数学八年级下册18.2.2 菱形测试题

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专题训练13 菱形的性质与判定
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．

【分析】（1）由“AAS”证△AOE≌△COF，得OF＝OE，证出四边形AFCE是平行四边形，再证CE＝CF，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得出OE=3AO=3，则EF＝2OE＝23，由菱形面积公式即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠AEF＝∠CFE，
在△AOE和△COF中，∠AEF=∠CFE∠AOE=∠COFAO=CO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF＝OE，
∵AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，AO＝CO=12AC＝1，
∴∠AOE＝90°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠AEO＝30°，
∴OE=3AO=3，
∴EF＝2OE＝23，
∴四边形AFCE的面积=12AC×EF=12×2×23=23．
2．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．
（1）求证：△ADO≌△CBO．
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．

【分析】（1）由ASA即可得出结论；
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AD＝AB，即可得出结论；
（3）由菱形的性质得出AC⊥BD，证明四边形ACED是平行四边形，得出AC＝DE＝2，AD＝EC，由菱形的性质得出EC＝CB＝AB＝2，得出EB＝4，由勾股定理得BD═42−22=23，即可得出答案．
【解析】解：（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∵AM∥BN，
∴∠DAC＝∠ACB，
在△AOD和△COB中，∠DAO=∠BCOAO=CO∠AOD=∠COB，
∴△ADO≌△CBO（ASA）；
（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，
∴AD＝CB，
又∵AM∥BN，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM∥BN，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABN，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝CB，
又DE⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AM∥BN，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝2，AD＝EC，
∴EC＝CB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC＝CB＝AB＝2，
∴EB＝4，
在Rt△DEB中，由勾股定理得BD=BE2−DE2=42−22=23，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×2×23=23．

3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．

（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；
（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．
【分析】（1）欲证明四边形CDBF是平行四边形只要证明CF∥DB，CF＝DB即可；
（2）由直角三角形的性质可得AD＝CD＝DB，即可证四边形CDBF是菱形；
（3）如图，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可；
【解析】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA），
∴CF＝BD，且CF∥AB，
∴四边形CDBF是平行四边形．
（2）∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BD，且四边形CDBF是平行四边形，
∴四边形CDBF是菱形，
（3）如图，作EM⊥DB于点M，

在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝22，
∴BM＝22
在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，
∴DM=3ME＝26，
∴BD＝26+22
∴△BDE面积=12×BD×ME=12×22×（26+22）＝4+43
4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点E，使得CE＝DC，连接BE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）填空：
①当∠ADC＝　60　°时，四边形ACEB为菱形；
②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝　42　．

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质解答即可．
【解析】（1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB．
∵∠AFB＝∠CFD，
∴△AFB≌△CFD （ASA），
∴AB＝CD．
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）①当∠ADC＝60°，四边形ACEB为菱形，
∵∠ADC＝60°，
∴∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE＝BE，
∴四边形ACEB为菱形，
故答案为：60；
②当∠ADC＝90°，BE＝4时，
DE＝42，
故答案为：42．
5．已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF＝AE，连接CF．
（1）判断四边形EBCF的形状，并证明；
（2）若AF＝9，CF＝3，求CD的长．

【分析】（1）根据菱形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出EF＝BC，根据平行四边形的判定得出四边形EBCF是平行四边形，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出AB，根据菱形的性质得出即可．
【解析】（1）四边形EBCF是矩形，
证明：∵四边形ABCD菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵DF＝AE，
∴DF+DE＝AE+DE，
即：EF＝AD，
∴EF＝BC，
∴四边形EBCF是平行四边形，
又∵BE⊥AD，
∴∠BEF＝90°．
∴四边形EBCF是矩形；
（2）∵四边形ABCD菱形，
∴AD＝CD．
∵四边形EBCF是矩形，
∴∠F＝90°，
∵AF＝9，CF＝3，
∴设CD＝x，则DF＝9﹣x，
∴x2＝（9﹣x）2+32，
解得：x＝5，
∴CD＝5．
6．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF＝∠DAE．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．

