人教版高中数学高考一轮复习训练--平面向量的概念及线性运算

考点规范练30　平面向量的概念及线性运算

一、基础巩固

1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是(　　)

A.a=-b B.a∥b

C.a=2b D.a∥b,且|a|=|b|

2.在△ABC中,=c,=b.若点D满足=2,则等于(　　)

A.b+c B.c-b

C.b-c D.b+c

3.设向量a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是(　　)

A.-2 B.-1 C.1 D.2

4.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2,则(　　)

A.点P在线段AB上

B.点P在线段AB的反向延长线上

C.点P在线段AB的延长线上

D.点P不在直线AB上

5.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且=0,则△ABC的内角A等于(　　)

A.30° B.60° C.90° D.120°

6.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　　)

A.矩形 B.平行四边形 

C.梯形 D.以上都不对

7.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5+3,则△ABM与△ABC的面积比为(　　)

A. B. C. D.

8.已知=-.若=λ,则λ=　　　　　;若=μ,则μ=　　　　　. 

9.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足=0,=λ,则实数λ的值为　　　　　. 

二、综合应用

10.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则等于(　　)

A.a-b B.a-b

C.a+b D.a+b

11.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c等于(　　)

A.a B.b C.c D.0

12.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足+2,则点P一定为△ABC的(　　)

A.边AB中线的中点 

B.边AB中线的三等分点(非重心)

C.重心 

D.边AB的中点

13.已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足),,则△APD的面积为(　　)

A. B. C. D.2

14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　　. 

三、探究创新

15.如图,有5个全等的小正方形,=x+y,则x+y的值是　　　　　. 

16.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,若3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.

考点规范练30　平面向量的概念及线性运算

1.C　由表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.

2.A　如图,可知)=c+(b-c)=b+c.故选A.

3.B　=a+b,=a-2b,=2a-b.

又A,B,D三点共线,共线,

∴存在实数λ,使得=,即2a+pb=λ(2a-b),

∴2=2λ,p=-λ,解得λ=1,p=-1.

4.B　因为2=2,所以2

所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.

5.B　由=0,得点O为△ABC的重心.

因为点O为△ABC外接圆的圆心,所以△ABC为等边三角形,故A=60°.

6.C　=-8a-2b=2(-4a-b)=2,

不平行,∴四边形ABCD是梯形.

7. C　设AB的中点为D.由5+3,

得3-3=2-2,即3=2

如图,故C,M,D三点共线,且,得△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为,故选C.

8.2　-　根据题意,点P在线段P2P1的延长线上,画出示意图,如图所示.

从图中可知,因为=2,所以λ==2;

因为,所以μ=-=-

9.-2　如图,由=,且=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的顶点,因此=-2,则λ=-2.

10.D　如图,连接OC,OD,CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,从而△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以a+b,故选D.

11.D　因为a+b与c共线,

所以存在实数λ1,使得a+b=λ1c. ①

因为b+c与a共线,

所以存在实数λ2,使得b+c=λ2a. ②

由①得b=λ1c-a.

所以b+c=(λ1+1)c-a=λ2a,

因为a,b,c中任意两个都不共线,

所以

故a+b+c=-c+c=0.

12.B　设AB的中点为M,则,

所以+2),

即3+2=2-2,即=2

因为有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近点C的一个三等分点.

13.A　取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形,所以AE⊥BC,).

又),所以点D是AE的中点,即AD=

取,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知

因为△APD是直角三角形,且DP=AF=,

所以△APD的面积为

14　因为)=-,所以λ1=-,λ2=,所以λ1+λ2=

15.1　由平面向量的运算可知

=2=2,

=2-(2)=3-2

不共线,且=x+y,

即x+y=3-2,∴x=3,y=-2,∴x+y=1.

16.解 由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,

整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.

因为a,b不共线,所以有解得t=

故存在实数t=,使C,D,E三点在一条直线上.