初中冀教版第30章 二次函数综合与测试课后复习题

这是一份初中冀教版第30章 二次函数综合与测试课后复习题，共33页。试卷主要包含了对于二次函数，下列说法正确的是，下列函数中，随的增大而减小的是等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数达标测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…
－3
－2
－1
0
1
…

…
－11
－3
1
1
－3
…
对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当时，随的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
2、若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（ ）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
3、将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
4、如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（ ）

A．
B．当时，随的增大而增大
C．
D．是一元二次方程的一个根
5、对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则y随x的增大而增大 B．函数图象的顶点坐标是
C．当时，函数有最大值－4 D．函数图象与x轴有两个交点
6、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．D3
7、下列函数中，随的增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
8、若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　）
A．y＝2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2﹣1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1
9、下列函数中，随的增大而减小的函数是（ ）
A． B． C． D．
10、抛物线y＝x2+4x+5的顶点坐标是（　　）
A．（2，5） B．（2，1） C．（﹣2，5） D．（﹣2，1）
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，函数的图象过点和，下列判断：
①；
②；
③；
④和处的函数值相等．
其中正确的是__（只填序号）．

2、二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为______．

3、定义：在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．如：A(1，0)，B(﹣3，2)都是“整点”，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于P，Q两点，若该抛物线在P，Q之间的部分与线段PQ所围的区域（不包括边界）恰有3个整点，则a的取值范围是_____．
4、若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．
5、如图，已知点A是抛物线图像上一点，将点A向下平移2个单位到点B，再把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如果点C也在该抛物线上，那么点A的坐标是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（2，3），且交x轴于A（﹣1，0）、B（m，0），求m的值及二次函数图象的对称轴.
2、已知二次函数的图像经过点，，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，，，为顶点的四边形的面积为__________；
(3)将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为__________．
3、在平面直角坐标系xOy中的图形W与图形N，如果图形W与图形N有两个交点，我们则称图形W与图形N互为“友好图形”．
(1)已知A（－1，1），B（2，1）则下列图形中与线段AB互为“友好图形”的是　 　；
①抛物线y＝x2；
②双曲线；
③以O为圆心1为半径的圆．
(2)已知：图形W为以O为圆心，1为半径的圆，图形N为直线y＝x＋b，若图形W与图形N互为“友好图形”，求b的取值范围．
(3)如图，已知，，，图形W是以（t，0）为圆心，1为半径的圆，若图形W与△ABC互为“友好图形”，直接写出t的取值范围．

4、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4mx+m（m≠0）与y交于点P，将抛物线y＝x2﹣4mx+m（m≠0）上点P及点P左边的部分图象沿y轴平移，使点P平移后的对应点Q落在(0，﹣m)处，将平移后的图象与原图象剩余部分合称为图象G
(1)当m＝1时，
①求图象G与x轴正半轴的交点坐标；
②图象G对应的函数值y随x增大而减小时x的取值范围为 ；
(2)当图象G的最低点到x轴的距离为时，求m的值．
(3)当过点Q且与y轴垂直的直线与图象G有三个交点时，设另外两个交点为A、B．当Q、A、B三点中，有一点到另外两点的距离之比是1：1时，直接写出线段AB的长度．
5、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2－2ax＋4（a＞0）．

(1)抛物线的对称轴为x＝　 ；抛物线与y轴的交点坐标为　 ；
(2)若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；
(3)若A（m－1，y1），B（m，y2），C（m＋2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围．

-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．
【详解】
解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入，得

