高考数学(文数)一轮复习考点测试47《双曲线》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试47《双曲线》（教师版），共11页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试47　双曲线一、基础小题1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为(　　)A．  B．  C．  D．答案　B解析　由题意可得＝，则离心率e＝＝＝，故选B．2．已知双曲线－＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)A．±  B．±  C．±  D．±答案　D解析　由m2＋16＝52，解得m＝3(m＝－3舍去)．所以a＝5，b＝3，从而±＝±，故选D．3．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　)A．－＝1  B．－＝1(x≥4)  C．－＝1  D．－＝1(x≥3)答案　D解析　由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C；又c＝5，a＝3，∴b2＝c2－a2＝16．∵焦点在x轴上，∴轨迹方程为－＝1(x≥3)．故选D．4．双曲线－y2＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)A．  B．  C．1  D．答案　C解析　焦点F(，0)到渐近线x±y＝0的距离d＝＝1，故选C．5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)A．－＝1  B．－＝1    C．－＝1  D．－＝1答案　A解析　∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝．①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b．②由①②解得a＝2，b＝，则C的方程为－＝1．故选A．6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝(　　)A．3  B．4  C．5  D．6答案　A解析　如图，设MN的中点为C，则由对称性知F1，F2分别为线段AM，BM的中点，所以|CF1|＝|AN|，|CF2|＝|BN|．由双曲线的定义，知|CF1|－|CF2|＝2a＝(|AN|－|BN|)＝6，所以a＝3，故选A．7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．答案　x2－＝1解析　由题意得解得则b＝，故所求方程为x2－＝1．8．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为________．答案　17解析　解法一：∵实轴长2a＝8，半焦距c＝6，∴||PF1|－|PF2||＝8．∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或|PF2|＝17．又∵|PF2|的最小值为c－a＝6－4＝2，∴|PF2|＝17．解法二：由题知，若P在右支上，则|PF1|≥2＋8＝10>9，∴P在左支上．∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝9＋8＝17．二、高考小题9．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．y＝±x  B．y＝±x       C．y＝±x  D．y＝±x答案　A解析　∵e＝＝，∴＝＝e2－1＝3－1＝2，∴＝．因为该双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A．10．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)A．  B．3  C．2  D．4答案　B解析　由题意分析知，∠FON＝30°．所以∠MON＝60°，又因为△OMN是直角三角形，不妨取∠NMO＝90°，则∠ONF＝30°，于是FN＝OF＝2，FM＝OF＝1，所以|MN|＝3．故选B．11．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　) A．  B．2  C．  D．答案　C解析　由题可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a．在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝＝，∵在△PF1F2中，cos∠PF2O＝＝，∴＝⇒c2＝3a2，∴e＝．故选C．12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)A．－＝1  B．－＝1      C．－＝1  D．－＝1答案　C解析　∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，由题意可设A(2a，3a)，B(2a，－3a)，∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9．∴双曲线的方程为－＝1，故选C． 13．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．答案　2解析　双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则F(c，0)到这条渐近线的距离为＝c，∴b＝c，∴b2＝c2，又b2＝c2－a2，∴c2＝4a2，∴e＝＝2．14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．答案　解析　如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，∴点A到l的距离d＝．又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b，∴△MAN为等边三角形，∴d＝|MA|＝b，即＝b，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝．三、模拟小题15．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)A．  B．  C．2  D．答案　A解析　连接OM．由题意知OM⊥PF，且|FM|＝|PM|，∴|OP|＝|OF|，∴∠OFP＝45°，∴|OM|＝|OF|·sin45°，即a＝c·，∴e＝＝．故选A．16．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于(　　)A．4  B．3  C．2  D．1答案　D解析　连接PF2，OT，则有|MO|＝|PF2|＝(|PF1|－2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3，|MT|＝|PF1|－|F1T|＝|PF1|－＝|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝|PF1|－3－|PF1|－4＝1，故选D．17．已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(　　)A．－x2＝1  B．－y2＝1      C．－＝1  D．－＝1答案　D解析　设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，而抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，即F(2，0)，∴4＝a2＋b2．又圆F：(x－2)2＋y2＝2与双曲线C的渐近线y＝±x相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为＝，∴a2＝b2＝2，故双曲线C的方程为－＝1．故选D．18．已知双曲线－＝1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为(　　)A．4＋  B．4(1＋)      C．2(＋)  D．＋3答案　B解析　由题意知F(，0)，设左焦点为F0，则F0(－，0)，由题意可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝＋＋2×2＝4＋4＝4(＋1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“＝”，故选B．  