48.立体几何（距离问题2） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份48.立体几何（距离问题2） 2022届高三数学一轮复习大题练，共10页。
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
（1）证明：如图，连接，．
因为，分别是，的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
由题意易证．
因为平面，平面，所以平面．
因为平面，平面，且，所以平面平面．
因为平面，所以平面．
（2）解：连接，．
由题意可得，，，则，
从而，故的面积为．
设点到平面的距离是．
因为，所以．解得．
由（1）可知，平面，所以点到平面的距离为．
2．如图，四边形为矩形，且，，平面，，为的中点．
（1）求点到平面的距离；
（2）探究在上是否存在点，使得平面，并说明理由．
解：（1）连接，易得，而，
为直角三角形，故．
又平面，所以，
又，，面，，
，
又，
由，设点到面的距离为，
则，得．
即点到的距离为；
（2）存在点是的中点，使得平面，理由如下：
取、的中点、，连接、、．
、是，的中点，中，可得且，
又是的中点，且四边形为矩形，
且，
、平行且相等，可得四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面．
3．如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求到平面的距离．
解：因为平面，所以，，
因为四边形是正方形，所以，
所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，，0，，，0，，，1，，，0，，，1，
（Ⅰ）证明：，1，，，，
，
；
（Ⅱ）因为，．，，，，0，，，0，，
所以，，，，，，
设面的法向量为，，，
，可得，1，，
则到平面的距离．
4．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
（1）证明：因为平面，平面，
所以，
在中，，，，
所以，
所以．
因为，，平面，
所以平面．
（2）解：由（1）知，，，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则，0，，，0，，，，，，0，，
所以，0，，，，，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令，则，，
所以，，，
又因为，0，，
故点到平面的距离．
5．如图，四边形是平行四边形，，，，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离．
证明：（1）取中点，连接，
因为，分别为，的中点，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，，平面，而，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面，
（2）在中，，，
，
所以，
故，，
在中，，
从而，，
因为，平面，平面，
所平面；
（3）解：连接交于点，则为的中点，
所以点与点到平面的距离相等，令该距离为，
所以有即，
由（2）知平面，，，
所以，
在中，，
所以，所以
所以点到平面的距离．
6．已知四棱锥如图所示，，，，平面平面，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）证明：取中点，连接
因为，
所以，
所以，
又，，
所以，，
四边形为平行四边形，
所以，
因为，分别是，的中点，
所以，，
所以，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．
（2）因为平面，且，
所以平面，
所以过点作平面的高，交平面于点，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为面面且面，面，
所以，
所以，
所以，
因为，
记到平面的距离为，
所以，
作，则有且，
所以，
所以，
所以，
所以到平面的距离为．