高中数学3.1 椭圆优秀练习题

这是一份高中数学3.1 椭圆优秀练习题，文件包含312椭圆的简单几何性质精讲解析版docx、312椭圆的简单几何性质精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共93页， 欢迎下载使用。

3.1.2椭圆的简单几何性质（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：根据椭圆的标准方程研究其几何性质
重点题型二：根据椭圆的几何性质求其标准方程
重点题型三：求椭圆的离心率的值(或取值范围)
角度1：求椭圆的离心率
角度2：求椭圆的离心率的取值范围
重点题型四：直线与椭圆的位置关系
重点题型五：弦长
重点题型六：中点弦和点差法
重点题型七：椭圆的定点、定值、最值问题
重点题型八：椭圆中的向量问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局

第二部分：知 识 点 精 准 记 忆


知识点一：椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程
（）
（）
范围
，
，
顶点
，，
，


轴长
短轴长＝，长轴长＝
焦点


焦距

对称性
对称轴：轴、轴　对称中心：原点
离心率
，
知识点二：椭圆的简单几何性质
离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （）
当越接近1时，越接近，椭圆越扁；
当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；
当且仅当时，图形为圆，方程为
知识点三：常用结论
1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
知识点四：直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆的相交弦
直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长

弦长
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
（2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为
运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即 ，故
结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
（3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，
．求：的面积（用、、表示）．
设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．
由余弦定理知： · ①
由椭圆定义知： ②，则得
故
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试

1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）椭圆的长轴长等于a．( )
（2）椭圆上的点到焦点的距离的最小值为．( )
（3）椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．( )
（4）若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称．( )
【答案】     ×     √     √     √
（1）长轴长为，故错误；
（2）椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，正确；
（3）椭圆的离心率e越小，椭圆越圆，正确；
（4）若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称，正确.
2．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）过椭圆外一点只能作一条直线与椭圆相切．( )
（2）直线与椭圆不一定相交．( )
（3）过点的直线有且仅有一条与椭圆相切．( )
（4）直线与椭圆只有一个交点直线与椭圆相切．( )
【答案】     错误     错误     正确     正确
（1）过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切，故错误；
（2）直线与椭圆一定相交，故错误；
（3）点是椭圆的一个顶点，所以过点的直线有且仅有一条与椭圆相切，故正确；
（4）直线与椭圆只有一个交点直线与椭圆相切，故正确.
3．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3，0.8          B．10，6，0.8          C．5，3，0.6          D．10，6，0.6
【答案】B
由题可知：椭圆，则
所以长轴长、短轴长、离心率依次是10，6，0.8
故选：B
4．（2022·全国·高二课时练习）设是椭圆上任意一点，则m的取值范围是_________．
【答案】
由题可知：
5．（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的位置关系是( )
A．相离          B．相切          C．相交          D．无法确定
【答案】C
联立，则
所以直线与椭圆相交
故选：C
6．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于A，B两点．若，则的值为( )
A．10          B．12          C．16          D．18
【答案】B
由题可知：|AF1|+|BF1| +|AB|=4a=20，所以|AF1|+|BF1| =12
故选：B
第四部分：典 型 例 题 剖 析


重点题型一：根据椭圆的标准方程研究其几何性质
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)；
(2)．
【答案】(1)长轴长为6，短轴长为2，离心率为，焦点坐标为与，顶点坐标为，，，
(2)长轴长为，短轴长为4，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为.
【解析】
(1)整理为：，焦点在x轴上，则，，，所以长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为与，顶点坐标为，，，
(2)，整理为：，焦点在y轴上，则
，，所以，长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为，顶点坐标为
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标，并以矩形为参照画出椭圆的图形：
(1)；
(2).
【答案】(1)答案见解析，作图见解析
(2)答案见解析，作图见解析
(1)解：椭圆的标准方程为，，，，
该椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，
焦点坐标为、，顶点坐标为、、、，
作出椭圆的图象如下图所示：

(2)解：椭圆的标准方程为，则，，，
该椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，
焦点坐标为、，顶点坐标为、、、，
作出椭圆的图象如下图所示：

重点题型二：根据椭圆的几何性质求其标准方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件求椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，长轴长等于20，离心率等于；
(2)焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点；
(3)在轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.
【答案】(1)(2)(3)
(1)由题意知2a＝20，e＝，
所以a＝10，c＝8，从而b＝6.
又因为焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为；
(2)由题意知焦点在y轴上，所以b＝3.
又因为长轴长是短轴长的3倍，所以a＝9，
从而椭圆的标准方程为；
(3)设椭圆的标准方程为(a>b>0)，短轴的两顶点分别为A1，A2，
则△A1FA2为等腰直角三角形，
所以b＝c＝4，从而a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的标准方程为.
同类题型归类练
1．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求离心率，焦点在x轴，且经过点的双曲线标准方程.
【答案】（1）；（2）.
（1）设椭圆的标准方程为.
由题意知：；.
.
所以椭圆的标准方程为.
（2）设双曲线的标准方程为.则