【分析】（1）首先利用菱形的性质得出AB＝AD，∠B＝∠D，进而得出△ABE≌△ADF（ASA），即可得出答案；
（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC和△ACD都是等边三角形，进而得出∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°，求出△AEF为等边三角形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
又∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
∠B=∠DAB=AD∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF；
（2）解：连接AC，
∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB＝AC＝AD，
∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴∠CAE＝∠BAE＝30°，∠CAF＝∠DAF＝30°，
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°，
又∵AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形．

7．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A'C'D'的位置，若平移开始后点D'未到达B时，A'C'交CD于点E，D'C'交CB于点F，连接EF，CC'．
（1）证明：在平移的过程中，△A'DE总是等腰三角形；
（2）甲判断：在平移的过程中．总有四边形CEFC'是菱形．
乙判断：在平移的过程中，当且仅当A'是AD的中点时，四边形CEFC'是菱形．你认为谁的判断正确，请说明理由．

【分析】（1）先证明CD＝DA＝DB，得到∠DAC＝∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E＝∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状；
（2）同（1）得：C'C＝EC，CC'＝C'F，得出EC＝C'F，证出四边形CEFC'是平行四边形，又由C'C＝EC，即可得出四边形CEFC'是菱形．
【解析】（1）证明：∵△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝DA＝DB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵A′C′∥AC，
∴∠DA′E＝∠A，∠DEA′＝∠DCA，
∴∠DA′E＝∠DEA′，
∴DA′＝DE，
∴△A′DE是等腰三角形；
（2）解：甲的判断正确；理由如下：
同（1）得：C'C＝EC，CC'＝C'F，
∴EC＝C'F，
∵CD∥C'D'，
∴四边形CEFC'是平行四边形，
又∵C'C＝EC，
∴四边形CEFC'是菱形．
8．如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝2，点E是AB中点，求EF的长．

【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，可得AB∥CD，OA＝OC，继而证得△AOE≌△COF，则可证得结论．
（2）利用平行四边形的判定和性质解答即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO．
在△OAE和△OCF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AEO=∠CFO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF；
（2）∵E是AB中点，
∴BE＝AE＝CF．
∵BE∥CF，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∵AB＝2，
∴EF＝BC＝AB＝2．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形．
（2）若AC＝16，BD＝12，求△ADE的周长．

【分析】（1）先根据菱形的性质得出AB∥CD，AC⊥BD，再证明DE∥AC，然后根据平行四边形的定义证明即可；
（2）先根据菱形的性质以及勾股定理得出AD＝CD=AO2+DO2=10，再由平行四边形的性质得出AE＝CD＝10，DE＝AC＝16，进而求出△ADE的周长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB＝90°．
∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，
∴∠AOB＝∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，
∴AO＝8，DO＝6，AD＝CD=AO2+DO2=82+62=10．
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝10，DE＝AC＝16，
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝10+10+16＝36．
10．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：DE＝CE．
（2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长．

【分析】（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论；
（2）连接AC交BD于H，先由菱形的性质可得AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，然后利用直角三角形的性质可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
AB=CB∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
又∵AE＝DE，
∴DE＝CE．
（2）解：如图，连接AC交BD于H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AE═ED＝1，
∴∠DAE＝∠EDA，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，
∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，
∴BE＝2AE＝2，
∴BD＝BE+DE＝3，
∴BH＝DH=32，
∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，
∴AB＝2AH，BH=3AH，
∴AH=32，AB＝2AH=3，
即菱形的边长为3．
11．如图，△ABC中AB＝6，AC＝8，D是BC边上一动点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）若BC＝10，判断四边形AEDF的形状并证明；
（2）在（1）的条件下，若四边形AEDF是正方形，求BD的长；
（3）若∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，则BD＝　6137　．

