初中数学第十五章 四边形综合与测试巩固练习

京改版八年级数学下册第十五章四边形专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝16，则AB的长为（　　）

A．16 B．12 C．8 D．4

2、下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3、如图菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（    ）

A．5 B．6 C．8 D．10

4、在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

5、如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（     ）

A． B． C． D．

6、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

7、古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C．  D．

8、如图，在中，，点，分别是，上的点，，，点，，分别是，，的中点，则的长为（    ）．

A．4 B．10 C．6 D．8

9、四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足，则这个四边形是（    ）

A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形

10、如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转，后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点．．．照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了（    ）米．

A．80 B．100 C．120 D．140

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若点关于原点的对称点是，则______．

2、若一个多边形的内角和是外角和的倍，则它的边数是_______．

3、在平行四边形ABCD中，若∠A=130°，则∠B=______，∠C=______，∠D=______．

4、如图，在四边形中，，分别是的中点，分别以为直径作半圆，这两个半圆面积的和为，则的长为_______．

5、如图，圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m，在容器内壁离底部0.1m的点处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点处，若容器壁厚忽略不计，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是______m．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、△ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝．以AE为边在直线AD右侧构造等边△AEF．连结CE，N为CE的中点．

（1）如图1，EF与AC交于点G，

①连结NG，求线段NG的长；

②连结ND，求∠DNG的大小．

（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α．M为线段EF的中点．连结DN、MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论．

2、在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段．点A固定在格点上．

（1）若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，b是图中能用网格线段表示的最大无理数，则a＝　   　，b＝　   　，＝　   　；

（2）请在网格中画出顶点在格点上且边长为的所有菱形ABCD，你画出的菱形面积分别为 　   　，　   　．

3、如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接BD，若∠1＝32°，∠ADB＝22°，请直接写出当∠ABE＝　   　°时，四边形BFDE是菱形．

4、已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数．

5、如图，□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF．求证：AF＝EC．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

由题意可得AO＝BO＝CO＝DO＝8，可证△ABO是等边三角形，可得AB＝8．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD＝16，

∴OA＝OB＝8，

∵∠AOD＝120°，

∴∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB＝AO＝BO＝8，

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．

2、B

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解

【详解】

第一个图形是中心对称图形，又是轴对称图形，

第二个图形是中心对称图形，又是轴对称图形，

第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，

第四个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，

综上所述第一个和第二个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．

故选：B．

【点睛】

点睛本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3、A

【分析】

由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，

∴OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：，

故选：A．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．

4、A

【分析】

关于原点成中心对称的两个点的坐标规律：横坐标与纵坐标都互为相反数，根据原理直接作答即可.

【详解】

解：点关于原点对称的点的坐标是：

故选A

【点睛】

本题考查的是关于原点成中心对称的两个点的坐标规律，掌握“关于原点成中心对称的两个点的坐标规律：横坐标与纵坐标都互为相反数”是解题的关键.

5、C

【分析】

由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，再求解设BE=x，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．

【详解】

解： 矩形ABCD，

设BE=x，

∵AE为折痕，

∴AB=AF=1，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，

Rt△ABC中，

∴Rt△EFC中，，EC=2-x，

∴，

解得：，

则点E到点B的距离为：．

故选：C．

【点睛】

本题考查了勾股定理和矩形与折叠问题；二次根式的乘法运算，利用对折得到，再利用勾股定理列方程是解本题的关键．

6、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

7、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

8、B

【分析】

根据三角形中位线定理得到PD=BF=6，PD∥BC，根据平行线的性质得到∠PDA=∠CBA，同理得到∠PDQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案．

【详解】

解：∵∠C=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°，

∵点P，D分别是AF，AB的中点，

∴PD=BF=6，PD//BC，

∴∠PDA=∠CBA，

同理，QD=AE=8，∠QDB=∠CAB，

∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，

∴PQ==10，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

9、B

【分析】

根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．

【详解】

解：，

，

，

，

∴a=b，c=d，

∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，

∴c、d是对边，

∴该四边形是平行四边形，

故选：B．

【点睛】

此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．

10、C

【分析】

由小明第一次回到出发点A，则小明走过的路程刚好是一个多边形的周长，由多边形的外角和为，每次的转向的角度的大小刚好是多边形的一个外角，则先求解多边形的边数，从而可得答案.

【详解】

解：由 可得：小明第一次回到出发点A，

一个要走米，

故选C

【点睛】

本题考查的是多边形的外角和的应用，掌握“由多边形的外角和为得到一共要走12个10米”是解本题的关键.