所以双曲线的标准方程为.
2．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（理））（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求离心率，经过点的双曲线标准方程．
【答案】（1）；（2）
（1）由题意得，故，椭圆标准方程为
（2）①若双曲线焦点在x轴上，设其方程为，由题意，而
故，由解得，故双曲线标准方程为
②若双曲线焦点在轴上，设其方程为，同理，此时将代入后方程无解
综上，双曲线标准方程为
重点题型三：求椭圆的离心率的值(或取值范围)
角度1：求椭圆的离心率
典型例题
例题1．（2022·云南红河·高二期末）已知点，分别是椭圆的右、上顶点，点为椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C

由已知得：，，
所以，
由得：
所以
所以
由得：
所以     
故选：C
例题2．（2022·贵州黔西·高二期末（理））已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为椭圆的离心率为，
所以，解得，
则椭圆的离心率.
故选：C.
例题3．（2022·江西九江·三模（理））油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，由正弦定理得，解得，则
故选：D.
例题4．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：1的左、右焦点为为坐标原点为椭圆上一点．与轴交于一点则椭圆的离心率为___．
【答案】##
因为，所以∠
设，．
如图所示，由题意：，|，
可得．则，，．
可得，，
．
，化为：．
故答案为：．

同类题型归类练
1．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
在椭圆中，由椭圆的定义可得，
因为，所以，在中，，
由余弦定理得，
即所以所以的离心率.
故选：C
2．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（文））黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
焦点在轴上的椭圆中，，，
所以．
由题意得，即，即，
解得．
故选：A．
3．（2022·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
设双曲线、椭圆的焦距分别为、，离心率分别为、，
则，可得，
所以，椭圆的焦点在轴上，则.
故选：C.
4．（2022·贵州遵义·高二期末（理））椭圆C：左右焦点分别为，，P为C上除左右端点外一点，若，，则椭圆C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：如图在中，

，即①
，即②
且，
故①+②得：，即.
所以 ，代入到中，整理得：
，故两边除以得：
解得：或，又，所以.
即椭圆C的离心率为.
故选：D.
5．（2022·河南新乡·高二期末（理））画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为椭圆的离心率，所以.
因为，所以，
所以椭圆的蒙日圆的半径为.
因为，所以为蒙日圆的直径，
所以，所以.
因为，当时，等号成立，
所以面积的最大值为：.
由面积的最大值为36，得，得，进而有，，
故椭圆的长轴长为.
故选：B
角度2：求椭圆的离心率的取值范围
典型例题
例题1．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（文））已知点、为椭圆的长轴顶点，为椭圆上一点，若直线，的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题得：，所以
故选：A．
例题2．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．.
【答案】B
由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以.
故选：B
例题3．（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是_________
【答案】
如图示，由椭圆定义可得 ,
则的周长为4a,设，
设内切圆半径为，的内切圆的周长是，
故 ，
由题意得 ，

得，由于，故，
所以由可得，
故答案为：
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
【答案】
由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由椭圆的几何性质，知，
所以且，
所以且，
即且，
结合，可解得．
故答案为：.
例题5．（2022·浙江宁波·二模）已知点A是椭圆：的左顶点，过点A且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）.以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点.若，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】
要使，只要，只要，
即只要.
∵直线方程为：，

联立 ，
得，即（*）
注意到为方程（*）的一个根，故，
所以点，可得，
由于 ,故，
令，得，
即
所以离心率的取值范围是，
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·重庆一中高一期末）已知A，B为椭圆E的左，右焦点，点M在E上，为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
解：依题意设椭圆方程为，
①若为等腰三角形的顶角，则在椭圆的上（下）顶点，如下图所示：

则，所以，则，
又，所以，所以；
②若（或）为等腰三角形的顶角，不妨取为顶角，如下图所示：

即，，又，
所以，
由余弦定理，
即，
即，
所以，解得或（舍去）
综上可得或.
故选：D．
2．（2022·河南开封·高二期末（文））已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为是的中点，是的中点，所以，
因为平分，所以，
因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．
故选：A．
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知点F为椭圆的左焦点，O为坐标原点，过椭圆的右顶点作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为____________．
【答案】