【分析】（1）首先判定平行四边形，然后证明一个内角为90°，从而判定矩形；
（2）首先根据面积法求得DE的长，然后利用勾股定理求得BD的长即可；
（3）根据面积求得BD：CD＝3：4，然后求得BD的长．
【解析】解：（1）AEDF是矩形，理由如下
∵AB2+AC2＝62+82＝BC2＝102，
由勾股定理得∠BAC＝90°
∵DE∥AF、DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形；
（2）由（1）得，当DE＝DF时，四边形AEDF是正方形．
设DE＝DF＝x，建立面积方程S△ABC=12AC•BD=12DE（AB+AC）；
即：12×6×8=12x×（6+8），
解得：x=247，
∴DE＝AE=247，BE＝AB﹣AE=187，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：BD=BE2+DE2=(187)2+(247)2=307；
（3）依题意得，当AD是∠BAC角平分线时，四边形AEDF是菱形．
点B作AC的垂线段交于点G，
又∵∠BAG＝60°，
∴AG＝3，CG＝5，BG=33，
由勾股定理得：BC=213，
∵AD平分∠BAC，
∴S▲ABD：S▲ACD＝AB：AC＝BD：CD，
即BD：CD＝3：4．
∴BD=6137，
故答案为：6137．
12．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．

【分析】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．
（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解析】证明：（1）连接AC，如图1：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，
∵AF＝AE，
∴AC⊥EF，
∴EG∥BD．
又∵菱形ABCD中，ED∥BG，
∴四边形EGBD是平行四边形．
（2）过点A作AH⊥BC于H．

∵∠FGB＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，
∵GB＝AE＝2，
∴AB＝AD＝4，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，
∴AH＝23，BH＝2．
∴GH＝4，
∴AG=AH2+GH2=16+12=27．
13．如图1，AC是菱形ABCD的对角线，E是BC上的点，连接AE且AE＝AC．
（1）若∠D＝30°，BE＝4，求AC的长；
（2）如图2，过C作CH⊥AB于H，F为CD上一点，连接AF，若∠DAF＝∠BAE，DF＝AH，求证：3AH＝AB．

【分析】（1）由菱形的性质得出∠B＝30°，∠ACB＝∠ACD=12∠BCD＝75°，过点E作EF⊥AB于F，则∠BEF＝60°，由AE＝AC，得出∠ACE＝∠AEC＝75°，则∠AEF＝180°﹣∠AEC﹣∠BEF＝45°，推出△AEF是等腰直角三角形，得出AE=2EF，由含30°直角三角形的性质得出EF=12BE＝2，即可得出结果；
（2）在线段AB上取点G，使BG＝BE，由ASA证得△BAE≌△DAF，得出BE＝DF，AE＝AF，推出BG＝DF，由SAS证得△CBG≌△BAE，得出CG＝AE＝AC，由等腰三角形的性质得出AH＝HG，证出AH＝HG＝BG，即可得出结论．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝30°，
∴∠B＝30°，∠ACB＝∠ACD=12∠BCD=12×（180°﹣30°）＝75°，
过点E作EF⊥AB于F，如图1所示：
则∠BEF＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝75°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEC﹣∠BEF＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=2EF，
在Rt△BEF中，EF=12BE=12×4＝2，
∴AC＝AE＝22；
（2）证明：在线段AB上取点G，使BG＝BE，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD＝BC，
在△BAE和△DAF中，∠B=∠DAB=AD∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴BE＝DF，AE＝AF，
∴BG＝DF，
在△CBG和△BAE中，BG=BE∠B=∠BBC=AB，
∴△CBG≌△BAE（SAS），
∴CG＝AE＝AC，
∵CH⊥AB，
∴AH＝HG，
∵AH＝DF，BG＝DF，
∴AH＝HG＝BG，
∴3AH＝AB．


14．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE=3，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．

【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△ADF即可；
（2）证△ABD是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AF＝AE，
在△ABE和△ADF中，AB=AD∠A=∠AAE=AF，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝33BE＝1，AB＝2AE＝2，
∴AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×3=23．

15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．
（1）求证：CE＝AF；
（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度数．

【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°和等边△BEF，可以证明△FAB≌△ECB，进而可得CE＝AF；
（2）延长FA交BE于点G，结合（1）根据三角形的外角定义可得∠BAD＝∠BFE+∠DPE+∠CBE，即可求出∠CBE的度数．
【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵△BEF是等边三角形，
∴FB＝EB，∠FBE＝60°，
∴∠FBE＝∠ABC＝60°，
∴∠FBA＝∠EBC，
∴△FAB≌△ECB（SAS），
∴CE＝AF；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
延长FA交BE于点G，

