为S＝8﹣x；
∵P（x，y）在第一象限，
∴x＞0且y＞0，
∴x＞0且8﹣x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜8；
（2）∵S＝2，
∴2＝8﹣x，
解得x＝6，
∴y＝8﹣6＝2，
∴当S＝2时，点P的坐标是（6，2）；
（3）作点O关于y＝8﹣x的对称点D，
∴OP＝DP，OP+PA＝DP+PA，
当D、P、A在同一直线上时，DP+PA最小，即AD的长．
设y＝8﹣x与x轴交于点M，与y轴交于点N，连接DM，
∴M（8，0），N（0，8），
∴OM＝ON＝8，
∴∠OMN＝45°，
∵点O、点D关于y＝8﹣x对称，
∴MN垂直平分OD，
∴OM＝DM＝8，∠DMP＝∠OMN＝45°，
∴∠OMD＝90°，
在Rt△AMD中，AM＝OM﹣OA＝6，DM＝8，
∴AD＝10，
∴OP+PA的最小值为10．
故答案为：10．
22．（8分）某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．
（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．
（2）某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少盒A款的文具盒？
【分析】（1）设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，由题意：若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该班购买m盒A款的文具盒，由题意：某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，
由题意得：，
解得：，
答：每盒A款的文具盒为6元，每盒B款的文具盒为4元；
（2）设该班购买m盒A款的文具盒，
由题意得：6m+4（40﹣m）≤210，
解得：m≤25，
答：该班最多可以购买25盒A款的文具盒．
23．（10分）小聪和小慧去某风景区游览，约好在观景点见面．小聪步行先从景区入口处出发，中途休息片刻后继续以原速度前行，此时小慧乘观光车从景区入口处出发，他们沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小聪与小慧离景区入口的路程y（千米）与时间x（分）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）小聪步行的速度是 0.1 （千米/分），中途休息 3 分钟．
（2）求小慧离景区入口的路程y（千米）关于时间x（分）函数表达式．
（3）小慧比小聪早几分钟到达观景点？请说明理由．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小聪步行的速度和中途休息的时间；
（2）根据（1）中的结果和图象中的数据，可以计算出小聪18分钟时走的路程，然后再设小慧离景区入口的路程y（千米）关于时间x（分）函数表达式，然后代入数据计算即可；
（3）根据题意和图象中的数据，可以分别计算出小聪和小慧到达景点的时间，然后作差，即可得到小慧比小聪早几分钟到达观景点．
【解答】解：（1）由图象可得，
小聪步行的速度为：1÷10＝0.1（千米/分），
中途休息：13﹣10＝3（分钟），
故答案为：0.1，3；
（2）小聪第18分钟步行的路程为：1+（18﹣13）×0.1＝1.5（千米），
则第18分钟时，小聪和小慧相遇，此时他们走的路程为1.5千米，
设小慧离景区入口的路程y（千米）关于时间x（分）函数表达式为y＝kx+b，
∵点（13，0），（18，1.5）在该函数图象上，
∴，
解得，
即小慧离景区入口的路程y（千米）关于时间x（分）函数表达式为y＝0.3x﹣3.9；
（3）小慧比小聪早10分钟到达观景点，
理由：当y＝3时，3＝0.3x﹣3.9，得x＝23，
小聪到达景点用的总的时间为：13+（3﹣1）÷0.1＝33（分钟），
33﹣23＝10（分钟），
即小慧比小聪早10分钟到达观景点．
24．（10分）【证明体验】
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE．求证：△ACD≌△EBD．
【迁移应用】
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为AB的中点，DC⊥AC．求△ABC面积．
【拓展延伸】
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等；
（2）如图2中，延长CD到T，使得DT＝CD，连接BT．由（1）可知△ADC≌△BDT，推出AC＝BT＝5，∠ACD＝∠T＝90°，利用勾股定理求出CT，即可解决问题；
（3）如图3中，延长AC到R，使得CR＝CA，连接DR．证明DE＝DR＝AB，设DE＝DR＝AB＝x，则BF＝x﹣2，DF＝x+2，在Rt△DBF中，根据BF2+BD2＝DF2，构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：如图2中，延长CD到T，使得DT＝CD，连接BT．
由（1）可知△ADC≌△BDT，
∴AC＝BT＝5，∠ACD＝∠T＝90°，
∴CT＝＝＝12，
∴CD＝DT＝6，
∴S△ACB＝S△ADC+S△CDB＝•AC•DC+•BT•CD＝×5×6+×5×6＝30；
（3）解：如图3中，延长AC到R，使得CR＝CA，连接DR．
由（1）可知，△ACB≌△RCD，
∴AB＝DR，∠A＝∠R，
∵FE＝FA，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠DER，
∴∠DER＝∠R，
∴DE＝DR＝AB，
设DE＝DR＝AB＝x，则BF＝x﹣2，DF＝x+2，
在Rt△DBF中，BF2+BD2＝DF2，
∴（x﹣2）2+62＝（x+2）2，
∴x＝，
∴DE＝．
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