解得，
∴二次函数式为：
∵
∴二次函数的图像开口向下，故①正确；
∵
∴对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小，故②正确；
当时，二次函数的最大值是，故③错误；
若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故④错误
∴正确的是①②
故答案为①②
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2、A
【解析】
【分析】
根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a=1．
【详解】
解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，
∴a=1．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．
3、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】
解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；
再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，
故选：B．
【点睛】
本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
4、D
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口方向向下可得是负数，对称轴位于轴的右侧可得、异号；与轴的交点在正半轴可得是正数，根据二次函数的增减性可得选项错误，根据抛物线的对称轴结合与轴的一个交点的坐标可以求出与轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程的根，从而得解．
【详解】
解：、根据图象，二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧可得、异号，即，故本选项结论错误；
B、当时，随的增大而减小，故本选项结论错误；
C、根据图象，抛物线与轴的交点在正半轴，则，故本选项结论错误；
D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，
设另一交点为，
，
，
另一交点坐标是，
是一元二次方程的一个根，
故本选项结论正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．
5、A
【解析】
【分析】
先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵，且 ，
∴二次函数图象开口向下，
∴A、若，则y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；
B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，函数有最大值-2，故本选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
6、B
【解析】
【分析】
先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．
【详解】
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），
∴y＝a（x+2）2+2，
∵与y轴交于点A（0，3），
∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝
∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，
∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，
∴当x＝0时，y＝，
∴A′的坐标为（0，），
∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
7、C
【解析】
【分析】
根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【详解】
解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
B．在中，y随x的增大与增大，不合题意；
C．在中，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；
D．在，x>2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．
8、D
【解析】
【分析】
由题意知平移后的函数关系式为，进行整理即可．
【详解】
解：由题意知平移后的函数关系式为：，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于牢记二次函数图象平移时上加下减，左加右减．
9、B
【解析】
【分析】
根据一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质逐项分析即可．
【详解】
A. ，，随的增大而增大，故A选项不符合题意．
B. ，， ，的图像位于第三象限，随的增大而减小，故B选项符合题意；
C. ，，对称轴为轴，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小，故C选项不符合题意；
D. ，，随的增大而增大，故D选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质，掌握以上性质是解题的关键．
10、D
【解析】
【分析】
利用顶点公式（﹣，），进行解题．
【详解】
解：∵抛物线y＝x2+4x+5
∴x＝﹣＝﹣＝﹣2，y=＝1
∴顶点为（﹣2，1）
故选：D．
【点睛】
此题主要考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟知二次函数的顶点公式为（﹣，）．
二、填空题
1、①③④
【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据、的符号得出，即可得到，根据时，得到，即可得到，即可判断②；根据抛物线与一元二次方程的关系即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断④．
【详解】
解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确，
，，
，
，
时，，则，
，
，故②错误，
的图象过点和，
方程的根为，，
方程的根为，
，
，故③正确；
的图象过点和，
抛物线的对称轴为直线，
，
和处的函数值相等，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；△决定抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
2、y=－x2－2x+3
【解析】
【分析】
根据图象与x、y轴的交点坐标和对称轴，利用待定系数法求二次函数的解析式即可．
【详解】
解：设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
由图象知：当x=1时，y=0，当x=0时，y=3，又对称轴为直线x=－1，
则，解得：，
∴该二次函数的解析式为y=－x2－2x+3，
故答案为：y=－x2－2x+3．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解答的关键．
3、
【解析】
【分析】
将函数解析式化为顶点式，确定图象的对称轴及顶点坐标，得到3个整点的位置，由此得到不等式组，求解即可．
【详解】
解：∵y＝ax2﹣2ax+a+2=，
∴函数的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），
∴P，Q两点关于直线x=1对称，
根据题意，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于P，Q两点（不包括边界）恰有3个整点，这些整点是（0，1），（1，1），（2，1），
∵当x=0时，y=a+2，
∴，
当x=-1时，y=4a+2，
∴,
∴，解得，
故答案为：．
．
【点睛】
此题考查了将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据二次函数的对称轴及顶点确定3个点的位置，由此顶点不等式组是解题的关键．
4、
【解析】
【分析】
利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】
y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2
故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．
【点睛】
本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．
5、（，）
【解析】
【分析】
设A（x，x2），根据平移、旋转的性质求出C点坐标，代入抛物线求出x，故可求解．
【详解】
解：∵点A是抛物线图像上一点
故设A（x，x2），
∵将点A向下平移2个单位到点B，
故B（x，x2-2）
∵把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如图，

