高中数学北师大版必修32.2分层抽样与系统抽样集体备课课件ppt

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2.2　分层抽样与系统抽样
某中学高一年级共有25个班，每班60人，共有1 500人．学校想了解高一学生的视力状况，以便日后与高二、高三时的状况进行比较，决定从这1 500人中抽取一个容量为100的样本进行检查．你能帮助学校确定一个抽样方法吗？抽签法能行吗？
系统抽样系统抽样是将总体的个体进行编号，按照_______________抽取第一个样本，然后按相同的_______(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫_______抽样或_______抽样．
1．系统抽样适用的总体应是(　　)A．容量较小　　　　　　B．容量较大C．个体数较多但均衡D．任何总体[解析]　系统抽样适用于容量较大，且个体之间无明显差异的个体．
2．中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众．现采用系统抽样法抽样，其分段间隔为(　　)A．10　　　　 B．100　C．1 000　D．10 000[解析]　依题意，要抽十名幸运小观众，所以要分成十个组，每个组容量为10 000÷10＝1 000，即分段间隔．
3．从2 020名学生中选50人组成参观团，先用简单随机抽样方法剔除20人，再将其余2 000人从0到1 999编号，按系统抽样方法选取，若第一组采用抽签法抽到的号码是30，则最后一组入选的号码是(　　)A．1 990B．1 991C．1 989D．1 988[解析]　样本间隔为2 000÷50＝40，若第一组采用抽签法抽到的号为30，则最后一组入选的号码是30＋49×40＝1 990
4．某学校有30个班级，每班50名学生，上级要到学校进行体育达标验收，需要抽取10%的学生进行体育项目的测验，如果按学号用系统抽样法抽取，则只需要在第一个班前________名中随机抽取一名，其他人选就随之确定，横线处应填(　　)A．10B．11C．12D．13[解析]　该校共有1500名学生，需抽取容量为1 500×10%＝150的样本，抽样的实施步骤：可将每个班的学生按学号分成5段，每段10名学生，用简单随机抽样的方法在1～10中抽取一个起始号码l，则每个班的l,10＋l,20＋l,30＋l,40＋l(如果l＝6，则6,16,26,36,46)号学生入样，即组成一个容量为150的样本．故选A．
5．总体中含有1 645个个体，若采用系统抽样的方法从中抽取容量为35的样本，则编号后确定编号分为_______段，分段间隔k＝_______，每段有_______个个体．
6．在国家政策扶持下，我国的汽车工业获得了极大的发展．现某厂1月份生产了A、B两种型号轿车共822辆，其中A型20辆，B型802辆，现从中抽取82辆检查，试选用合适的抽样方法进行抽样，写出抽样过程．[解析]　先从A型20辆中抽取2辆，用抽签法，步骤如下：第一步：将20辆车随机编号为01,02,03，…，20；第二步：将这20个号码分别写在小纸条上，制成号签；第三步：将号签放入一个不透明的盒子中，搅拌均匀；第四步：从盒子中逐个抽取2个号签，记录编号；第五步：从总体中将与抽到的号签编号一致的个体取出．
再从B型802辆中抽取80辆，用系统抽样法，步骤如下：第一步：先将802辆B型轿车编号为001,002，…，802，从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；第二步：将余下的800辆轿车重新编号为1,2，…，800，并均分成80段，每段含10个个体；第三步：从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号；第四步：将编号为5,15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．
命题方向1　⇨系统抽样的概念
下列抽样中不是系统抽样的是(　　)A．从标有1～16号的电视机中，任选4个作样本，按从小到大的号数排序，随机选起点K，以后按K＋4、K＋8…(超过16则从1再数起)抽样B．光明会堂有32排座位，每排有40个座位(座位号为1～40)，一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下座位号为18的所有32名听众进行座谈C．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员每隔5分钟抽一件产品进行检验D．从8台彩电中抽取2台进行质量检验
[思路分析]　系统抽样适用于个体数较多的总体，判断一种抽样是否为系统抽样，首先看在抽样前是否知道总体是由什么构成的，抽样的方法是否符合系统抽样的特点．[解析]　A、B符合系统抽样的特点是系统抽样．C项中，传送带的速度是恒定的，实际上是将其一段时间内生产的产品分成一组，且可以认为这些产品已经排好，又总在某一位置抽取样品，这正好符合系统抽样的概念．故选D．
『规律总结』　1.判断某抽样方法是否为系统抽样应注意两点：(1)间隔是否等距离；(2)是否将总体均分．2．解决此类问题的关键是掌握好各种抽样方法的特点，当总体容量较大，样本容量也较大时适宜于系统抽样．
