乘法的公式（提高）知识点与练习题学案
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乘法公式（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
【高清课堂 乘法公式 知识要点】
要点一、平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
要点二、完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
要点四、补充公式
；；
；.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、计算(2＋1)()( )()()()＋1．
【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，与，与等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.
【答案与解析】
解：原式＝(2－1)(2＋1)( )()()()() ＋1
＝()( )( )()()()＋1
＝－1＋1＝．
【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．
举一反三：
【高清课堂 乘法公式 例1（7）（8）】
【变式1】计算：
(1)
(2)(＋)( －)( )( )
【答案】
解：(1)原式＝[(＋3)(－3)]()＝()()＝．
(2)原式＝[(＋)( －)]( )( )
＝[()( )]( )
＝()( )＝．
【变式2】（2015•内江）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）= ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）= ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= ．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）= （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
【答案】
解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；
（2）由（1）的规律可得：
原式=an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．
2、（2014春•牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？
【答案与解析】
解：设原绿地的边长为x米，则新绿地的边长为x+3米，
根据题意得，（x+3）2﹣x2=63，
由平方差公式得，（x+3+x）（x+3﹣x）=63，
解得，x=9；
∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；
答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．
【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，熟练应用平方差公式可简化计算．
举一反三：
【变式】解不等式组：
【答案】
解：
由①得，，．
由②得，，
，．
∴ 不等式组的解集为．
类型二、完全平方公式的应用
3、运用乘法公式计算：
（1）；（2）．
【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将化成，看成与和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中与完全相同，，与，分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．
【答案与解析】
解：（1）原式
．
（2）原式．
【总结升华】配成公式中的“”“”的形式再进行计算.
举一反三：
【变式】运用乘法公式计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】
解：(1) ＝[－(－)][ ＋(－)]
＝
＝．
(2) ＝[2＋(－1)][2－(－1)]
＝
＝．
(3)
＝．
(4) ＝
＝－
＝－
＝
4、已知△ABC的三边长、、满足，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．
【答案与解析】
解：∵ ，
∴ ，
即．
即．
∴ ，，，
即，∴ △ABC为等边三角形．
【总结升华】式子体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论．
举一反三：
【变式】多项式的最小值是____________.
【答案】4；
提示：，所以最小值为4.
【巩固练习】
一.选择题
1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( )．
① ②
③ ④
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2. 若是完全平方式，则值是（ ）
A. B. C. D. 1
3.下面计算正确的是( )．
A.原式＝(－7＋＋)[－7－(＋)]＝－－
B.原式＝(－7＋＋)[－7－(＋)]＝＋
C.原式＝[－(7－－)][－(7＋＋)]＝－
D.原式＝[－(7＋)＋][－(7＋)－]＝
4．(＋3)(＋9)(－3)的计算结果是( )．
A.＋81 B.－－81 C. －81 D.81－
5．下列式子不能成立的有( )个．
① ② ③
④ ⑤
A.1 B.2 C.3 D.4
6．（2015春•开江县期末）计算20152﹣2014×2016的结果是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二.填空题
7．多项式是一个完全平方式，则＝______．
8. 已知，则的结果是_______.
9. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，则＋＝_______.
10.（2015春•深圳期末）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A的末位数字是 ．
11．对于任意的正整数，能整除代数式的最小正整数是_______.
12. 如果＝63，那么＋的值为_______.
三.解答题
13.计算下列各值.
14.（2015春•成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．
15. 已知：求的值.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】①，②，③可用平方差公式.
2. 【答案】B；
【解析】，所以＝±1.
3. 【答案】C；
4. 【答案】C；
【解析】(＋3)(＋9)(－3)＝.
5. 【答案】B；
【解析】②，③不成立.
6. 【答案】D；
【解析】解：原式=20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=1，
故选D.
二.填空题
7. 【答案】16；
【解析】，∴＝16.
8. 【答案】23；
【解析】.
9. 【答案】－3；
【解析】，＝1，＝－4.
10.【答案】6；
【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1，
=（28﹣1）（28+1）+1，
=（216﹣1）（216+1）+1，
=232﹣1+1，
因为232的末位数字是6，所以原式末位数字是6．
故答案为：6．
11.【答案】10；
【解析】利用平方差公式化简得10，故能被10整除.
12.【答案】±4；
【解析】.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
（4）原式＝
14.【解析】
解：（1）是，理由如下：
∵28=82﹣62，2012=5042﹣5022，
∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；
（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k，
而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
15.【解析】
解：∵∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴.
