物理必修12 共点力平衡条件的应用学案

共点力平衡条件的应用

共点力作用下物体的平衡分类

1．观察下面几个物体的运动，分析物体是不是处于平衡状态，是平衡状态的有(1)(2)(3)(4)。

(1)物体m置于木板上，缓缓抬高木板的过程中，物体相对于木板一直处于静止状态。

(2)固定球的时候把A端的绳子缠紧的过程。

(3)静止在斜面上的木块

(4)做匀速直线运动的汽车。

2．分类原则：物体所受外力是否变化。

3．静态平衡：物体处于平衡状态，所受合外力大小、方向均不发生变化。如(3)(4)中的物体。

4．动态平衡：物体处于平衡状态，所受的外力大小或方向可能发生变化。如(1)(2)中的物体。

知识点一　静态平衡

1．解决共点力平衡问题的一般步骤：

(1)选取研究对象，对于由相互作用的两个或两个以上的物体构成的系统，应明确所选研究对象是系统整体还是系统中的某一个物体(整体法或隔离法)。

(2)对所选研究对象进行受力分析，并画出受力分析图。

(3)对研究对象所受的力进行处理。对三力平衡问题，一般根据平衡条件画出力合成的平行四边形。对四力或四力以上的平衡问题，一般建立合适的直角坐标系，对各力按坐标轴进行分解。

(4)建立平衡方程。对于四力或四力以上的平衡问题，用正交分解法列出方程组。

(5)解方程或方程组求出答案。

2．静态平衡的求解方法：

(1)合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。

(2)分解法：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件。

(3)正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件。

(4)力的三角形法：对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力。

情境：粮食站的履带车

讨论：粮食站的履带车载着粮食匀速运动阶段，粮食的受力情况是否平衡？

提示：由于粮食做匀速直线运动，合力为零，所以受力平衡。

【典例】如图所示，质量为m的足球用三根轻质细绳OA、OB和OC悬挂，其中OB绳与竖直方向的夹角为θ(θ＜45°)，重力加速度为g。则OA绳中拉力大小为(　　)

A．mg    B．mg sin θ    C．mg cos θ    D．mg tan θ

【解析】选D。以结点O为研究对象，受力如图所示：

根据平衡条件得：T1＝mg tan θ，故OA绳中拉力大小为mg tan θ。故A、B、C错误，D正确。故选D。

1．如图所示为汽车千斤顶的示意图，千斤顶主要由轻杆OA、OB及平台组成，若作用在汽车千斤顶平台处的压力为F，不考虑平台的重力，则OA杆受到力的大小是(　　)

A.F tan θ    B．    C．F sin θ    D．

【解析】选B。根据题意，对千斤顶O点受力分析如图：

由平衡条件得：F1＝。故A、C、D错误，B正确。故选B。

【加固训练】

如图所示，重力为40 N的物体，放在倾角为30°的光滑斜面上，弹簧秤对物体的拉力与斜面平行，物体在斜面上保持静止时，弹簧秤示数为(　　)

A.20 N　   B．35 N

C．40 N      D．80 N

【解析】选A。物体受重力、支持力和拉力，三力平衡，拉力等于重力的下滑分量，故：F＝G sin 30°＝40×0.5 N＝20 N，故A正确，B、C、D错误。

2.如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上。物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为(　　)

A．cos θ＋μsin θ　  B．cosθ－μsin θ

C．1＋μtan θ      D．1－μtan θ

【解析】选B。F1作用时，物体的受力情况如图甲，根据平衡条件得

F1＝mg sin θ＋μFN，FN＝mg cos θ

解得：F1＝mg sin θ＋μmg cos θ

F2作用时，物体的受力情况如图乙，根据平衡条件得F2cos θ＝mg sin θ＋μFN′，

FN′＝mg cos θ＋F2sin θ

解得：F2＝，

所以＝cos θ－μsin θ，故选B。

知识点二　动态平衡问题的分析方法

(1)解析法：

①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。

②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。

(2)图解法：

①适用情况：一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。

②一般步骤：a.首先对物体进行受力分析，根据力的平行四边形定则将三个力的大小、方向放在同一个三角形中。b.明确大小、方向不变的力，方向不变的力及方向变化的力的方向如何变化，画示意图。

