高考数学(文数)一轮复习考点测试12《函数与方程》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试12《函数与方程》（教师版），共11页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

eq \a\vs4\al(高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、高等难度)
考纲研读
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数
一、基础小题
1．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0，2 B．0，eq \f(1,2) C．0，－eq \f(1,2) D．2，－eq \f(1,2)
答案 C
解析 由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝eq \f(a,b)＝－eq \f(1,2).
2．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，1)
答案 C
解析 由题意知，f(－1)f(1)<0，即(1－a)(1＋a)<0，解得a<－1或a>1.
3．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
答案 C
解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A，B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．故选C.
4．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A．(0，0.5)，f(0.125) B．(0.5，1)，f(0.875)
C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.25)
答案 D
解析 ∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，
∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，
第二次应计算的函数值为f(0.25)，故选D.
5．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有
答案 C
解析 ∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1，2)上必有零点，
又∵函数为二次函数，∴有且只有一个零点．
6．函数f(x)＝3x＋x2－2的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 函数f(x)＝3x＋x2－2的零点个数即为函数y＝3x与函数y＝2－x2的图象的交点个数，由图象易知交点个数为2，则f(x)＝3x＋x2－2的零点个数为2，故选C.
7．已知自变量和函数值的对应值如下表：
则方程2x＝x2的一个根位于区间( )
A．(0.6，1.0) B．(1.4，1.8) C．(1.8，2.2) D．(2.6，3.0)
答案 C
解析 令f(x)＝2x，g(x)＝x2，因为f(1.8)＝3.482，g(1.8)＝3.24，f(2.2)＝4.595，
g(2.2)＝4.84.令h(x)＝2x－x2，则h(1.8)>0，h(2.2)<0.故选C.
8．函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间为( )
A．(－1，0) B．0，eq \f(1,2) C.eq \f(1,2)，1 D．1，eq \f(3,2)
答案 C
解析 ∵feq \f(1,2)＝eeq \f(1,2)－2<0，f(1)＝e－1>0，∴零点在eq \f(1,2)，1上，故选C.
9．设函数f(x)＝x3－3x，若函数g(x)＝f(x)＋f(t－x)有零点，则实数t的取值范围是( )
A．(－2eq \r(3)，2eq \r(3)) B．(－eq \r(3)，eq \r(3)) C．[－2eq \r(3)，2eq \r(3)] D．[－eq \r(3)，eq \r(3)]
答案 C
解析 由题意，g(x)＝x3－3x＋(t－x)3－3(t－x)＝3tx2－3t2x＋t3－3t，
当t＝0时，显然g(x)＝0恒成立；当t≠0时，只需Δ＝(－3t2)2－4×3t×(t3－3t)≥0，化简得t2≤12，即－2eq \r(3)≤t≤2eq \r(3)，t≠0.综上可知，实数t的取值范围是[－2eq \r(3)，2eq \r(3)]．
10．若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 A
解析 易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别在(a，b)和(b，c)内．
11．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．
答案 (－2，1)
解析 函数f(x)的大致图象如图所示，则f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得－2故实数a的取值范围是(－2，1)．
12．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x2＋2x－1|，x≤0，,2x－1＋a，x>0))有两个不同的零点，则实数a的取值范围为______．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))
解析 由于当x≤0时，f(x)＝|x2＋2x－1|的图象与x轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x－1＋a＝0有1个正根即可，变形为2x＝－2a，结合图形只需－2a>1⇒a<－eq \f(1,2)即可．
二、高考小题
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 C
解析 画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝－x并上下移动，可以发现当直线y＝－x过点A时，直线y＝－x与函数f(x)的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线y＝－x与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足－a≤1，即a≥－1，故选C.
14．已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．1
答案 C
解析 解法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(et＋e－t))－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝eq \f(1,2).故选C.
解法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2 eq \r(ex－1·e－x＋1)＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝eq \f(1,2).
若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C.
15．已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝eq \r(x)＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[2eq \r(3)，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞)
C．(0，eq \r(2)]∪[2eq \r(3)，＋∞) D．(0，eq \r(2)]∪[3，＋∞)
答案 B
解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,m)))2与g(x)＝eq \r(x)＋m的大致图象．分两种情形：
(1)当0＜m≤1时，eq \f(1,m)≥1，如图①，当x∈[0，1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意；

(2)当m＞1时，0＜eq \f(1,m)＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0，1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0，1]∪[3，＋∞)．故选B.