过点B作BD⊥AB于B，过点C作CD⊥BD于D，
AB=BC=2，∠ABC=120°，∠ABD=90°，
∴∠DBC=30°
故CD=，BD=，
故C（x+，x2-3），
把C（x+，x2-3）代入，
∴x2-3=（x+）2，
解得x=-
∴A（-，3）
故答案为：（，3）．
【点睛】
此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知坐标与函数的关系、平移与旋转的特点及直角三角形的性质．
三、解答题
1、m=3，对称轴为直线x=1
【解析】
【分析】
先根据待定系数法求出二次函数的解析式，令y=0求解x即可求得m，进而可求得二次函数图象的对称轴．
【详解】
解：将（2，3）和（－1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3，
令y=0，则﹣x2+2x+3=0，即x2﹣2x﹣3=0，
解得：x1=－1，x2=3，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为A（－1，0）和B（3，0），
∴m=3，
该二次函数图象的对称轴为直线x=1．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点问题、二次函数图象的对称轴，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤是解答的关键．
2、 (1)
(2)18
(3)1或5
【解析】
【分析】
（1）把点，，代入二次函数解析式：y=ax2+bx+c，求出即可；
（2）分别求出A、B、C、P四点的坐标．利用S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC进行计算；
（3）观察抛物线的图像可直接得到结果．
(1)
解：（1）设二次函数的表达式为（，，为常数，），
由题意知，该函数图象经过点，，，得
，
解得，
∴二次函数的表达式为.
(2)
解：∵
当y=0时，
解得：x1=1，x2=5
∴点A坐标为(1，0)、点B坐标为(5，0)；
当x=0时，y=-5，
∴点C坐标为(0，-5)；
把化为y=-(x-3)2+4
∴点P坐标为(3，4)；
由题意可画图如下：

∴S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC
=
＝18，
故答案是：18；
(3)
由图像知：将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度，抛物线经过原点．
故：m=1或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式．也考查了二次函数的性质．解题的关键是掌握数形结合能力．
3、 (1)①
(2)b的取值范围是
(3)t的取值范围是或．
【解析】
【分析】
（1）根据“友好图形”分别作出抛物线，双曲线，以及圆，根据定义进行判断即可；
（2）作⊙O的两条切线，过点O作OQ⊥KL，求得的值，根据对称性即可求得的取值范围；
（3）如图5，过点E作EQ⊥AC于Q，当图形W是⊙D时，⊙D与AB相切，此时，当图形W是⊙E时，⊙E与AB相切，此时，根据的坐标可得，BAy轴，BCx轴，可得出⊙E与AC相离，进而可得图形W与△ABC有两个交点时，t的取值是，如图6，当⊙E'与AC相切时，设切点为G，连接E'G，同理得，当⊙D'与AC相切时，设切点为H，连接D'H，同理得，t的取值是．综合2种情形即可得t的取值范围
(1)
①如图1，当y＝1时，x2＝1，

∴x＝±1，∴抛物线y＝x2与线段AB有两个交点为（1，1）和（－1，1），
∴抛物线y＝x2与线段AB互为“友好图形”；
②如图2，当y＝1时，，

∴x＝1，
∴双曲线与线段AB有1个交点为（1，1），
∴抛物线与线段AB不是互为“友好图形”．
③如图3，以O为圆心1为半径的圆与线段AB有1个交点为（0，1），

∴以O为圆心1为半径的圆与线段AB不是互为“友好图形”；
故答案为：①；
(2)
如图4，作⊙O的两条切线，这两条切线与直线y=kx+b平行，过点O作OQ⊥KL，