〔跟踪练习1〕 下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是(　　)A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3︰2︰8︰2，从中抽取200人入样B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样[解析]　只有C选项样本容量和总体容量都较大，且个体之间无明显差异．
一个体育代表团有200名运动员，其中2名是种子选手，现从中抽取13人参加某项运动．若种子选手必须参加，请用系统抽样法给出抽样过程．[思路分析]　种子选手必须参加，实质上是从198名运动员中抽取11人参赛．[解析]　(1)将不包括2名种子选手的198名运动员进行编号，编号为001,002，…，198；(2)将编号按顺序每18个为一段分成11段；
(3)在第1段001、002、…、018这18个编号中用简单随机抽样法抽出1个号(如010)作为起始号码；(4)依次加18，将编号为010,028,046，…，190的个体抽出，再加上2名种子选手组成代表队参加运动会．
『规律总结』　在应用系统抽样时，要解决两个关键的问题：(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本；(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，起始编号确定，其他编号便随之确定了．
〔跟踪练习2〕 为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的答卷情况，分析教学质量，拟从参加考试的15 000名学生的数学试卷中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．
(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1︰100，我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体；(3)在第一部分，即1号到100号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是56；(4)以56作为起始数，然后顺次抽取编号为156,256,356，…，14 956的试卷，这样就得到容量为150的一个样本．
从2 004名同学中，抽取一个容量为20的样本，写出用系统抽样法抽取的步骤．[思路分析]　编号→剔除→再编号→分段→在第一段上简单随机抽样→在其他段上抽样→成样[解析]　(1)采用随机的方式给这2 004名同学编号为0 001，…，2 004；(2)利用简单随机抽样剔除4个个体．并对剩余的2 000个个体重新编号为0 001,0 002，…，2 000；
(3)分段．由于20︰2 000＝1︰100，故将总体平均分为20个部分，其中每一部分包含100个个体；(4)在第1部分随机抽取1个号码，比如0066号；(5)从第0066号起，每隔100个抽取1个号码，这样得到容量为20的样本：0 066,0 166,0 266,0 366,0 466,0 566,0 666,0 766,0 866，0 966，1 066,1 166,1 266,1 366,1 466,1 566,1 666,1 766,1 866,1 966.
『规律总结』　若总体不能均匀分段，要将多余的个体剔除(通常用随机数表的方法)，不影响总体中每个个体被抽到的可能性．
〔跟踪练习3〕 某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1︰5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．[解析]　(1)先把这253名学生编号000,001,002，…，252；(2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生；(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250；(4)分段：取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生；(5)从第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l；(6)以后各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245这49个号．这样就按1︰5的比例抽取了一个容量为50的样本．
命题方向4　⇨三种抽样方法的比较
某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270
关于上述样本的下列结论中，正确的是(　　)A．②③都不能为系统抽样　B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样[思路分析]　三种抽样方法的区别在于：简单随机抽样所得号码是随机的，无一点规律可寻；而系统抽样所得数据间隔明显；分层抽样所得数据是按一定比例的．
[解析]　对于情况①，可能是系统抽样，也可能是分层抽样(一年级1～108号中抽4人，二年级109～189号中抽3人，三年级190～270号中抽3人)；对于情况②，可能是分层抽样；对于情况③，可能是系统抽样，也可能是分层抽样；对于情况④，因为一年级1～108号中只抽3人，不是分层抽样，1～27号中没有抽人，故不是系统抽样.