16．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4a－3x＋3a，x<0，,lgax＋1＋1，x≥0))(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,4))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))
答案 C
解析 要使函数f(x)在R上单调递减，
只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3－4a,2)≥0，,0因为方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，所以直线y＝2－x与函数y＝|f(x)|的图象有两个交点，如图所示．易知y＝|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为eq \f(1,a)－1，
又eq \f(1,3)≤eq \f(1,a)－1≤2，故由图可知，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在x>0时有一个交点；
当直线y＝2－x与y＝x2＋(4a－3)x＋3a(x<0)的图象相切时，
设切点为(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x0＝x\\al(2,0)＋4a－3x0＋3a，,－1＝2x0＋4a－3，))
整理可得4a2－7a＋3＝0，解得a＝1(舍)或a＝eq \f(3,4).而当3a≤2，即a≤eq \f(2,3)时，
直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点，综合可得a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))).
17．函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))在[0，π]的零点个数为________．
答案 3
解析 ∵0≤x≤π，∴eq \f(π,6)≤3x＋eq \f(π,6)≤eq \f(19π,6).由题可知，当3x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，3x＋eq \f(π,6)＝eq \f(3π,2)，
或3x＋eq \f(π,6)＝eq \f(5π,2)时，f(x)＝0.解得x＝eq \f(π,9)，eq \f(4π,9)，或eq \f(7π,9).
故函数f(x)＝cs3x＋eq \f(π,6)在[0，π]上有3个零点．
18．已知a>0，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2ax＋a，x≤0，,－x2＋2ax－2a，x>0.))若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．
答案 (4，8)
解析 设g(x)＝f(x)－ax＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋ax＋a，x≤0，,－x2＋ax－2a，x>0，))
方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解即函数y＝g(x)有两个零点，即y＝g(x)的图象与x轴有2个交点，满足条件的y＝g(x)的图象有以下两种情况：
情况一：
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ1＝a2－4a>0，,Δ2＝a2－8a<0，))∴4情况二：
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ1＝a2－4a<0，,Δ2＝a2－8a>0，))不等式组无解．
综上，满足条件的a的取值范围是(4，8)．
19．已知λ∈R，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ.))当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________；若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
答案 (1，4) (1，3]∪(4，＋∞)
解析 当λ＝2时，不等式f(x)<0等价于
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2，,x－4<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<2，,x2－4x＋3<0，))即2≤x<4或1易知函数y＝x－4(x∈R)有一个零点x1＝4，
函数y＝x2－4x＋3(x∈R)有两个零点x2＝1，x3＝3.
在同一坐标系中作出这两个函数的图象如图，要使函数f(x)恰有2个零点，则只能有以下两种情形：①两个零点为1，3，由图可知，此时λ>4.②两个零点为1，4，由图可知，此时1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1，3]∪(4，＋∞)．
三、模拟小题
20．函数f(x)＝ln 2x－1的零点所在区间为( )
A．(2，3) B．(3，4) C．(0，1) D．(1，2)
答案 D
解析 由f(x)＝ln 2x－1，得函数是增函数，并且是连续函数，f(1)＝ln 2－1<0，
f(2)＝ln 4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1，2)上，
故选D.
21．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2，x∈[0，1，,2－x2，x∈[－1，0，))且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－lg2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x)的周期是2，画出函数f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知f(x)与g(x)的图象有2个交点，故F(x)有2个零点．故选B.
22．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝eq \f(\r(2),2)x－1，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－lg8(x＋2)＝0的解的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 原方程等价于y＝f(x)与y＝lg8(x＋2)的图象的交点个数问题，由f(x＋2)＝f(2－x)，可知f(x)的图象关于x＝2对称，再根据f(x)是偶函数这一性质，可由f(x)在[－2，0]上的解析式，作出f(x)在(0，2)上的图象，进而作出f(x)在(－2，6)上的图象，如图所示．
再在同一坐标系下，画出y＝lg8(x＋2)的图象，注意其图象过点(6，1)，由图可知，两图象在区间(－2，6)内有三个交点，从而原方程有三个根，故选C.