③注意：由图解可知，当大小、方向都可变的分力(设为F1)与方向不变、大小可变的分力垂直时，F1有最小值。

　情境：

一盏电灯重为G，悬于天花板上的A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA偏离竖直方向的夹角β＝30°，如图所示。

讨论：现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线上拉力最小为止，此时OB与水平方向的夹角α等于多少？最小拉力是多少？

提示：对物体进行受力分析，因为缓慢调整OB的方向，所以认为合力一直为零。

【典例】如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点，现用水平力F缓慢推动上表面光滑斜面体，小球在斜面上滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是(　　)

A.FN保持不变，FT不断增大

B．FN不断增大，FT不断减小

C．FN保持不变，FT先增大后减小

D．FN不断增大，FT先减小后增大

【解析】选D。如图所示，先对小球进行受力分析，重力mg、支持力FN、拉力FT组成一个闭合的矢量三角形，由于重力不变、支持力FN方向不变，斜面向左移动的过程中，拉力FT与水平方向的夹角β减小，当FT⊥FN时，细绳的拉力FT最小，由图可知，随β的减小，斜面的支持力FN不断增大，FT先减小后增大，故选项D正确，A、B、C错误。

　动态平衡问题的常见解题思路：适用于三力平衡问题

(1)若已知一个力不变，另一个力F1方向不变大小变，则用三角形法(或图解法)处理问题，另一个力F2有最小值的条件为F1⊥F2。

(2)若已知一个力不变，另一个力大小不变方向变，则用画图法处理问题。

(3)若已知一个力不变，另一个力大小、方向都变，则采用相似三角形法处理问题，解决问题时，要寻找一个力的三角形和一个边的三角形，根据对应边比例相等求解。

1.如图所示，某同学通过绳子绕过滑轮组A、B将一重物缓慢吊起的过程中(滑轮与绳子的重力及摩擦均不计)，下列说法正确的是(　　)

A．地面受到的压力先变小后变大

B．地面受到的压力越来越大

C．人对绳的拉力越来越大

D．动滑轮A对绳子的压力先变大后变小

【解析】选C。

对结点受力分析，如图，由于同一根绳子，故F1＝F2，设F1与F2夹角为θ，则有：F1＝F2＝×，在重物被吊起的过程中，θ变大，所以F1、F2同时变大；二者的合力F合＝mg，由牛顿第三定律知动滑轮A对绳子的压力为mg，不变，以人为研究对象，竖直方向由平衡条件可知，支持力N＝mg－F2，F2变大则支持力减小，由牛顿第三定律可知人对地面的压力越来越小。综上所述，C正确。

2．如图所示，用轻绳系住一个小球，放在倾角为θ的光滑斜面上，当轻绳由水平方向逐渐向上缓慢偏移时，小球仍保持静止状态，则轻绳上的拉力将(　　)

A．逐渐增大

B．逐渐减小

C．先增大后减小  

D．先减小后增大

【解析】选D。

如图所示，对小球受力分析知：小球受三个力的作用而保持平衡，且拉力T和支持力N的合力和重力G相平衡，即拉力T和支持力的合力保持不变，因为支持力始终是与斜面垂直的，所以支持力的方向不变。根据几何知识，点到线的垂线段最短，当拉力T的方向和支持力的方向相垂直时，拉力T取得最小值，所以当轻绳由水平方向向上缓慢偏移时，拉力先减小后增大，选项A、B、C错，选项D正确。

【加固训练】

如图所示，质量为m的小球置于倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为k的轻弹簧一端系在小球上，另一端拴在墙上P点，开始时弹簧与竖直方向的夹角为θ，现将P点沿着墙向下移动，则弹簧的最短伸长量为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

【解析】选A。

选取小球为研究对象，小球受到重力，支持力和弹簧的拉力处于平衡状态，当P点向下移动时，弹簧的拉力发生变化，如图所示：

从图中可以看出，当弹簧的拉力和斜面的支持力垂直时，弹簧的拉力最小，此时：F＝mg sin 30°＝0.5mg，

所以弹簧最小的伸长量：Δx＝＝，所以选项A正确，选项B、C、D错误。

【拓展例题】考查内容：利用整体法和隔离法分析平衡物体的受力

【典例】如图所示，一个底面粗糙、质量为M的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且与水平面成θ＝30°角；现用一端固定的轻绳系一质量为m的小球，小球放在斜面上，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角也为θ＝30°，试求绳子对小球拉力FT的大小和地面对劈的摩擦力Ff的大小。

