47.立体几何（距离问题1） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份47.立体几何（距离问题1） 2022届高三数学一轮复习大题练，共9页。试卷主要包含了如图，直三棱柱中，，，为的中点等内容，欢迎下载使用。
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）证明：是边长为3的正方形，，
平面，平面，
，
，平面．
平面，．
（2）平面，又，，平面，
，，，
又，，．
又，，平面，平面．
四边形是边长为3的正方形，，
在中，
又，，，
，，
在中，，又，，
在中，，又，，
在中，，，，．
，，
解得．
2．如图，棱长为2的正四面体中，是顶点在底面内的射影，是中点，平面与棱交于，是中点．
（1）求证：平面；
（2）求到平面的距离．
（1）证明：设直线与交于，
、平面直线平面平面，
又平面，是平面与平面的交线，
在上，
连，则且，
又是正三角形的中心，，
则且，四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
（2）连接，由（1）平面，又，
平面，
又，，
，
，，
则与平面，
则为到平面的距离，．
3．如图，直三棱柱中，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求到平面的距离．
（1）证明：连接交于点，连接，
在直三棱柱中，四边形为平行四边形，
则点为的中点，又因为为的中点，
所以，
又平面，平面，
故平面；
（2）解：设点到平面的距离为，
在直三棱柱中，平面，
则为三棱锥的高，
所以，
因为平面，则，
所以，
又因为平面，平面，
则，
又，，，平面，
则平面，又平面，
所以，
因为，则，，
由等体积法，
则，解得，
所以点到平面的距离为．
4．如图所示的斜三棱柱中，点在底面的投影为边的中点，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
（1）证明：，，，，即，
点在底面的投影为边的中点，平面，可得，
，平面，
而平面，平面平面；
（2）解：由已知可得，，，
点到平面的距离为，
平面，点与点到平面的距离相等，等于，
且，
又由，，，得，，
在中，由，得．
由（1）知平面，，
．
设点到平面的距离为，由等体积法可知：，
即，即．
点到平面的距离为2．
5．如图，三棱锥中，，分别是棱，上的点，且平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面，，，为线段的中点，求到直线的距离．
解：（Ⅰ）证明：平面，平面，平面平面，
又平面，平面，
平面．
（Ⅱ）因为平面，平面，平面，
所以有，，又有，
所以可以建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
又由，为线段的中点可得各点坐标为，0，，，4，，，0，，，0，，，0，，
即
所以到直线的距离，
即到直线的距离为．
6．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，顶点在底面上的投影为，侧棱与底面所成角的正切值为．
（1）证明：平面．
（2）若为的中点，求到平面的距离．
解：（1）证明：因为四棱锥的底面是的菱形，且，所以是等边三角形；
因为，所以三棱锥是正三棱锥，
所以顶点在底面上的投影为为正的中心；
又，所以；
因为，，所以平面；
（2）由（1）可得就是侧棱与底面所成的角，
因为侧棱与底面所成角的正切值为．，．
四棱锥的底面是边长为的菱形，，，顶点在底面上的投影为，
，，
如图、连结交于，．
．
，
为直角三角形斜边上的中点，，
，，可得，
等腰三角形的面积．
设到平面的距离为．由，
可得，解得．