数学人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆第二课时复习练习题

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1．（2020·全国高二课时练习）若直线没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．2个B．至多一个C．1个D．0个
【答案】A
【解析】直线没有交点，故
点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆=2内切于椭圆，，故点P(m,n)在椭圆内，则过点的直线与椭圆的交点个数为2个
2．（2018·全国高二课时练习）如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆+y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设过点M（-2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），
联立 ，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0，
∵过点M（-2，0）的直线l与椭圆有公共点，
∴△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）≥0，
整理，得k2≤ 解得
∴直线l的斜率k的取值范围是 故选：D
3．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆与直线有公共点，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由，得．
因为直线与椭圆有公共点，所以，
即，解得．
4．当取何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．
【答案】详见解析
【解析】将代入中，化简得，其判别式.当，即时，直线和椭圆相交，当，即时，直线和椭圆相切.当，即或时，直线和椭圆相离.
【题组二 弦长】
1．（2019·广西百色田东中学高二期中（文））椭圆被直线截得的弦长为________.
【答案】
【解析】由 消去y并化简得
设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则
所以弦长. 故填.
2．（2020·辽宁葫芦岛高二期中（文））已知椭圆及直线．
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程．
【答案】（1）；（2）直线被椭圆截得的最长弦长为；此时
【解析】（1）将直线方程与椭圆方程联立得：
即：
直线和椭圆有公共点 ，解得：
（2）由（1）可知，直线与圆相交时，，即
设直线与椭圆交于，
则，
当时，，则
直线被椭圆截得的最长弦长为；此时
3（2020·武威市第六中学高二月考（理））点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线被椭圆截得的弦长为，求的值
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为．
可得，解得，进而，
所以椭圆方程为：.
（2）设直线与曲线的交点分别为
联立得,
,即
又，
，化简，
整理得，∴，符合题意.综上，.
4.（2020·四川双流中学）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上短轴长为2，离心率为，过左顶点的直线与椭圆交于另一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的倾斜角.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由题意的，则得到椭圆方程为.
（2）由题意直线的斜率存在，因为左顶点为，
设直线的方程为，代入椭圆方程，得到
，
因为一个根为，则另外一个根为，
则，
化简，即，，
则倾斜角或.
5．（2019·四川高二期末（文））已知椭圆.
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】（1）椭圆，椭圆长半轴长为，短半轴长为，
；
（2）设斜率为的直线的方程为，且、，
，椭圆的方程为，
由，.消去得，又有.
，解得：满足，直线的方程为.
故到直线的距离，.
【题组三 点差法】
1．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），
则有①，②，
①﹣②式可得：
又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，
∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0
即得kEF=
∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：D．
2．（2020·湖北宜都二中高二期末（理））椭圆中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设弦的两端点为，，代入椭圆得，
两式相减得，
即，
即，即，
即，∴弦所在的直线的斜率为，故选A.
3．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是______．
【答案】.
【解析】设直线l与椭圆的交点为
因为弦恰被点 平分，所以
由，两式相减可得：
化简可得：，因为直线l的斜率为，所以
即所以离心率 故答案为
4．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2(O为原点)，则k1·k2的值为________.
【答案】－
【解析】设直线的方程为：，由，整理得
：，所以，，
所以，所以
，，所以
5．（2019·甘肃兰州一中高二期末（理））椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】把y＝1﹣x代入椭圆ax2+by2＝1得ax2+b（1﹣x）2＝1，
整理得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，y1+y2＝2，
∴线段AB的中点坐标为（ ，），
∴过原点与线段AB中点的直线的斜率k．
∴．故选：A．
6．（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是______.
【答案】2
【解析】椭圆，所以焦点在x轴上
因为过左焦点作的直线斜率为－2， P是AB的中点，设，
将A、B坐标代入椭圆方程，可得 ，两式相减，化简得
，即
进一步化简得，代入解得a=2