19．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±2x  B．y＝±x       C．y＝±x  D．y＝±x答案　D解析　不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝．由余弦定理，可得＝，c2＝3a2，b2＝c2－a2＝2a2⇒＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选D．20．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝(　　)A．1  B．  C．  D．答案　B解析　如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a．又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝，所以S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×2a×4a×＝2a2．设|BF2|＝m，由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|．又知∠BAF2＝，所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，所以S△ABF2＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2，所以＝＝，故选B．21．)已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)A．[，＋]  B．[2，＋1]    C．[2，＋]  D．[，＋1]答案　D解析　如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，由双曲线定义可知r2－r1＝2a　①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴r＋r＝4c2　②，由①②得r1r2＝2(c2－a2)，又知S△MNF＝2S△MOF．∴r1r2＝2·c2·sin2β，∴c2－a2＝c2·sin2β，∴e2＝，又∵β∈，，∴sin2β∈，，∴e2＝∈[2，(＋1)2]．又e>1，∴e∈[，＋1]，故选D．22．已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于________．答案　4解析　由题意知a＝1，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|．由题意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，∴|BA|＝|BF1|，∴△BAF1为等腰三角形，∵∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，∴△BAF1为等腰直角三角形．∴|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2．∴S△F1AB＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知∀m∈R，直线l：y＝x＋m与双曲线C：－＝1(b>0)恒有公共点．(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足＝，求双曲线C的方程．解　(1)联立消去y，整理得(b2－2)x2－4mx－2(m2＋b2)＝0．当b2＝2，m＝0时，易知直线l是双曲线C的一条渐近线，不满足题意，故b2≠2，易得e≠．当b2≠2时，由题意知Δ＝16m2＋8(b2－2)(m2＋b2)≥0，即b2≥2－m2，故b2>2，则e2＝＝＝>2，e>．综上可知，e的取值范围为(，＋∞)．(2)由题意知F(c，0)，直线l：y＝x－c，与双曲线C的方程联立，得消去x，化简得(b2－2)y2＋2cb2y＋b2c2－2b2＝0，当b2＝2时，易知直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与双曲线C只有一个交点，不满足题意，故b2≠2．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，即因为＝，所以y1＝y2，　③由①③可得y1＝，y2＝，代入②整理得5c2b2＝9(b2－2)(c2－2)，又c2＝b2＋2，所以b2＝7．所以双曲线C的方程为－＝1．2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B，D两点，已知A(1，0)，若·＝1，证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切．解　(1)依题意有＝，c－＝，∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴双曲线C的方程为x2－＝1．(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，由得2x2－2mx－m2－3＝0，∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，又∵·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，∴m＝0(舍)或m＝2，∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，∵·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，∴AD⊥AB，∴过A，B，D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴，∵|MA|＝|BD|，∴过A，B，D三点的圆与x轴相切．3．已知直线l：y＝x＋2与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1，3)．(1)求双曲线C的离心率；(2)设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，|BF|·|DF|＝17，试判断△ABD是否为直角三角形，并说明理由．解　(1)设B(x1，y1)，D(x2，y2)．把y＝x＋2代入－＝1，并整理得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝－．由M(1，3)为BD的中点，得＝＝1，即b2＝3a2，故c＝＝2a，所以双曲线C的离心率e＝＝2．(2)由(1)得C的方程为－＝1，A(a，0)，F(2a，0)，x1＋x2＝2，x1x2＝－<0，不妨设x1≤－a，x2≥a，则|BF|＝＝＝a－2x1，|DF|＝＝＝2x2－a，所以|BF|·|DF|＝(a－2x1)(2x2－a)＝2a(x1＋x2)－4x 1x2－a2＝5a2＋4a＋8，又|BF|·|DF|＝17，所以5a2＋4a＋8＝17，解得a＝1或a＝－(舍去)．所以A(1，0)，x1＋x2＝2，x1x2＝－．所以＝(x1－1，y1)＝(x1－1，x1＋2)，＝(x2－1，x2＋2)，·＝(x1－1)(x2－1)＋(x1＋2)(x2＋2)＝2x1x2＋(x1＋x2)＋5＝0，所以⊥，即△ABD为直角三角形．4．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．解　(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1．由题意有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝．(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①设＝(x3，y3)，＝λ＋，即又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2．化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2．②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2．由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4．