2023-2024学年浙江省宁波市奉化区八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市奉化区八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学试题卷
一、选择题（每小题5分，共35分）
1．已知一次函数图象上的三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．若关于的不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
3．在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5 中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
4．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（ ）．
A．或B．或C．或D．或
5．如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）的坐标为，左上角格点的坐标为，若分布在直线两侧的格点数相同，则的取值可以是（ ）.
A．B．C．2D．
6．如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．若已知，则的值为（ ）
A．18B．24C．25D．36
7．设是三角形的三边长，且，，都是自然数，如果，则这样的三角形有（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5分，共25分）
8．在中，为边的中点，点在边上，，、交于点，若的面积为26，则 .
9．如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 .
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转，交轴于点C，则直线BC的函数表达式为 ．
11．若自然数，为整数，且，则 .
12．如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .

三、解答题（共40分）
13．母亲节前夕，某商店从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为3：4，单价和为210元．
（1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？
（2）该商店购进这两种礼盒恰好用去9900元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？
（3）根据市场行情，销售一个A钟礼盒可获利12元，销售一个B种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m值是多少？此时店主获利多少元？
14．如果一个数能表示成（，是整数），我们称这个数为“好数”.
(1)写出10，11，12，…，20中的“好数”.
(2)如果，都是“好数”，请分别判断和一定是“好数”吗？如果不是，请举反例说明；如果是，请说明理由.
15．如图，在中，，平分，点是的中点，过点作交延长线于点.
(1)求证：.
(2)若，，，求的长（用、的代数式表示）.
参考答案与解析
1．A
【分析】利用一次函数的增减性即可得．
【详解】一次函数中的
则一次函数的增减性为：y随x的增大而减小
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象特征，掌握并灵活运用函数的增减性是解题关键．
2．C
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式，先解一元一次不等式可得：，然后根据题意可得：，，从而进行计算即可解答．
【详解】，
，
，
不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，
∴，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半以及垂线段最短的性质求出AC边的最短值，然后再判断三角形的个数即可．
【详解】解：如图，AC⊥BC时，
∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴AC＝AB＝×4＝2，
∵垂线段最短，
∴AC≥2，
∴在1、2、3、4、5中可取的值有2、3、4、5，
当AC＝2时可以作1个三角形，当AC＝3时可以作2个三角形，当AC＝4时可以作1个三角形，当AC＝5时可以作1个三角形，
所以，三角形的个数是5个．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，求出AC边的最小值是解题的关键．
4．C
【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和的问题，以及外角的性质，先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和定理及外角的性质可得结论．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
当①时．
，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∵于点,
∴，
∴，
②当时，
∴
∴，
∵，
∴
∴此种情况不成立．
③当时，
设，
则：，
解得：，
∴，
∴，
∴．
④当时，
同理得：，
∴
∴
∴此种情况不成立．
综上所述，的度数为或，
故选∶C．
5．B
【分析】本题主要考查了过定点的直线旋转，正方形的对称性．由正方形的对称性，要使两侧格点一样，直线要在正方形中心附近，结合图形，直线要在直线和直线之间运动，从而确定，进而求解．
【详解】直线过定点，分布在直线两侧的格点数相同，
由正方形的对称性可知，直线两侧的格点数相同，
在直线和直线之间，两侧格点相同，（如图）
，，
∴把代入得，
把代入得，
，则．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可．
【详解】解：过F作于D，连接，

∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
同理可证，
∴．
由可得：，
∴，
∵，即，且，，
∴，又，
又，
∴四边形是长方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴
．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查数字变化类规律探究，通过列举出当时，当时，当时，，符合题意的三角形个数的规律，归纳得出，这样的三角形个数的表达式．
【详解】若是三角形的三边长，且，，都是自然数，记三角形的三边长为，，，
归纳，当时，三角形的三边长只能为，1，，只有1个；
当时，或2，三角形的三边长为，2，，，2，，，2，，共个；
当 时，或2或3，三角形的三边长为，3，，，3，，，3，，，3，，，3，，，3，，共 个；；
依此类推，
当时，三角形个数为 个．
故选：D．
8．3
【分析】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分是解答此题的关键．由为的中点可知，，由可知，，根据可得出结论．
【详解】如图所示：
点为的中点，
，
，
，
．
故答案为：3．
9．##40度
【分析】本题考查轴对称最短问题、三角形的内角和定理．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，
，，
，
，
，
故答案为：．
10．
【分析】根据已知条件得到，，，求得，，过作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，，设直线的函数表达式为：，解方程组即可得到结论．
【详解】解：一次函数的图象分别交、轴于点、，
令，得，令，得，
，，，
，，
过作交于，过作轴于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
设直线的函数表达式为：，
，
，
直线的函数表达式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了不等式的解法，将等式转化为不等式，然后进行分类讨论是解决本题的关键．可先设，，，根据，为整数，当时进行分析看是否符合；然后令时，进行分析，看看是否符合题意；最后令，进行分析，看看是否符合题意，从而得到结果．
【详解】∵自然数，为整数，且，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，，
．
故答案为：．
12．##65度
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长交 的角平分线于点，连结，根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出，，进而得出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，，根据角的和差及三角形内角和定理求出，结合平角定义求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可．
【详解】如图，延长交 的角平分线于点，连接．

平分，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．（1）A种礼盒单价为90元，B种礼盒单价为120元;（2）见解析;（3）1320元．
【分析】（1）利用A、B两种礼盒的单价比为3：4，单价和为210元，得出等式求出即可；
（2）利用两种礼盒恰好用去9900元，结合（1）中所求，得出等式，利用两种礼盒的数量关系求出即可；
（3）首先表示出店主获利，进而利用w，m关系得出符合题意的答案．
【详解】（1）设A种礼盒单价为3x元，B种礼盒单价为4x元，
则：3x+4x＝210，
解得x＝30，
所以A种礼盒单价为3×30＝90元，
B种礼盒单价为4×30＝120元．
（2）设A种礼盒购进a个，购进B种礼盒b个，
则：90a+120b＝9900，
可列不等式组为：，
解得：30≤a≤36，
因为礼盒个数为整数，所以符合的方案有2种，分别是：
第一种：A种礼盒30个，B种礼盒60个，
第二种：A种礼盒34个，B种礼盒57个．
（3）设该商店获利w元，由（2）可知：w＝12a+（18﹣m）b，a=110-，
则w＝（2﹣m）b+1320，
若使所有方案都获利相同，则令2﹣m＝0，得m＝2，
此时店主获利1320元．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用和一元一次不等式的应用，根据题意结合得出正确等量关系是解题关键．
14．(1)10、13、16、17、18、20
(2)不一定是“好数”，详见解析；一定是“好数”，详见解析
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，完全平方数，新定义，理解并灵活运用新定义是解本题的关键．
（1）根据“好数”的意义判断，即可得出结论；
（2）举一个反例判断即可；设， 、、、均为整数），则，依此即可求解．
【详解】（1）一个“好数”能表示成，，是整数），
，11，12，，20中，
、、、，、，
能表示成，是整数），
故“好数”有：10、13、16、17、18、20；
（2）一个“好数”能表示成，，是整数），
一个数能够表示成两个整数的平方和，这个数即为“好数”，
判断： 不一定是“好数”，
若，，则、均为“好数”，
但，而3不能写成两个整数的平方和，不是“好数”，
当、为“好数”时， 不一定是“好数”，
判断一定是“好数”，理由如下：
、为“好数”，
设，，
则
，
、、、均为整数，
、为整数，
一定是“好数”．
15．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；
（1）作直线分别交、的延长线于点、，构造全等三角形进一步求解即可；
（2）过点做交于点，构造等边三角形化简整理即可求解．
【详解】（1）作直线分别交、的延长线于点、
∵，平分，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
（2）过点做交于点，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，为等边三角形，
∵，，，
∴，，
∴为等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．