设，其中，右顶点为，由，则，，
又由，有，
又由，有，当且仅当时取等，
整理为，可得，解得．
故答案为：.
4．（2022·全国·高二专题练习）设是椭圆的离心率，若，则的取值范围是_________.
【答案】
解：当时，，所以，
所以.
当时，，所以，
所以.
所以的取值范围是.
故答案为：
5．（2022·全国·高三专题练习）设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．
【答案】
设点，易知，，则，
故点的轨迹为圆，由题意可知，圆与椭圆相交，

由图可知，即，可得，又因为，故．
故答案为：．
重点题型四：直线与椭圆的位置关系
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的交点个数为（    ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
由题意，椭圆，可得，
则椭圆的右顶点为，上顶点为，
又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.
故选：C.
例题2．（2021·全国·高二课时练习）直线：，椭圆，则直线和椭圆的位置关系是__．
【答案】相离
解：直线：，椭圆，联立可得，
，方程组无实数解，即直线与椭圆无交点，故直线和椭圆相离．
故答案为：相离
例题3．（2021·全国·高二专题练习）若直线与焦点在轴的椭圆恒有两个公共点，则实数的范围_____．
【答案】
直线恒过定点，要保证直线与椭圆有两个公共点，定点需在椭圆内，∴，又∵椭圆的焦点在轴上，∴．
故答案为：(2，4)﹒
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（       ）
A．0或1 B．2 C．1 D．0
【答案】B
由题意，得，故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过点的直线与该椭圆必有2个交点．
故选：B
2．（2022·江苏·高二）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（       ）
A．0 B．1
C．2 D．需根据a，b的取值来确定
【答案】C
因为直线和圆没有公共点，
所以原点到直线的距离，即，
所以点是在以原点为圆心，为半径的圆内的点，
又因为椭圆，可得，
所以圆内切于椭圆，所以点在椭圆的内部，
所以过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.
故选：C.
3．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）直线：与椭圆的位置关系是____________.
【答案】相交
由已知直线过定点，在椭圆内部（为椭圆的右焦点，椭圆中），所以直线与椭圆相交．
故答案为：相交．
重点题型五：弦长
典型例题
例题1．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
设直线AB方程为，联立椭圆方程
整理可得：，设，
则，，根据弦长公式有：
=．故B，C，D错误.
故选：A.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角的直线，直线与椭圆交于，两点，则______．
【答案】##
∵椭圆方程为，∴焦点分别为，，
∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°，∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y，得．设，，可得，，
∴，因此，．
故答案为:．
例题3．（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是_________
【答案】
如图示，由椭圆定义可得 ,
则的周长为4a,设，
设内切圆半径为，的内切圆的周长是，
故 ，
由题意得 ，

得，由于，故，
所以由可得，
故答案为：
同类题型归类练
1．（2021·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由椭圆得，，所以，
所以右焦点坐标为，则直线的方程为，
设，
联立，消y得，，
则，
所以.
即弦长为.
故选：C.
2．（2021·全国·高二专题练习）已知斜率为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于、两点，则弦的长为______________.
【答案】##
椭圆的右焦点为，直线的方程为，
联立得，，
设点、，由韦达定理可得，，
.
故答案为：.
3．（2021·全国·高二单元测试）过双曲线C：（）的一个焦点和C两支都相交的直线l与椭圆相交于点A，B，若C的离心率为，则的取值范围是______.
【答案】
双曲线C：的实半轴长为2，虚半轴长为b（），
由C的离心率为，
得，
即.
∴.
椭圆方程为，如图：

