数学第30章 二次函数综合与测试课时作业

这是一份数学第30章 二次函数综合与测试课时作业，共34页。试卷主要包含了下列函数中，随的增大而减小的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2、下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（ ）
A．B．
C．D．
3、将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（ ）
A．B．C．D．
4、下列函数中，随的增大而减小的是（ ）
A．B．
C．D．
5、已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③B．②④C．①②③D．②③④
7、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．B．C．D．
8、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(﹣1，0)．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9、函数向左平移个单位后其图象恰好经过坐标原点，则的值为（ ）
A．B．C．3D．或3
10、将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、将抛物线y＝﹣2x2+3x+1向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_____．
2、若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．
3、这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段图文，则被墨迹污染的二次函数的二次项系数为______．由图像知，当x＝﹣1时二次函数y＝■x2＋6x﹣5有最小值．
4、已知二次函数，当时，函数的值是_________．
5、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，请写出一个使的的整数值 __．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一点，过P点作轴，交BC于点D，点E在直线BC上，且四边形PEDF为矩形，求矩形PEDF周长的最大值以及此时点P的坐标；
(3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为平面内一点，将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，直接写出此时点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．
2、在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝a+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线y＝a+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
3、已知如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点E，当取得最小值时，E点坐标为________；此时AE与BC的位置关系是________，________；
(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M，满足，若存在求M点的横坐标；若不存在，请说明理由；
(4)若抛物线上一动点Q，当时，直接写出Q点坐标________．
4、已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．
(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；
(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标．
5、如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点．
(1)求 b 的值；
(2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
根据二次函数图象性质解题．
【详解】
解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即，故A不符合题意；
B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．
5、A
【解析】
【分析】
分别求出、、的大小，再进行判断即可．
【详解】
解：
A、故选项正确，符合题意；
B、故选项错误，不符合题意；
C、故选项错误，不符合题意；
D、故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次函数的大小比较问题，解题的关键是掌握二次函数的性质、利用代入法求出、、的大小．
6、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象及性质即可判断．
【详解】
解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．
7、B
【解析】
【分析】
由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．
【详解】
解：由题意知，平移后的抛物线解析式为
将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；
将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．
8、B
【解析】
【分析】
①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．
【详解】
解：①∵函数图象开口向下
∴
又函数的对称轴在y轴右侧，
∴
∴
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0，故原答案错误，不符合题意；
②∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0正确，符合题意；
③∵点B坐标为（﹣1，0），且对称轴为x＝1，
∴点A（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；
④∵函数的对称轴为：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴
即3a+c＝0，正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点等．
9、C
【解析】
【分析】
把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的抛物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解．
【详解】
解：，
向左平移个单位后的函数解析式为，
函数图象经过坐标原点，
，
解得．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
10、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】
解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；
再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，
故选：B．
【点睛】
本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
根据向下平移，纵坐标要减去3，即可得到答案．
【详解】
解：抛物线向下平移3个单位，
抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
2、
【解析】
【分析】
利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】
y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2
故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．
【点睛】
本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．
3、
【解析】
【分析】
由图象可得：抛物线的对称轴为： 再利用抛物线的对称轴公式建立方程求解即可.
【详解】
解：由图象可得：抛物线的对称轴为：
而

解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的对称轴方程求解未知系数的值”是解本题的关键.
4、-1
【解析】
【分析】
将x的值代入计算即可；
【详解】
解：当时
==-1
故答案为：-1
【点睛】
本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键．
5、2（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据函数图象可以直接得到答案．
【详解】
解：如图，