【解析】以小球为研究对象，其受力分析如图甲所示。

建立如图所示直角坐标系，由小球的平衡条件可知：FTcosθ－mg sin θ＝0，解得：FT＝mg

以劈和小球整体为研究对象，作出整体受力情况如图乙所示。

建立如图所示直角坐标系，根据小球平衡条件有：

FTsinθ－Ff＝0，解得：Ff＝mg

答案：mg　mg

1．某物体在三个共点力作用下处于平衡状态，若把其中一个力F1的方向沿顺时针转过90°而保持其大小不变，其余两个力保持不变，则此时物体所受到的合力大小为(　　)

A．F1　　 B．F1

C．2F1     D．无法确定

【解析】选B。由物体处于平衡状态可知，F1与另外两个共点力的合力F′等大反向，这是解本题的巧妙之处。如图所示，当F1转过90°时，F′没变化，其大小仍等于F1，而F1沿顺时针转过90°时，如图所示，此时的总的合力F＝＝F1，故选B。

2．如图所示，一物块静止在粗糙斜面上，现用一水平向右的推力F推物块，物块仍静止不动，则F推物块后与推物块前相比，下列说法正确的是(　　)

A．斜面对物块的支持力一定变大

B．斜面对物块的支持力一定变小

C．斜面对物块的静摩擦力一定变小

D．斜面对物块的静摩擦力一定变大

【解析】选A。没有推力时，物块静止不动，受力平衡，物块受重力、支持力和静摩擦力，设斜面的倾角为θ，在垂直斜面方向上，斜面对物块的支持力N＝mg cos θ，在沿着斜面方向有：f＝mg sin θ；推力F作用后，根据平衡条件得：在垂直斜面方向上，N′＝mg cos θ＋F sin θ，则斜面对物块的支持力一定变大；在沿着斜面方向有f′＝mg sin θ－F cos θ，当mg sin θ>F cos θ时，摩擦力变小，当mg sin θ＜F cos θ时，摩擦力方向变化，若F cos θ＞2mg sin θ，则静摩擦力反向增大，故A正确。

3．在卫生大扫除中某同学用拖把拖地时沿推杆方向对拖把施加推力F，如图所示，此时推力与水平方向的夹角为θ，拖把沿直线运动。从某时刻开始保持力F的大小不变，增大F与水平方向的夹角θ，拖把仍沿直线运动，下列说法正确的是(　　)

A.地面对拖把的支持力FN变小

B．地面对拖把的支持力FN不变

C．地面对拖把的摩擦力Ff变小

D．地面对拖把的摩擦力Ff变大

【解析】选D。设拖把与地面之间的动摩擦因数为μ，则：拖把受到重力、支持力、推力和摩擦力处于平衡状态，受力示意图如图所示：

由平衡条件得：竖直方向上：F sin θ＋mg＝FN，地面对拖把的摩擦力：Ff＝μFN，增大F与水平方向的夹角θ，则FN增大，地面对拖把的摩擦力Ff变大，故A、B、C错误，D正确。故选D。

【加固训练】

如图所示，BOB1是橡皮绳，∠BOB1＝120°，O点悬挂的重物重为G，O点为圆心，B、B1在以O为圆心的同一圆弧上，现将B、B1沿该圆弧同时分别移到非常靠近A点，若要使结点O位置仍在圆心，则重物的重力应取(　　)

A．G　　　　B．　　　　C．　　　　D．2G

【解析】选D。当∠BOB1＝120°时，由平衡条件和几何关系知，橡皮绳的弹力大小为G，将B、B1移到非常靠近A点，但仍使结点O的位置在圆心处，此时每根橡皮绳的弹力大小为G，而橡皮绳弹力总的大小为2G，由平衡条件知，悬挂重物的重力应为2G，D正确。