不妨取双曲线的左焦点，
由图可知，直线l截椭圆所得弦长的最大值为4；
设过的直线方程为，
联立，
可得.①
由，
解得.可知当时，直线与椭圆相切；
要使直线与双曲线C两支都相交，则；
而当时，
①化为；
设，，
则，.
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于，两点，则弦的长为__________．
【答案】
由题意知椭圆的右焦点的坐标为,直线的方程为,
联立,消去,得,
设,,得,,
则
故答案为：
重点题型六：中点弦和点差法
典型例题
例题1．（2021·全国·高二课时练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
设直线交双曲线于点、，则，
由已知得，两式作差得，
所以，，即直线的斜率为，
故直线的斜率为，即.经检验满足题意
故选：B.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
设点，依题意，，
相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，
又为线段的中点，则，，因此有，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A
例题3．（2022·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
【答案】
设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，
设中点坐标为，则，
所以，两式相减可得，
，即，
由于在椭圆内部，由得，
所以时，即直线与椭圆相切，
此时由解得或，
所以，
所求得轨迹方程为．
故答案为：．
例题4．（2021·黑龙江·大庆中学高二期中）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点且线段的中点为，则直线的斜率为________.
【答案】
解：由题意可得，整理可得，
设，则，
两式相减可得，
的中点为，，
则直线斜率.
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·四川南充·高二期末（文））过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，
则有，两式相减得：，
而，且，即有，
又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，
所以椭圆的方程为.
故选：A
2．（2022·湖南·永州市第一中学高二阶段练习）已知椭圆的一个顶点为，直线与椭圆交于两点，若的左焦点为的重心，则直线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：设，，，，椭圆的左焦点为，
点，且椭圆左焦点恰为的重心，
，
，①
，，
两式相减得：
将①代入得：，即直线的斜率为，
直线 过中点，
直线的方程为
所以直线的方程为.
故选：B
3．（2022·江苏常州·高二期末）将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB中点坐标为M（1，），那么直线l的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
设点为曲线C上任一点，其在上对应在的点为，则
，得，
所以，
所以曲线C的方程为，
设，则
，
两方程相减整理得，
因为AB中点坐标为M（1，），
所以，即，
所以，
所以，
所以直线l的方程为，即，
故选：A
4．（2022·上海市行知中学高二期中）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为______.
【答案】##
由题意，设，因为的中点为，所以.
又.
于是，即所求直线的斜率为.
故答案为：.
5．（2021·江西·九江一中高二期中）过点作椭圆的一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为__________．
【答案】
解：设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，由于点为弦的中点，则，得，
由题意得，两式相减得，
所以，直线的斜率为，
所以，弦所在的直线方程为，即．
故答案为：.
重点题型七：椭圆的定点、定值、最值问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）如图，过原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于另一点，求证：为定值．

【答案】证明见解析
证明　设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(－x1，－y1)，C(x1，0)，
可得kAB·kPB＝·
－.
又kAC＝，kPA＝，所以kPA＝2kAC，从而kPA·kPB＝－1，为定值．
例题2．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点．
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)若线段，的中点分别为，，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；定点.
(1)根据题意直线，的斜率均存在且不为0
直线，分别为，，
联立得，
由得，则或，
同理，则，
所以k的取值范围为．
(2)设，，由（1）得，
所以，则，
所以，则，
同理，
则直线的方程为，
化简整理得
因此直线经过一个定点．
例题3．（2022·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)设椭圆的半焦距为，，
将代入得，
所以，
因为点是椭圆上一动点，所以，
所以面积，
由，求得，
所以椭圆的方程为：.
(2)由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，
整理可得，
因为直线与椭圆相切，
所以，得，
因为椭圆的右焦点为，将代入直线得，所以，
所以，
将代入直线可得，所以，
所以，
，将代入上式，
得，所以为定值.
例题4．（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知椭圆M的短轴长为，焦点坐标分别为和.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)斜率为的直线与椭圆交于､两点，若线段的中点为，为坐标原点，且直线的斜率存在，试判断与的乘积是否为定值，若是请求出，若不是请说明理由.
【答案】(1)；
(2).
(1)由题可设椭圆的方程为，
则，
∴
∴椭圆M的标准方程为；
(2)设，，，，则，，，
两式相减得，
∴，
而弦的中点，则有，
所以，即k与kOP的乘积为定值.
同类题型归类练
1．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上，过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线与椭圆相交于两点，且四边形的面积为6.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
(3)轴上有一点，直线过点且与椭圆相交于两点，若的值与的取值无关，求直线的斜率.
【答案】(1)(2)(3)
(1)由题意，知，把代入椭圆方程有，，
，，
点在椭圆上，，，
则椭圆的标准方程为；
(2)由题意知，，
设，，则，
则；
(3)由题意知斜率存在，设直线的方程为，
联立方程有，
△
设，，，，，，





．
要使的值与的取值无关，则，
，
则直线的斜率为．
2．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
(1)依题意，，
∴，
又，，
∴，∴
∴椭圆的标准方程为.
(2)由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，，，
由得，，
∴，
∴，，
∴直线的斜率
∴直线的斜率，令得点坐标为，
∴直线的方程为，即
∴直线恒过定点.
3．（2022·四川凉山·高二期末（理））已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)由题意知，，
根据得：，故：椭圆C的标准方程为．
(2)依据题意可设，，则，．
因此，又因为在椭圆C上，满足，
即，所以：，得证．
4．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知，为椭圆：的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，过点的直线交于，两点.
(1)求的方程；
(2)若直线的斜率不为0，过，作直线的垂线，垂足分别是，，设与交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：因为过且垂直于轴的直线被截得的弦长为3，
所以，①                    
因为的右焦点为，所以，②
联立①②可得，，
所以的方程为.
(2)证明：当直线的斜率不存在时，易知，，，
所以.                    
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立与，
得，
设，，
则，，恒成立，       
由题可知，，
则的方程为，①
的方程为，②
②－①得，       
因为，所以
，
所以



