高考数学(文数)一轮复习考点测试39《空间几何体的表面积和体积》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试39《空间几何体的表面积和体积》（教师版），共16页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

eq \a\vs4\al(高考中本考点常见题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度)
考纲研读
eq \a\vs4\al(球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式)
一、基础小题
1．若球的半径扩大为原来的2倍，则它的体积扩大为原来的( )
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
答案 C
解析 设原来球的半径为r，则现在球的半径为2r，则V原＝eq \f(4,3)πr3，V现＝eq \f(4,3)π·(2r)3，
故V现＝8V原．故选C．
2．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( )
A．8π B．6π C．4π D．π
答案 C
解析 设正方体的棱长为a，则a3＝8，∴a＝2．而此正方体的内切球直径为2，
∴S表＝4πr2＝4π．
3．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为eq \f(\r(3),2)，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )
A．2eq \r(3) B．4eq \r(3) C．8 D．4
答案 D
解析 由三视图知，原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边长为1，斜高为1，所以这个几何体的表面积为S＝eq \f(1,2)×1×1×8＝4．
4．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱的体积为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \r(3) C．2 D．4
答案 B
解析 由侧视图可知直三棱柱底面正三角形的高为eq \r(3)，容易求得正三角形的边长为2，所以底面正三角形面积为eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3)．再由侧视图可知直三棱柱的高为1，所以此三棱柱的体积为eq \r(3)×1＝eq \r(3)．故选B．
5．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是( )
A．eq \f(a,2) B．eq \f(\r(3πa),3π) C．eq \f(2\r(3πa),3π) D．eq \f(2\r(3)a,3π)
答案 C
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知，2πr＝πl，∴l＝2r，则圆锥的表面积S表＝πr2＋eq \f(1,2)π(2r)2＝a，∴r2＝eq \f(a,3π)，∴2r＝eq \f(2\r(3πa),3π)．
6．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( )
A．10 cm3 B．20 cm3 C．30 cm3 D．40 cm3
答案 B
解析 由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱ABC－A1B1C1截去一个三棱锥B1－ABC，
则该几何体的体积为V＝eq \f(1,2)×3×4×5－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×3×4×5＝20(cm3)．故选B．
7．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
A．4 B．eq \f(14,3) C．eq \f(16,3) D．6
答案 B
解析 依题意，所求几何体是一个四棱台，其中上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，高是2，因此其体积等于eq \f(1,3)×(12＋22＋eq \r(1×4))×2＝eq \f(14,3)．故选B．
8．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为( )
A．24＋(eq \r(2)－1)π B．24＋(2eq \r(2)－2)π C．24＋(eq \r(5)－1)π D．24＋(2eq \r(3)－2)π
答案 B
解析 如图，由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体所得．
由图中知圆锥的半径为1，母线为eq \r(2)，
该几何体的表面积为S＝6×22－2π×12＋2×eq \f(1,2)×2π×1×eq \r(2)＝24＋(2eq \r(2)－2)π，故选B．
9．已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为( )
A．10＋π B．2＋eq \f(π,2) C．2＋eq \f(π,12) D．2＋eq \f(π,4)
答案 D
解析 根据几何体的三视图还原其直观图如图所示，显然可以看到该几何体是一个底面长为2，宽为1，高为1的正棱柱与一个底面半径为1，高为1的eq \f(1,4)圆柱组合而成，其体积为V＝2×1×1＋eq \f(1,4)×π×12×1＝2＋eq \f(π,4)，故选D．
10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．
(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
答案 3
解析 由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，
圆台内水的体积为V＝eq \f(1,3)πh(req \\al(2,中)＋req \\al(2,下)＋r中r下)＝eq \f(π,3)×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为eq \f(V,142π)＝eq \f(588π,196π)＝3(寸)．
11．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
答案 eq \f(\r(2),6)
解析 易知该几何体是正四棱锥．连接BD，
设正四棱锥P－ABCD，由PD＝PB＝1，BD＝eq \r(2)，则PD⊥PB．
设底面中心O，则四棱锥高PO＝eq \f(\r(2),2)，则其体积是V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×12×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),6)．
12．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB⊥AD，AB＝AD＝1，BC＝CD＝5，以直线AB为轴，将四边形ABCD旋转一周，则所得旋转体的体积为________．
答案 12π