根据三角形的外角定义可知：
∠GAD＝∠AFP+∠APF，
∠BAG＝∠AFB+∠ABF，
∴∠GAD+∠BAG＝∠AFP+∠APF+∠AFB+∠ABF，
∵∠APF＝∠DPE＝46°，∠ABF＝∠CBE，
∴∠BAD＝∠BFE+∠DPE+∠CBE，
即120°＝60°+46°+∠CBE，
∴∠CBE＝14°．
答：∠CBE的度数为14°．
16．已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD＝30°，求CE的长．

【分析】（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO＝CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE＝∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等；
（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO＝30°，然后求出∠AEF＝90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCFAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD＝60°，
∴∠DAO=12∠BAD=12×60°＝30°，
∵∠EOD＝30°，
∴∠AOE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AEF＝180°﹣∠DAO﹣∠AOE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∵菱形的边长为2，∠DAO＝30°，
∴OD=12AD=12×2＝1，
∴AO=AD2−OD2=22−12=3，
∴AE＝CF=3×32=32，
∵菱形的边长为2，∠BAD＝60°，
∴高EF＝2×32=3，
在Rt△CEF中，CE=EF2+CF2=(32)2+(3)2=212．

17．如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交AE于点F，连接BE．
（1）如图1，求证：∠AFD＝∠EBC；
（2）如图2，若DE＝EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度数．

【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得出∠DAB的度数．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴DC＝CB，
在△DCE和△BCE中
DC=CB∠DCE=∠BCEEC=EC，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠EDC＝∠EBC，
由DC∥AB得，∠EDC＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠EBC；
（2）解：∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
设∠EDC＝∠ECD＝∠CBE＝x°，则∠CBF＝2x°，
由BE⊥AF得：2x+x＝90°，
解得：x＝30°，
∴∠DAB＝60°．
18．如图，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，连结AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF为菱形，∠AFC＝120°，BE＝CE＝4，求▱ABCD的面积．

【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，再由BE＝DF可得AF与EC平行且相等，进而可以证明四边形AECF是平行四边形；
（2）根据四边形AECF为菱形，∠AFC＝120°，可以证明△ABE是等边三角形，过点A作AG⊥BE于点G，根据特殊角三角函数即可求出AG的长，进而求出▱ABCD的面积．
【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴EC＝AF，
又∵EC∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形AECF为菱形，
∴AE＝EC，∠AEC＝∠AFC＝120°，
∴∠AEB＝60°，
∵BE＝CE＝4，
∴AE＝BE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
过点A作AG⊥BE于点G，

∴AG＝AB•sin∠B＝23，
∵BC＝BE+EC＝8，
∴▱ABCD的面积＝BC•AG＝8×23=163．
19．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，且CE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△ADF．
（2）若∠BAE＝∠EAF＝40°，求∠AEB的度数．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ADF；
（2）由（1）可得：∠BAE＝∠DAF＝40°，由菱形的性质可求∠B＝60°，进而可求出∠AEB的度数．
【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中
AB=AD∠B=∠DBE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
（2）∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝40°，
∴∠BAD＝∠BAE+∠DAF+∠EAF＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝80°．
20．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝5cm，点E从点A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF；
（2）四点A、C、F、E能否组成平行四边形？若能，求出t值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）由题意得到BG＝DG，再由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；
（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EDG＝∠FBG，∠DEG＝∠BFG，
∵G为BD的中点，
∴BG＝DG，
∵在△GDE和△GBF中，
∠EDG=∠FBG∠DEG=∠BFGBG=DG，
∴△DGE≌△BGF（AAS）；
（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝5﹣2t（cm），
∵AD∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AFCE是平行四边形，
即t＝5﹣2t，
解得：t=53；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣5（cm），
∵AD∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝2t﹣5，
解得：t＝5；
综上可得：当t=53或5s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
21．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．
（1）求证：△ACE≌△CBF；
（2）求∠CGE的度数．