∵OQ＝1，△OQK是等腰直角三角形，
∴，
∴b的取值范围是．
(3)
如图5，过点E作EQ⊥AC于Q，

∵，，图形W是以（t，0）为圆心，1为半径的圆，
当图形W是⊙D时，⊙D与AB相切，此时，
当图形W是⊙E时，⊙E与AB相切，此时，
∵，，，
∴BAy轴，BCx轴，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝4，，
∴AC＝8，
∴∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠C＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴⊙E与AC相离，
∴图形W与△ABC有两个交点时，t的取值是．
如图6，当⊙E'与AC相切时，设切点为G，连接E'G，

同理得，
∴，
当⊙D'与AC相切时，设切点为H，连接D'H，同理得，
∴，
∴图形W与△ABC有两个交点时，t的取值是．
综上，若图形W与△ABC互为“友好图形”，t的取值范围是或．
【点睛】
本题考查了新定义，抛物线的性质，反比例函数图象的性质，圆的切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，理解题意，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
4、 (1)①（，0），（，0）；②或
(2)或
(3)或
【解析】
【分析】
（1）①令y=0，得一元二次方程，求出方程的解即可解决问题；②将抛物线解析式配方找出对称轴，结合函数图象解答问题即可；
（2）分两种情况结合图象G的最低点到x轴的距离为列出方程求解即可；
（3）分两种情况求出点A，B的坐标，根据Q、A、B三点中，有一点到另外两点的距离之比是1：1列方程求出mr wfhg,gmf fiy AB的长即可
(1)
①当m=1时，y＝x2﹣4mx+m=x2﹣4x+1
令y=0，则x2﹣4x+1=0
解得，，
∴图象G与x轴正半轴的交点坐标（，0），（，0）
②y=x2﹣4x+1=
∴函数y=x2﹣4x+1对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-3），且开口向上
如图，

∴图象G对应的函数值y随x增大而减小时x的取值范围为或
故答案为：或
(2)
当时，
∵y＝x2﹣4mx+m
又∵
∴①当0＜m＜时，＞0，即点Q是图象G的最低点，
∴，不符合题意舍去，
②当m≥时，≤0，即抛物线的顶点是图象G的最低点，
∴-(-4m2+m)=12
解得，，（舍去）
当时，同理可得，
综上，m的值为或
(3)
当时，如图所示，

当时，则有
配方得，
解得，
∴
∴
∵
∴
∴
整理得，
解得，
经检验，是原方程的根，
但m≠0
∴
∴AB=24×81256-2×916=2×8164-7264=34；
当时，如图，

当时，则有
配方得，
解得，
∴
平移后的图象解析式为
当时，则有
解得，x1=4m,x2=0
∴
∴
∵，即
∴
解得，
经检验是原方程的根，
但m≠0
∴
∴


综上所述，AB的长为：或
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定交点坐标．
5、 (1)1，（0，4）
(2)顶点坐标为（1，0），y＝4x2－8x＋4
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数对称轴公式，以及与y轴的交点坐标公式；
（2）根据二次函数与x轴交点公式，以及待定系数法求解析式；
（3）先求对称点坐标根据函数的增减性解决本题．
(1)
解：，
当x＝0时，y＝ax2－2ax＋4＝4，
所以抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线与y轴的交点坐标是（0，4），
故答案为：1，（0，4）．
(2)
解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0），
把（1，0）代入y＝ax2－2ax＋4得：0＝a×12－2a×1＋4，
解得：a＝4，
∴抛物线的解析式为y＝4x2－8x＋4．
(3)
解：A（m－1，y1）关于对称轴x＝1的对称点为A′（3－m，y1），
B（m，y2）关于对称轴x＝1的对称点为B′（2－m，y2），
若要y1＞y3＞y2，则3－m＞m＋2＞2－m，解得：．
【点睛】
本题考查二次函数图像求对称轴公式，以及与x轴，y轴的交点公式，以及函数的增减性，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．