解析 由题意，该旋转体是一圆台内部挖去一个圆锥，如图1所示：
如图2，过点C作CE⊥AB，连接BD．在等腰直角三角形ABD中，BD＝eq \r(AD2＋AB2)＝eq \r(2)．
在△BDC中，CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcs∠DBC，
所以25＝2＋25－10eq \r(2)cs∠DBC，所以cs∠DBC＝eq \f(\r(2),10)，所以sin∠DBC＝eq \r(1－cs2∠DBC)＝eq \f(7\r(2),10)．
因为∠CBE＝180°－∠ABD－∠DBC＝135°－∠DBC，所以sin∠CBE＝sin(135°－∠DBC)＝eq \f(\r(2),2)cs∠DBC＋eq \f(\r(2),2)sin∠DBC＝eq \f(4,5)．在Rt△BCE中，CE＝BCsin∠CBE＝4，所以BE＝eq \r(BC2－CE2)＝3，AE＝4．所以圆台上、下底面圆的面积分别为S上＝π，S下＝16π，圆台体积V1＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))·AE＝28π，圆锥体积V2＝eq \f(1,3)×16π×3＝16π，所以旋转体体积V＝V1－V2＝12π．
二、高考小题
13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A．90π B．63π C．42π D．36π
答案 B
解析 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V＝eq \f(1,2)×32×π×14＝63π．故选B．
14．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 C
解析 由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上、下底边的长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm，直四棱柱的高为2 cm．故直四棱柱的体积V＝eq \f(1＋2,2)×2×2＝6 cm3．
15．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12eq \r(2)π B．12π C．8eq \r(2)π D．10π
答案 B
解析 根据题意，可得截面是边长为2eq \r(2)的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是eq \r(2)的圆，且高为2eq \r(2)，所以其表面积为S＝2π(eq \r(2))2＋2π×eq \r(2)×2eq \r(2)＝12π．
故选B．
16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A．8 B．6eq \r(2) C．8eq \r(2) D．8eq \r(3)
答案 C
解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，
因为AB＝2，eq \f(AB,BC1)＝tan30°，所以BC1＝2eq \r(3)，从而求得CC1＝eq \r(BC\\al(2,1)－BC2)＝2eq \r(2)，
所以该长方体的体积为V＝2×2×2eq \r(2)＝8eq \r(2)．故选C．
17．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3) B．18eq \r(3) C．24eq \r(3) D．54eq \r(3)
答案 B
解析 如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM⊥平面ABC时，
三棱锥D－ABC体积最大，此时，OD＝OB＝R＝4．
∵S△ABC＝eq \f(\r(3),4)AB2＝9eq \r(3)，∴AB＝6，∵点M为三角形ABC的重心，∴BM＝eq \f(2,3)BE＝2eq \r(3)，
∴在Rt△OMB中，有OM＝eq \r(OB2－BM2)＝2．∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6，
∴(V三棱锥D－ABC)max＝eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3)．故选B．
18．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．
答案 8π
解析 如图所示，∠SAO＝30°，∠ASB＝90°，
又S△SAB＝eq \f(1,2)SA·SB＝eq \f(1,2)SA2＝8，解得SA＝4，所以SO＝eq \f(1,2)SA＝2，AO＝eq \r(SA2－SO2)＝2eq \r(3)，
所以该圆锥的体积为V＝eq \f(π,3)·OA2·SO＝8π．
19．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．
答案 eq \f(1,12)
解析 由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形，其边长为eq \f(\r(2),2)，即底面面积为eq \f(1,2)，
由正方体的性质知，四棱锥的高为eq \f(1,2)．故四棱锥M－EFGH的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,12)．
20．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
答案 eq \f(4,3)
解析 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为eq \r(2)，
高为1，∴其体积为eq \f(1,3)×(eq \r(2))2×1＝eq \f(2,3)，∴多面体的体积为eq \f(4,3)．
三、模拟小题
21．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n个面是矩形，体积为V，则( )
A．n＝4，V＝10 B．n＝5，V＝12 C．n＝4，V＝12 D．n＝5，V＝10
答案 D
解析 由三视图可知，该几何体为直五棱柱，其直观图如图所示，故n＝5，
体积V＝2×22＋eq \f(1,2)×2×1＝10．故选D．
22．已知圆柱的高为2，底面半径为eq \r(3)，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )
A．4π B．eq \f(16π,3) C．eq \f(32π,3) D．16π
答案 D
解析 如图，可知球的半径R＝eq \r(OH2＋AH2)＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，
进而这个球的表面积为4πR2＝16π．故选D．
23．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．5π＋18 B．6π＋18 C．8π＋6 D．10π＋6
答案 C
解析 该几何体的表面积是由球的表面积、球的大圆面积、半个圆柱的侧面积以及圆柱的纵切面面积组成．从而该几何体的表面积为4π×12＋π×12＋eq \f(1,2)×2π×3＋3×2＝8π＋6．故选C．
24．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )
A．eq \f(8,3) B．3 C．8 D．eq \f(5,3)
答案 A
解析 根据三视图还原该几何体的直观图，如图中四棱锥P－ABCD所示，
则VP－ABCD＝VP－AFGD＋(VAFB－DEC－VG－ECD)＝eq \f(1,3)×eq \f(1＋2×2,2)×1＋eq \f(1,2)×1×2×2－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×2×1＝eq \f(8,3)．
故选A．
25．我国古代的《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为“刍童”．如图所示为一个“刍童”的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该“刍童”的表面积为( )
A．12eq \r(5) B．40 C．16＋12eq \r(3) D．16＋12eq \r(5)
答案 D
解析 易得侧面梯形的高为eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，
所以一个侧面梯形的面积为eq \f(1,2)×(2＋4)×eq \r(5)＝3eq \r(5)．
故所求为4×3eq \r(5)＋2×(2×4)＝12eq \r(5)＋16．故选D．
26．(2018·福建质检)已知底面边长为4eq \r(2)，侧棱长为2eq \r(5)的正四棱锥S－ABCD内接于球O1．若球O2在球O1内且与平面ABCD相切，则球O2的直径的最大值为________．
答案 8
解析 如图，正四棱锥S－ABCD内接于球O1，SO1与平面ABCD交于点O．
在正方形ABCD中，AB＝4eq \r(2)，AO＝4．在Rt△SAO中，SO＝eq \r(SA2－OA2)＝eq \r(2\r(5)2－42)＝2．
设球O1的半径为R，则在Rt△OAO1中，(R－2)2＋42＝R2，解得R＝5，所以球O1的直径为10．当球O2与平面ABCD相切于点O且与球O1相切时，球O2的直径最大．又因为SO＝2，所以球O2的直径的最大值为10－2＝8．
一、高考大题
1．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
解 (1)由PO1＝2知，O1O＝4PO1＝8．
因为A1B1＝AB＝6，
所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝eq \f(1,3)·A1Beq \\al(2,1)·PO1＝eq \f(1,3)×62×2＝24(m3)．
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m，则0因为在Rt△PO1B1中，O1Beq \\al(2,1)＋POeq \\al(2,1)＝PBeq \\al(2,1)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))2＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．
于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋eq \f(1,3)a2·h＝eq \f(13,3)a2h＝eq \f(26,3)(36h－h3)，0从而V′＝eq \f(26,3)(36－3h2)＝26(12－h2)．令V′＝0，得h＝2eq \r(3)或h＝－2eq \r(3)(舍)．
当00，V是单调增函数；
当2eq \r(3)故h＝2eq \r(3)时，V取得极大值，也是最大值．
因此，当PO1＝2eq \r(3) m时，仓库的容积最大．
2．如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝eq \f(2,3)DA，求三棱锥Q－ABP的体积．
解 (1)证明：由已知可得∠BAC＝90°，即AB⊥AC．
又AB⊥DA，且AC∩DA＝A，所以AB⊥平面ACD．
又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝AC＝3，DA＝3eq \r(2)．
又BP＝DQ＝eq \f(2,3)DA，所以BP＝2eq \r(2)．
作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊eq \f(1,3)DC．
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1．
因此，三棱锥Q－ABP的体积为V三棱锥Q－ABP＝eq \f(1,3)×QE×S△ABP＝eq \f(1,3)×1×eq \f(1,2)×3×2eq \r(2)sin45°＝1．
二、模拟大题
3．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解 (1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝eq \r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1．
故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×eq \r(2)＋2×eq \f(1,2)×(eq \r(2))2＝22＋4eq \r(2)(cm2)，
所求几何体的体积V＝23＋eq \f(1,2)×(eq \r(2))2×2＝10(cm3)．
4．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，各侧面是全等的等腰梯形，且各侧面的面积之和等于两底面面积之和，求棱台的体积．
解 如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，
又C′B′＝20 cm，CB＝30 cm，
所以S侧＝3×eq \f(1,2)×(20＋30)×DD′＝75DD′．
S上＋S下＝eq \f(\r(3),4)×(202＋302)＝325eq \r(3)(cm2)．
由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325eq \r(3)，
所以DD′＝eq \f(13,3)eq \r(3)(cm)，
又因为O′D′＝eq \f(\r(3),6)×20＝eq \f(10\r(3),3)(cm)，OD＝eq \f(\r(3),6)×30＝5eq \r(3)(cm)，
所以棱台的高h＝O′O＝eq \r(D′D2－OD－O′D′2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13\r(3),3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5\r(3)－\f(10\r(3),3)))2)＝4eq \r(3)(cm)，
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
V＝eq \f(h,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))＝eq \f(4\r(3),3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(325\r(3)＋\f(\r(3),4)×20×30))＝1900(cm3)．
故棱台的体积为1900 cm3．