『规律总结』　简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是，在抽样过程中每一个个体被抽取的可能性相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平性．其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法，抽样方法经常交叉起来应用，对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可采用简单随机抽样．
〔跟踪练习4〕 某学校有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，以下的抽样方法中，按简单随机抽样，系统抽样，分层抽样顺序的是(　　)方法1：将140人从1～140编号，然后制作出标有1～140的形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里均匀搅拌，然后从中抽出20个号签，编号与号签相同的20个人被选出．方法2：将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按1～7编号，在第1组采用抽签法抽出k(1≤k≤7)号，其余各组k号也被抽出，20个人被选出．
方法3：按20︰140＝1︰7的比例，从教师中抽出13人，从教辅行政人员中抽出4人，从总务后勤人员中抽出3人．从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数法，可抽到20人．A．方法2，方法1，方法3B．方法2，方法3，方法1C．方法1，方法2，方法3D．方法3，方法1，方法2[解析]　方法1是简单随机抽样，方法2是系统抽样，方法3是分层抽样.
要从参加十二届全运会某些项目比赛的1 013名运动员中抽取100名进行兴奋剂检查，采用何种抽样方法较好？写出过程．[错解]　应采用系统抽样．过程如下：先将1 013名运动员随机编号1,2,3，…，1 013，将这1 013个号码分成100段，其中前87段每段10人，后13段每段11人，在第一段中用简单的随机抽样确定起始编号L，则将编号为L，L＋10，L＋20，…，L＋990的运动员抽出，从而获得整体样本．
[正解]　过程如下：第一步，将1 013名运动员随机编号为0 001,0 002，…，1 013；第二步，用随机数表法从总体中抽取13个号码，并将编号相对应的运动员剔除；第三步，将剩下的1 000名运动员重新编号为1,2,3，…，1 000，分成100段，每段10个号码，在第一段十个编号中用简单随机抽样确定第一个个体编号为L，则将编号为L，L＋10，L＋20，…，L＋990的运动员抽出，组成样本．
『规律总结』　系统抽样之所以在现实中被广泛应用，是因为它非常简便，且易操作，但如果总体的排列存在明显的周期性或者事先是排好序的，利用系统抽样将会产生明显的偏差，所以在选择系统抽样时，一定要考虑这两点．
系统抽样与简单随机抽样的综合应用
1．系统抽样在第一组抽号和剔除个体时，都要用到简单随机抽样，故它们的关系非常密切．2．两种抽样方法的选择，可根据样本容量的大小来进行样本选择．容量较小时可采用简单随机抽样，样本容量较大时考虑采用系统抽样．
某集团有员工1 019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人．该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人．如何确定人选？[解析]　获得过国家级表彰的人员选5人，适宜使用抽签法；其他人员选30人，适宜使用系统抽样法．(1)确定获得过国家级表彰的人员人选：①用随机方式给29人编号，号码为1,2，…，29；②将这29个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；③将得到的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；
④从袋子中逐个抽到5个号签，并记录上面的号码；⑤从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体取出，人选就确定了．(2)确定其他人员人选：第一步：将990名其他人员重新编号(分别为1,2，…，990)，并分成30段，每段33人；第二步，在第一段1,2，…，33这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如3)作为起始号码；第三步，将编号为3,36,69，…，960的个体抽出，人选就确定了．(1)、(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选．
『规律总结』　1.系统抽样与简单随机抽样的区别与联系2.面对实际问题，准确合理地选择抽样方法对初学者来说至关重要，在如何选择简单随机抽样和系统抽样两种方法时，主要以总体容量和样本容量的大小作为选择的依据，在符合要求的情况下要以操作简单易行作为标准．
1．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人做问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为(　　)A．5,10,15,20B．2,6,10,14C．2,4,6,8D．5,8,11,14
2．某报告厅有50排座位，每排有60个座位，一次报告会坐满了听众，会后留下每排座位号16的50名听众进行座谈，这是运用了(　　)A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．不确定[解析]　50排座位相当于分50段，分段间隔k＝60，从每一段中取座位号为16的听众，相当于初始值s＝16，相邻两排的间隔相同，故为系统抽样．
3．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从495到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(　　)A．26,16,8B．25,17,8C．25,16,9D．24,17,9
4．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：000,001,002，…，999，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一段编号为000,001,002，…，019，若第一段随机抽取的一个号码为015，则抽取的第40个号码为_________.
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