23．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－a，x≤0，,2x－a，x>0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1] B．[1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，1]
答案 A
解析 由于x≤0时，f(x)＝ex－a在(－∞，0]上单调递增，x>0时，f(x)＝2x－a在(0，＋∞)上也单调递增，而函数f(x)在R上有两个零点，所以当x≤0时，f(x)＝ex－a在(－∞，0]上有一个零点，即ex＝a有一个根．因为x≤0，00时，f(x)＝2x－a在(0，＋∞)上有一个零点，即2x＝a有一个根．因为x>0，2x>0，所以a>0.所以函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(0，1]，故选A.
24．已知定义在[－2，2]上的函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，－2≤x≤－1，,ln x＋2，－1A．0，eq \f(1,e－1) B．0，eq \f(1,3e) C.eq \f(ln 2,2)，eq \f(1,e) D.eq \f(2ln 2,3)，＋∞
答案 C
解析 ∵g(x)的图象与x轴有3个不同的交点，∴y＝f(x) 与y＝a(x＋2)的图象有3个不同的交点．作出y＝f(x) 与y＝a(x＋2)的图象，如图所示，易知直线y＝a(x＋2)过定点A(－2，0)，斜率为a.
当直线y＝a(x＋2)与y＝ln (x＋2)相切时是一个临界状态，
设切点为(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝y′＝\f(1,x0＋2)，,ax0＋2＝ln x0＋2，))解得x0＝e－2，a＝eq \f(1,e).
又B(2，ln 4)，kAB＝eq \f(ln 4,2－－2)＝eq \f(ln 2,2)，故eq \f(ln 2,2)≤a25．已知函数f(x)＝x2－3x＋eq \f(13,4)－8csπeq \f(1,2)－x，则函数f(x)在(0，＋∞)上的所有零点之和为( )
A．6 B．7 C．9 D．12
答案 A
解析 h(x)＝x2－3x＋eq \f(13,4)＝x－eq \f(3,2)2＋1的图象关于x＝eq \f(3,2)对称，设函数g(x)＝8csπeq \f(1,2)－x.
由πeq \f(1,2)－x＝kπ，可得x＝eq \f(1,2)－k(k∈Z)，令k＝－1可得x＝eq \f(3,2)，所以函数g(x)＝8csπeq \f(1,2)－x的图象也关于x＝eq \f(3,2)对称．当x＝eq \f(1,2)时，heq \f(1,2)＝226．已知函数f(x)对任意的x∈R，都有feq \f(1,2)＋x＝feq \f(1,2)－x，函数f(x＋1)是奇函数，当－eq \f(1,2)≤x≤eq \f(1,2)时，f(x)＝2x，则方程f(x)＝－eq \f(1,2)在区间[－3，5]内的所有根的和为________．
答案 4
解析 ∵函数f(x＋1)是奇函数，∴函数f(x＋1)的图象关于点(0，0)对称，把函数f(x＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f(x)的图象，即函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(2－x)＝－f(x)．
又∵feq \f(1,2)＋x＝feq \f(1,2)－x，∴f(1－x)＝f(x)，从而f(2－x)＝－f(1－x)，
∴f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为2，且图象关于直线x＝eq \f(1,2)对称．
画出函数f(x)的图象如图所示．
∴结合图象可得方程f(x)＝－eq \f(1,2)在区间[－3，5]内有8个根，且所有根之和为eq \f(1,2)×2×4＝4.
27．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≥0，,|lg －x|，x<0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为________．
答案 5
解析 令y＝2f2(x)－3f(x)＝0，则f(x)＝0或f(x)＝eq \f(3,2).
函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≥0，,|lg －x|，x<0))的图象如图所示：
由图可得，f(x)＝0有2个根，f(x)＝eq \f(3,2)有3个根，故函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为5.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解 (1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，
易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，
作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，
由图象可知，当1≤a即所求实数a的取值范围是1，eq \f(5,4).
2．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围．
解 (1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图1所示，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝2m＋1<0，,f－1＝2>0，,f1＝4m＋2<0，,f2＝6m＋5>0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<－\f(1,2)，,m∈R，,m<－\f(1,2)，,m>－\f(5,6).))即－eq \f(5,6)(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0，1)内，如图2所示，列不等式组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝2m＋1>0，,f1＝4m＋2>0，,Δ＝4m2－42m＋1≥0，,0<－m<1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>－\f(1,2)，,m>－\f(1,2)，,m≥1＋\r(2)或m≤1－\r(2)，,－1即－eq \f(1,2)x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…