46.立体几何（探索性问题2） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份46.立体几何（探索性问题2） 2022届高三数学一轮复习大题练，共9页。试卷主要包含了如图，在三棱锥中，平面，等内容，欢迎下载使用。
（1）证明：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．
解：（1）证明：，，，
可得为的等边三角形，
由，，
，，
可得，，
而，可得平面；
（2）在棱上存在一点，且，使平面．
证明：连接，交于，
连接，交于，连接，
过作，交于，
由于，
所以，，
所以为的中点，
又为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
2．如图，在三棱锥中，平面，
（1）若，．求证：；
（2）若，分别在棱，上，且，，问在棱上是否存在一点，使得平面．若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由．
证明：（1）平面，平面，，
又，，平面，
平面，，
，，平面，
平面，
．
（2）存在，且，
理由如下：
如图，作的中点，连接，，
由，得，又，
，平面，平面，
平面，
又，分别为，的中点，
，平面，平面，
平面，
，平面，平面，
平面平面，
平面，平面．
3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是正三角形，为线段的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）若平面平面，在平面内确定一点，使的值最小，并求此时的值．
（1）证明：是正三角形，为线段的中点，
．
是菱形，．
又，是正三角形，
，而，
平面．
又，平面．
平面，平面平面；
（2）解：由，知．
，
又，
因此，的充要条件是，
．
即存在满足的点，使得，此时；
（3）解：延长到，使得，
由（1）知平面，
则是点关于面的对称点，
在平面中，过点作，垂足为，交于，则点是使的值最小的点．
设，则，
平面平面，平面平面，，
平面，平面，
，得，
，
，
得．
4．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是的中点．
（1）证明：平面；
（2）点为线段上一点，设，若平面，试确定的值．
解：（1）证明：取的中点，记，连接，，，
在中，，分别是，的中点，所以，
同理可得，
又因为，，
所以平面平面，
又平面，所以平面；
（2）解：因为底面是菱形，所以，
因为，，所以，则，
又因为是的中点，所以，
因为，所以平面，
则，
因为，，所以，
则，
则，所以，又因为，
所以平面，
若平面，
则与重合．故．
5．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值：若不存在，试说明理由．
解：（1）正四棱锥中，，，
侧面的高，
正四棱锥的表面积．
（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．
理由如下：
取中点为，因为，则，
过作的平行线交于，连接，．
在中，有，
平面，平面，平面，
又由于，
平面，平面，平面，
，平面平面，得平面，
由于，．
6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点．设平面与平面的交线为．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）在棱上是否存在点（异于点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：（1）证明：因为底面为平行四边形，
所以为中点，
又为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）证明：因为底面为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又平面，
又平面平面，
所以．
（3）假设存在上存在点（异于点，使得平面，
在平行四边形中，，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，
因为平面，平面，
，
所以平面平面，与平面与平面的交线为，矛盾，
所以在棱上不存在点（异于点，使得平面．