二、填空题

1、

【分析】

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．

【详解】

解：由关于坐标原点的对称点为，得，

，

解得：

故答案为：．

【点睛】

本题考查了关于原点的对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

2、

【分析】

根据多边形的内角和公式（n−2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．

【详解】

解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n−2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
答：这个多边形的边数是6．
故答案为：6．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．

3、           

【分析】

利用平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，即可求得答案．

【详解】

解：在平行四边形ABCD中，、是的邻角，是的对角，

，，

故答案为： ，，．

【点睛】

本题主要是考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质，求解决本题的关键．

4、4

【分析】

根据题意连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，EM交BC于N，根据三角形的中位线定理推出EM=AB，FM=CD，EM∥AB，FM∥CD，推出∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，求出∠EMF=90°，根据勾股定理求出ME2+FM2=EF2，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可．

【详解】

解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，

∵∠ABC+∠DCB=90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM=AB，FM=CD，EM∥AB，FM∥CD，
∴∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，
∴∠NMF=180°-90°=90°，
∴∠EMF=90°，
由勾股定理得：ME2+FM2=EF2，
∴阴影部分的面积是：π（ME2+FM2）=EF2π=8π，
∴EF=4.
故答案为：4．

【点睛】

本题主要考查对勾股定理，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，三角形的中位线定理，圆的面积，平行线的性质，面积与等积变形等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并求出ME2+FM2的值是解答此题的关键．

5、2.5．

【分析】

如图所示，将容器侧面展开，连接AB，则AB的长即为最短距离，然后分别求出AC，BC的长度，利用勾股定理求解即可．

【详解】

解：如图所示，将容器侧面展开，连接AB，则AB的长即为最短距离，

∵圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，

∴，，，

过点B作BC⊥AD于C，

∴∠BCD =90°，

∵四边形ADEF是矩形，

∴∠ADE=∠DEF=90°

∴四边形BCDE是矩形，

∴，，

∴，

∴，

答：则壁虎捕捉蚊子的最短路程是2.5m．

故答案为：2.5．

【点睛】

本题主要考查了平面展开—最短路径，解题的关键在于能够根据题意确定展开图中AB的长即为所求．

三、解答题

1、（1）①；②；（2）的大小是定值，证明见解析．

【分析】

（1）①先根据等边三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据等边三角形的性质可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得；

②先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据四边形的内角和即可得；

（2）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形中位线定理可得，然后根据三角形的外角性质、角的和差即可得出结论．

【详解】

解：（1）①∵是等边三角形，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵是等边三角形，

，

，

∴，即，

又∵点为的中点，

∴；

②如图，连接，

由（1）①知，，

∵，点为的中点，

∴，

，

，

∴；

（2）的大小是定值，证明如下：

如图，连接，

∵和都是等边三角形，

∴，

∴，即，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵点为的中点，点为的中点，

∴，

∴，

∵，即点是的中点，

∴，

∴，

∵，

∴

，

∴的大小为定值．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和利用到三角形中位线定理是解题关键．

2、（1），2，；（2）4或5．

【分析】

（1）借助网格得出最大的无理数以及最小的无理数，进而求出即可；

（2）根据要求周长边长为的菱形即可．

【详解】

解：（1）由题意得：a=，b=2，
∴；
故答案为：，2，；

（2）如图1，2中，菱形ABCD即为所求．
菱形ABCD的面积为=×4×2=4或菱形ABCD的面积=×=5，
故答案为：4或5．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计作图，无理数，勾股定理，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形解决问题．

3、（1）见解析；（2）12

【分析】

（1）由“SAS”可证△ABE≌△CDF；
（2）通过证明BE=DE，可得结论．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠1=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，

，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）当∠ABE=10°时，四边形BFDE是菱形，
理由如下：∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，AE=CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴AD+AE=BC+CF，
∴BF=DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠1=32°，∠ADB=22°，
∴∠ABD=∠1-∠ADB=10°，
∵∠ABE=12°，
∴∠DBE=22°，
∴∠DBE=∠ADB=22°，
∴BE=DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
故答案为：12．

【点睛】

本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键．

4、这个多边形的边数是6

【分析】

多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和为2×360=720度．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，即可得到方程，从而求出边数．

【详解】

解：设这个多边形的边数为n，

由题意得：(n－2)×180°＝2×360°，

解得n＝6，

∴这个多边形的边数是6．

【点睛】

此题主要考查了多边形的外角和，内角和公式，做题的关键是正确把握内角和公式为：（n-2）•180°，外角和为360°．

5、证明见解析

【分析】

先证明再证明可得四边形是平行四边形，于是可得结论.

【详解】

解： □ABCD，

BE＝DF，

∴AE=CF，AE//CF

四边形是平行四边形，

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质，掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”是解本题的关键.