，
所以，所以的横坐标为，             
又，，所以为垂直平分线上一点，所以.
综上，.
重点题型八：椭圆中的向量问题
典型例题
例题1．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线经过点，且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或．
(1)解：设椭圆的标准方程为，
抛物线的焦点为，
依题意，解得．
∴椭圆的标准方程为．
(2)解：由题意得直线的斜率存在，设直线方程为，
则由，消去整理得，且．
设，，∴，
由得，
∴消去得，解得 ，，
所以直线的方程为，即或．
例题2．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
(1)由题可得,，又，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
(2)由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消去，整理得：，
设，则，，
又，则，由可得，所以.
同理可得，.
所以

所以，为定值.
同类题型归类练
1．（2021·陕西·铜川市第一中学高二阶段练习（理））已知椭圆：的焦距为，圆：经过点.
(1)求椭圆与圆的方程；
(2)若直线：与椭圆C交于点A，B，其中，问：是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
【答案】(1)椭圆C：，圆O：
(2)为定值，且该定值为0
(1)设椭圆C的半焦距为c，
根据题意得
又∵经过点，
∴，
解得
∴椭圆C的方程为，圆O的方程为.
(2)设联立l与椭圆方程，
化简整理得
则
∵
∴




综上所述，为定值，且该定值为0.
2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））已知曲线C上动点到定点与定直线的距离之比为常数．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)以曲线C的上顶点T为圆心作半径为的圆，设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程．
【答案】(1)
(2)最小值为，
(1)动点到定点与定直线的距离之比为常数
∴；化简整理得：
(2)点与点关于轴对称，设，，不妨设．
由于点在椭圆上，所以．
由已知，则，，
∴
由于，故当时，取得最小值为．
此时，
故圆T的方程为．
3．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））已知A，B分别为椭圆C：的上、下顶点，F为C的右焦点，，点P（2，－1）在C上，且点P关于x轴的对称点为Q．
(1)求C的方程；
(2)设O为坐标原点，M，N是C上两动点，其中M在第四象限内且在点P的右侧，PQ平分∠MPN，求证．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：由题意可知，A（0，b），B（0，－b），F（c，0），
则，，
由得．①            
由题意可知点P（2，－1）在C上，
所以，②        
又，③
由①②③得，，       
故C的方程为．
(2)证明：如图所示：

由（1）可知轴，
因为PQ平分∠MPN，
所以直线PM，PN关于直线对称，
所以，       
易知直线PM的斜率存在，且不为0，
设直线PM的斜率为k，则直线PN的斜率为－k，
则直线PM的方程为，
即，
直线PN的方程为，
．
联立，整理得，
设，则，所以，       
同理设，则．        
所以直线MN的斜率为，
．          
又知OP的斜率为，
所以，所以，          
故．
第五部分：新 定 义 问 题


1．（2022·全国·高三专题练习（理））德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.“黄金三角形”有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的“黄金三角形”被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).已知一个“黄金椭圆”的左焦点，右顶点，上顶点构成直角三角形，其离心率为.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
解析，，.
因为是顶角为的等腰三角形，所以，则，，而，所以.
故选：C
2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确的是（       ）

A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【答案】C
由，，得，故①符合题意；
由图可知，，，故②不符合题意；
，，
，，
，故④不符合题意，③符合题意.
故选:C．
3．（2022·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，
∴，设切线为，切线为，
∴，整理得，由知：
，整理得，
同理，，可得，
∴，即，故.
故选：B.
4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则

A． B． C．D．
【答案】ABD
因为地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得 ，（*）
，故A正确；
，故B正确；
（*）两式相加，可得，故C不正确；
由（*）可得 ，两式相乘可得
，
，故D正确.
故选ABD
5．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（理））在平面上给定相异两点A,B，设P点在同一平面上且满足，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆,A,B为椭圆的长轴端点，C,D为椭圆的短轴端点，动点P满足，△PAB面积最大值为 ,△PCD面积最小值为，则椭圆离心率为______．
【答案】
依题意，设，依题意的,，两边平方化简得，故圆心为，半径.所以的最大面积为，解得，的最小面积为，解得.故椭圆离心率为.
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验


1．（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：，
设，则，
则，
故，
又，则，
所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
2．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
3．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.


4．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】(1)
(2)
（1）解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点
5．（2022·北京·高考真题）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
【答案】(1)
(2)
（1）解：依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为；
（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得