【分析】（1）先判断出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，再求出CE＝BF，然后利用“边角边”证明即可；
（2）由（1）知△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，根据全等三角形对应角相等可得∠E＝∠F，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE＝∠ABC即可．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，
∵BE＝AF，
∴BE+BC＝AF+AB，
即CE＝BF，
在△ACE和△CBF中，CE=BF∠ACB=∠ABCBC=AC，
∴△ACE≌△CBF（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，
∴∠E＝∠F，
∵∠BAE＝∠FAG，
∴∠E+∠BAE＝∠F+∠FAG，
∴∠CGE＝∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CGE＝60°．
22．已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P为射线AC上一点，E为射线BC上一点，且PD＝PE．
（1）如图1，①求证：∠DPE＝60°．
②求证：AP＝CE，
③求证：CP+CE＝CD；
（2）在图2中，（1）中的三个结论是否仍都成立？请说明理由．

【分析】（1）①只需说明∠CEP＝∠CDP即可；②连接DE，证明△ADP与△CDE全等即可；③延长CE至F，使EF＝CP，连接DF，依次去证明△ADP≌△CDE，△DPC≌△DEF即可．
（2）①②证明方法与（1）大致相同，③延长CD至F，使DF＝CP，连接EF，然后依次去证明△ADP≌△CDE，△EPC≌△EDF即可．
【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BCA＝∠DCA＝∠DAC＝∠BAC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC与△ADC均为等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCA＝∠DAC＝∠BAC＝60°，AC＝CD＝DA＝AB＝BC，
②如图1，连接BP，则BP＝DP，∠CBP＝∠CDP，

∵PD＝PE，
∴PB＝PE，
∴∠CBP＝∠CEP，
∴∠CEP＝∠CDP，
∴∠DPE＝∠DCE＝180°﹣∠BCD＝60°．
连接DE，则△PDE是等边三角形，
∴DE＝DP，∠PDE＝60°＝∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDE，
在△ADP和△CDE中：
AD=CD∠ADP=∠CDEDP=DE
∴△ADP≌△CDE（SAS），
∴AP＝CE．
③延长CE至F，使EF＝CP，连接DF．
∵∠PDE＝60°，∠PCE＝120°，
∴∠PDE+∠PCE＝180°，
∴∠DPC+∠DEC＝180°，
∵∠DEC+∠DEF＝180°，
∴∠DPC＝∠DEF，
在△DPC和△DEF中：
DP=DE∠DPC=∠DEFPC=EF
∴△DPC≌△DEF（SAS），
∴DC＝DF，
∵∠DCE＝60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴DC＝CF＝CE+EF＝CE+CP．
（2）结论①②仍然成立，结论③变为CE＝CP+CD．
①如图2，连接PB，则PB＝PD，∠PBC＝∠PDC，
∵PD＝PE，
∴PB＝PE，
∴∠PBC＝∠PCE＝∠PDC，
∴∠DPE＝∠DCE＝60°．

②连接DE，则△PDE是等边三角形，
∴DP＝DE＝PE，∠PDE＝60°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADP＝∠CDE，
在△ADP和△CDE中：
AD=CD∠ADP=∠CDEDP=DE
∴△ADP≌△CDE（SAS），
∴AP＝CE．
③延长CD至F，使DF＝CP，连接EF．
∵∠DEP＝60°，∠DCP＝∠DCE+∠PCE＝∠ACB+∠DCE＝120°，
∴∠DEP+∠DCP＝180°，
∴∠CDE+∠CPE＝180°，
∵∠CDE+∠EDF＝180°，
∴∠EDF＝∠EPC，
在△EPC和△EDF中：
EP=ED∠EPC=∠EDFPC=DF
∴△EPC≌△EDF（SAS），
∴EF＝EC，
∵∠ECF＝60°，
∴△ECF为等边三角形，
∴CE＝CF＝CD+DF＝CD+CP．
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．

（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG=12∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，

∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵BE=CD∠BEM=∠DCMEM=CM，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝265，
∴DM=22BD=130．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH=12CF＝3，
∴MH=12CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM=112+32=130．

24．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当▱ABCD满足　AB⊥BD　条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；
②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．