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，
则当的的取值范围是：，
的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】
此题考查了抛物线与x轴的交点坐标，需要学生熟悉二次函数图象的性质并要求学生具备一定的读图能力．
三、解答题
1、 (1)
(2)矩形PEDF周长的最大值为，此时点
(3)或
【解析】
【分析】
（1）将点，点，代入解析式，待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意转化为求最长时点的坐标，进而求得周长即可；
（3）将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，即沿轴正方向向上平移, 轴正方向向右平移个单位，进而得到平行后的新的抛物线的解析式，根据题意分情况讨论，根据的两个顶点恰好落在新抛物线上时，根据旋转可得若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，只有或落在抛物线上，进而分类讨论，根据直线与抛物线交点问题，一元二次方程根与系数的关系求解即可．
(1)
解：将点，点，代入解析式，得
解得
抛物线的解析式为：
(2)
四边形是矩形
即
设，则
则矩形PEDF周长为，
当取得最大值时，矩形PEDF周长的最大
设直线的解析式为，将点代入得，
则
解得
直线的解析式为
设，则
即
当时，取得最大值，最大值为
此时矩形PEDF周长为
当时，
即
(3)
由（2）可知，则，
过点作，则，
将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，即沿轴正方向向上平移, 轴正方向向右平移个单位，
则新抛物线解析式为：
即
将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，
轴，
旋转90°后，则轴
则轴，
若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，只有或落在抛物线上，
轴
设直线为
①当在抛物线上时，如图，
设点，的横坐标分别为，
则
则为的两根
即方程
，
则
即
解得
则
解得
②当在抛物线上时，如图，
设点，的横坐标分别为，
，
则
，
中，
直线的解析式为
设直线的解析式为
则为的两根
即
，
则
即
解得
直线的解析式为
则
解得
当时，
综上所述或
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，旋转的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，一次函数的平移问题，二次函数的平移问题，一元二次方程根与系数的关系，二次函数求函数值的问题，熟练掌握以上知识并正确的计算是解题的关键．
2、 (1)在，见解析
(2)a＝﹣1，b＝2
(3)当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
（3）设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，其顶点坐标为（，），根据题意得出=，由抛物线y＝﹣+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=-=，从而得出q的最大值．
(1)
点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
(2)
∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝a+bx+1得，
解得a＝﹣1，b＝2；
(3)
由（2）知，抛物线为y＝﹣+2x+1，
设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，
∴顶点坐标为（，），
∵其顶点仍在直线y＝x+1上，
∴=，
∴q=-=，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
【点睛】
本题考查了图像与点的关系，待定系数法确定函数解析式，配方法求二次函数最值，熟练掌握待定系数法，灵活配方求最值是解题的关键．
3、 (1)y=x2-4x+3；
(2)（2，1）；AE⊥BC，；
(3)存在，M点的横坐标为或；
(4)Q点的坐标为(，)或(，) ．
【解析】
【分析】
（1）求得点C的坐标和点B的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）连接BC交对称轴于点E，此时AE+CE取得最小值，求得直线BC的解析式，即可求得E点坐标，进一步计算即可求解；
（3）分类求解，利用tan∠ACB= tan∠BAM，求得G点坐标，利用待定系数法求得直线AG的解析式，联立方程即可求解；
（4）先求得tan∠ACO=，同（3）的方法即可求解．
(1)
解：令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=1，
∵tan∠ABC=1，即，
∴OC=OB=1，
∴点B的坐标为（3，0），
把B（3，0）代入y=x2+bx+3得32+3b+3=0，
解得：b=-4，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；
(2)
解：y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴顶点D的坐标为（2，-1），对称轴为x=2，
解方程(x-2)2-1=0，得：x1=1，x2=3，
∴点A的坐标为（1，0），
连接BC交对称轴于点E，此时，AE=BE，
∴AE+CE=BE+CE=BC，
∴AE+CE的最小值为BC，
设直线BC的解析式为y=kx+3，
把B（3，0）代入y=kx+3，得：0=3k+3，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=2时，y=1，
∴E点坐标为（2，1），
∵AE=，BE=，AB=3-1=2，
，
∴AE2+BE2=AB2，AE=BE，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AE与BC的位置关系是：AE⊥BC，
∵CE=，
∴tan∠ACE=，
故答案为：（2，1）；AE⊥BC，；
，
(3)
解：设对称轴与x轴交于点F，交AM于点G，
∵∠ACB=∠BAM，
∴tan∠ACB= tan∠BAM，
由（2）得tan∠ACE，
∴tan∠BAM=，
∵AF=OF-OA=1，
∴GF=，
∴G点坐标为（2，），
同理求得直线AG的解析式为y=x-，
解方程x-=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴M点的横坐标为；
当AM在x轴下方时，
同理求得直线AG1的解析式为y=x+，
解方程x+=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴M1点的横坐标为；
综上，存在，M点的横坐标为或；
，
(4)
解：∵OA=1，OC=3，
∴tan∠ACO=，
同（3）得H点坐标为（2，），
直线AQ的解析式为y=x-，
解方程x-=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴Q点的坐标为(，)；
当AQ在x轴下方时，
同理求得直线AQ1的解析式为y=x+，
解方程x+=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴Q1点的坐标为(，)；
综上，Q点的坐标为(，)或(，)．
,
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、解直角三角形等，要注意分类求解，避免遗漏．
4、 (1)，
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）对于，当时，，求得，解方程组即可得到结论；
（2）根据，，得到，连接，设的中点为，求得，，得到直线的解析式为，设，解方程即可得到结论；
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质得到，，当，，三点共线时，最小，即最小，求得直线的解析式为，把代入即可得到结论．
(1)
解：对于，当时，，
，
抛物线为常数，交轴于点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
(2)
解：，，
，
连接，设的中点为，
，，
直线的解析式为，
，
点在直线上，
设，
点是抛物线上一点，
，
解得，
点的坐标为，或，；
(3)
解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，
点与点关于对称，点在直线上，
，，
当，，三点共线时，最小，即最小，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
把代入得，，
，
当最小时，求点的坐标．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
5、 (1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得；
（2）由图像即可得．
(1)
解：将点A（4，4）代入得，
解得．
(2)
解：由图像可知，当或时，．
【点睛】
本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质．