50.立体几何（线面角2） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练50—立体几何（线面角2）1．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）（ⅰ）求证平面；（ⅱ）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．解：（1）取的中点，连接，，，，，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）（ⅰ）因为平面，平面，平面，所以，，又因为，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知可得，0，，，0，，，4，，，2，，，0，，，1，，所以，，，，4，，，0，，因为，，所以，，由，平面，平面，所以平面．（ⅱ）由（ⅰ）可知平面，，，可作为平面的法向量，设，即，，，所以，，，即有，，，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，．即，解得，即．2．如图，在直三棱柱中，，，为的中点．（1）若为上的一点，且，求证：；（2）在（1）的条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的余弦值．（1）证明：取中点，连接，，有，因为，所以，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，因为平面平面，所以平面，因为平面，所以．因为为的四等分点，为的中点，所以，又因为，，所以，又，所以面，，．（2）解：如图以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．设，由条件可知，所以，所以，所以，所以，设平面的法向量为，，，则，即，则的一组解为，所以．所以直线与平面所成角的余弦值为．3．如图，在四棱柱中，四边形为正方形，各棱长均为1，．（1）证明：；（2）若，侧棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．（1）证明：如图，连接，，，记，连接．因为，，，△△，所以．因为四边形为正方形，所以为的中点，所以．因为四边形为正方形，所以．因为平面，平面，且，所以平面．因为平面，所以．（2）解：连接．因为四边形是边长为1的正方形，所以．因为，且，所以．由（1）可知，所以，所以，则，且．因为平面，平面，且，所以平面．设点到平面的距离为．因为，所以，解得．因为平面，所以点到平面的距离为．假设存在满足条件的点，则，即．过作，垂足为，连接，则点在的延长线上，．设，则，从而，解得．因为点在棱上，所以，所以假设不成立，即不存在点，使得与平面所成角的正弦值为．4．在三棱锥中，，，．（1）求证：；（2）若，当直线与平面所形成的角的正弦值为时，求的值．（1）证明：取的中点，连接，．，为的中点．，为的中点．，，平面，又平面，．（2），，，，，，如图，以为坐标原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系．则，，0，，，1，，，0，1，，，则，1，，，，，设平面的法向量为，，，则，取，可得平面的法向量，又，设直线与平面所形成的角为，则，，化简得，解得．5．如图，在四棱台中，底面是菱形，，平面，．．（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：在菱形中，，因为平面，平面，则，又，，平面，所以平面，在四棱台中，与相交，则，，，四点共面，所以平面；（2）解：令与的交点为，连接，在△中，由余弦定理可得，，由勾股定理可得，，则平面，则，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，所以，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．6．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”．如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．（1）求证：；（2）试验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．解：（1）证明：平面，平面，，又，，平面，平面，平面，平面．．（2）法一：如图，以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，0，，，8，，，0，，，0，，，，，设为平面的法向量，则，即，令，则，设直线与平面所成角为，则．法二：在中，由，得，在中，由，得，在中，由，得，中，由，得，中，由，，，设点到平面的距离为，由，得，即，设直线与平面所成的角为，则．