【分析】（1）连接AC，由平行四边形的性质和已知条件得出E、F分别为OB、OD的中点，证出GF为△AOD的中位线，由三角形中位线定理得出GF∥OA，GF=12OA，同理：EH∥OC，EH=12OC，得出EH＝GF，EH∥GF，即可得出结论；
（2）连接GH，证出四边形ABHG是平行四边形，再证明GH⊥EF，即可得出四边形GEHF是菱形；
（3）①由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，得出GH＝AB，证出GH＝EF，即可得出四边形GEHF是矩形；
②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，则AM∥GN，证出GN是△ADM的中位线，得出GN=12AM，证出∠BAM＝30°，由直角三角形的性质得出BM=12AB＝1，AM=3BM=3，得出GN=32，求出△EFG的面积=12EF×GN=32，即可得出结果．
【解析】（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴BD的中点在AC上，
∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，
∴E、F分别为OB、OD的中点，
∵G是AD的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF=12OA，
同理：EH∥OC，EH=12OC，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：
连接GH，如图2所示：
则AG＝BH，AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB∥GH，
∵AB⊥BD，
∴GH⊥BD，
∴GH⊥EF，
∴四边形GEHF是菱形；
故答案为：AB⊥BD；
（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：
由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵BD＝2AB，
∴AB=12BD＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形；
②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：
则AM∥GN，
∵G是AD的中点，
∴GN是△ADM的中位线，
∴GN=12AM，
∵∠ABD＝120°，
∴∠ABM＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM=12AB＝1，AM=3BM=3，
∴GN=32，
∵BD＝2AB＝4，
∴EF=12BD＝2，
∴△EFG的面积=12EF×GN=12×2×32=32，
∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积=3．



25．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°．
（1）如图①，若点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF．求证：△CEF是等边三角形；
（2）小明发现若点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF＝60°时△CEF也是等边三角形，并通过画图验证了猜想；小丽通过探索，认为应该以CE＝EF为突破口构造两个三角形全等；小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM＝BE，连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形，请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程．

【分析】（1）想办法证明△BEC≌△AFC（SAS），即可解决问题；
（2）想办法证明△ECM≌△FEA（ASA），即可解决问题；
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴∠B＝∠CAF＝∠ACB＝60°，
∵BC＝AC，BE＝AF，
∴△BEC≌△AFC（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△ECF是等边三角形．
（2）证明：∵BE＝BM，∠B＝60°，
∴△BEM是等边三角形，
∴∠EMB＝∠BEM＝60°，∠EMC＝∠AEM＝120°，
∵AB＝BC，∠EAF＝120°，
∴AE＝CM，∠EAF＝∠EMC，
∵∠FEC＝60°，
∴∠AEF+∠CEM＝60°，
∵∠CEM+∠ECM＝60°，
∴∠AEF＝∠ECM，
∴△ECM≌△FEA（ASA），
∴EF＝EC，∵∠FEC＝60°，
∴△EFC是等边三角形．
26．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝3，求AG的长．

【分析】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．
（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解析】（1）证明：连接AC，如图1：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，
∵AF＝AE，
∴AC⊥EF，
∴EG∥BD．
又∵菱形ABCD中，ED∥BG，
∴四边形EGBD是平行四边形．
（2）解：过点A作AH⊥BC于H．
∵∠FGB＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，
∵GB＝AE＝3，
∴AB＝AD＝6，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，
∴AH＝33，BH＝3．
∴GH＝6，
在Rt△AGH中，
根据勾股定理得，AG=AH2+GH2=37．


27．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．

【分析】（1）（1）先求证AB＝AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4＝60°，AC＝AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE＝CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根据S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可解题；由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的周长会随着AE的变化而变化，求出当AE最短时，△CEF的周长即可．
【解析】解：（1）如图，连接AC，

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，
∠1=∠3AB=AC∠ABC=∠4，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF；
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝2，
S四边形AECF＝S△ABC=12BC⋅AH=12BC⋅AB2−BH2=43．
△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+EF＝BC+EF＝BC+AE
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小＝4+AB2−BH2=4+23．