45.立体几何（探索性问题1） 2022届高三数学一轮复习大题练

这是一份45.立体几何（探索性问题1） 2022届高三数学一轮复习大题练，共10页。试卷主要包含了如图，在三棱锥中，，，平面平面等内容，欢迎下载使用。
（1）求证：；
（2）已知，，则棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：因为平面平面，
平面平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
又，而，平面，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
（2）存在点，满足时，使得平面平面．
理由如下：
在平面内，因为，，即，
所以．
又因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面．
又，平面，又平面，
故平面平面．
故存在点，满足时，使得平面平面．
2．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且．
（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
（1）证明：如图，连接，且与的交点为，
因为，，，
所以，
故，
因为，
则，
故，即，
又，且，，平面，
所以平面，
因为平面，则，
在中，，则，
又，，平面，
故平面；
（2）解：线段上存在一点，点为靠近点的三等分点，使得三棱锥的体积为．
证明如下：
如图，过点作于点，取的中点为，连接，
因为直角梯形中，有，，且，，
所以且，，
则，
因为且，
故，
由（1）可知，平面，平面，
所以，
因为，且，，平面，
所以，
则平面，即平面，
所以线段的长即为三棱锥的高，
由等体积法，
解得，
所以，
故线段上存在一点，点为靠近点的三等分点，使得三棱锥的体积为．
3．如图，在底面半径为2、高为4的圆柱中，，分别是上、下底面的圆心，四边形是该圆柱的轴截面，已知是线段的中点，是下底面半圆周上靠近的三等分点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）在底面圆周上是否存在点，使得平面？若存在，请找出符合条件的所有点并证明；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为圆柱的底面半径为2、高为4，是线段的中点，是半圆周上的三等分点，
所以三棱锥的体积为：
．
（2）存在点，为的中点，使得平面．理由如下：
连接，因为、是半圆周的三等分点，
所以；
又，所以为等边三角形，所以，
所以；
又平面，平面，所以平面；
由是圆柱的轴截面，所以四边形是矩形；
又因为、分别是、的中点，所以，即；
又平面，平面，所以平面；
且，平面，平面，
所以平面平面；
又平面，所以平面．
4．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面平面，且是正三角形，点是的中点，点，分别在棱，上．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，，共面，求证：；
（Ⅲ）在侧面中能否作一条直线段使其与平面平行？如果能，请写出作图的过程并给出证明；如果不能，请说明理由．
解：证明：是正三角形，点是的中点，
，
又平面平面，平面平面，
平面，
平面，
．
证明：又底面是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
平面平面，平面，
．
（Ⅲ）取的中点，取的中点，连接，，，
是的中位线，
，，
点是的中点，且，，
则，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面，
平面，在平面中能作出直线段．
5．如图，在正四棱锥中，点，分别在棱，上，且．
（1）证明：平面．
（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：（1）证明：如图，连接，记，连接，
由题意可得四边形是正方形，，
则为的中点，且，
因为，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
因为，所以，
则平面．
（2）设存在点满足条件，连接，，记，连接，
取的中点，连接，
因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面平面，
所以，则，
由（1）可知，所以，
所以，
因为为的中点，所以，
所以，
故存在满足条件的点，此时．
6．如图，点是正方形两对角线的交点，平面，平面，，是线段上点，且．
（1）证明：三棱锥是正三棱锥；
（2）试问在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：设，
则，
是正三角形，
连接，，因为，
，，，
在中，由，知．
又平面，所以．
，，
平面，
．
又，平面，，
平面，
在线段上取点，使得，则点是的重心，也就是的中心，
连接，则，
平面，
三棱锥是正三棱锥．
（2）平面与平面有公共点，
由基本事实3可知：平面与平面是相交平面，
，平面，平面，
平面，
假设存在这样的点，使得平面，
点与点不重合，
与是相交直线，
又平面，平面，且平面，平面，
平面平面．
这与平面和平面是相交平面矛盾．
不存在一点，使得平面．