2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含解析】，共8页。

A. a+b=0 B. a=b
C. a 与b 共线反向D. 存在正实数λ ,使a=λb
2. 已知a ,b 为不共线的非零向量，AB=a+5b ，BC=−2a+8b ，CD=3a−3b ，则( )
A. A ,B ,C 三点共线B. A ,B ,D 三点共线C. B ,C ,D 三点共线D. A ,C ,D 三点共线
3.设D 为△ABC 所在平面内一点，且满足CD=3BD ，则( )
A. AD=32AB−12AC B. AD=32AB+12AC
C. AD=43AB−13AC D. AD=43AB+13AC
4.已知点O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA+OB+CO=0 ，则△ABC 的内角A 等于( )
A. 30∘ B. 45∘ C. 60∘ D. 90∘
5.已知点O 是平面上一定点，点A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP=OA+λABAB+ACAC ，λ∈[0,+∞) ，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心
6. （多选）设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A. 若AM=12AB+12AC ，则点M 是边BC 的中点
B. 若AM=2AB−AC ，则点M 在边BC 的延长线上
C. 若AM=−BM−CM ，则点M 是△ABC 的重心
D. 若AM=xAB+yAC ，且x+y=12 ,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12
7. 若AP=12PB ，AB=λ+1BP ，则λ= .
8.设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量ka+2b 与8a+kb 的方向相反，则k= .
9. 当非零向量a ，b 满足 时，a+b 平分a 与b 的夹角.
10. 在直角梯形ABCD 中，∠A=90∘ ，∠B=30∘ ，AB=23 ，BC=2 ，点E 在线段CD 上（点E 不与点C ，D 重合），若AE=AD+μAB ，则μ 的取值范围是 .
[B级 综合运用]
11. 已知在▱ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM=mAB ，AN=nADm⋅n≠0 ，若MN//BE ，则nm= ( )
A. 1 B. 2 C. 12 D. −2
12.（多选）在△ABC 中，点D 满足BD=DC ，当点E 在线段AD 上移动时，记AE=λAB+μAC ，则( )
A. λ=2μ B. λ=μ
C. λ−22+μ2 的最小值为2D. λ−22+μ2 的最小值为52
13.如图，在△ABO 中，已知OA=a ，OB=b ，OM=13a ，ON=12b ，则用向量a ，b 表示OP= .
14.若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM=35AB+25AC ,则△ABM 与△ABC 的面积之比为 .
2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知a ,b 是两个非零向量，且a+b=a+b ，则下列说法正确的是( D )
A. a+b=0 B. a=b
C. a 与b 共线反向D. 存在正实数λ ,使a=λb
[解析]选D.因为a ,b 是两个非零向量，且a+b=a+b ,则a 与b 共线同向，故D正确.
2. 已知a ,b 为不共线的非零向量，AB=a+5b ，BC=−2a+8b ，CD=3a−3b ，则( B )
A. A ,B ,C 三点共线B. A ,B ,D 三点共线C. B ,C ,D 三点共线D. A ,C ,D 三点共线
[解析]选B.由于a ,b 为不共线的非零向量，根据向量共线定理，向量AB ，BC ，向量BC ，CD 显然不共线，A，C错误；BD=BC+CD=a+5b=AB ，AB 与BD 有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线，B正确；又AC=AB+BC=−a+13b ，显然和CD 也不共线，D错误.故选B.
3.设D 为△ABC 所在平面内一点，且满足CD=3BD ，则( A )
A. AD=32AB−12AC B. AD=32AB+12AC
C. AD=43AB−13AC D. AD=43AB+13AC
[解析]选A.如图所示，因为CD=3BD ，所以C ，B ，D 三点共线且CD=3BD ，
所以CB=2BD ，即BD=12CB ，
所以AD=AB+BD=AB+12CB=AB+12AB−AC=32AB−12AC .故选A.
4.已知点O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA+OB+CO=0 ，则△ABC 的内角A 等于( A )
A. 30∘ B. 45∘ C. 60∘ D. 90∘
[解析]选A.由OA+OB+CO=0 ,得OA+OB=O
C.又O 为△ABC 的外接圆的圆心，根据加法的几何意义，四边形OACB 为菱形，且∠CAO=60∘ ，因此∠CAB=30∘ .
5.已知点O 是平面上一定点，点A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP=OA+λABAB+ACAC ，λ∈[0,+∞) ，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( A )
A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心
[解析]选A.因为ABAB ，ACAC 分别表示向量AB ，AC 方向上的单位向量，所以ABAB+ACAC 的方向与∠BAC 的平分线方向一致，所以OP−OA=AP=λABAB+ACAC ，λ∈[0,+∞) ，所以向量AP 的方向与∠BAC 的平分线方向一致，所以点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.故选A.
6. （多选）设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( ACD )
A. 若AM=12AB+12AC ，则点M 是边BC 的中点
B. 若AM=2AB−AC ，则点M 在边BC 的延长线上
C. 若AM=−BM−CM ，则点M 是△ABC 的重心
D. 若AM=xAB+yAC ，且x+y=12 ,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12
[解析]选ACD.若AM=12AB+12AC ，则点M 是边BC 的中点，故A正确；若AM=2AB−AC ，即有AM−AB=AB−AC ，即BM=CB ，则点M 在边CB 的延长线上，故B错误；若AM=−BM−CM ，即AM+BM+CM=0 ，则点M 是△ABC 的重心，故C正确；如图，AM=xAB+yAC ,且x+y=12 ，可得2AM=2xAB+2yAC ,设AN=2AM ，则B ,C ,N 三点共线，且M 为AN 的中点，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12 ，故D正确.
7. 若AP=12PB ，AB=λ+1BP ，则λ= −52 .
[解析]由AP=12PB 可知，点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB=−32BP ，所以λ+1=−32 ,解得λ=−52 .
8.设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量ka+2b 与8a+kb 的方向相反，则k= −4 .
[解析]由题意知，ka+2b=λ8a+kbλ<0 .
所以k−8λa+2−λkb=0 .又a ,b 不共线，
所以k−8λ=0，2−λk=0， 解得λ=−12，k=−4.
9. 当非零向量a ，b 满足a=b 时，a+b 平分a 与b 的夹角.
[解析]设向量CA=a ，CB=b ，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得a+b=CE ，且CE 经过AB 的中点D ，若CE 平分∠ACB ，则△ABC 为等腰三角形，所以AC=BC ，即a=b .
10. 在直角梯形ABCD 中，∠A=90∘ ，∠B=30∘ ，AB=23 ，BC=2 ，点E 在线段CD 上（点E 不与点C ，D 重合），若AE=AD+μAB ，则μ 的取值范围是0,12 .
[解析]由题意可求得AD=1 ,CD=3 ,所以AB=2DC .
因为点E 在线段CD 上（点E 不与点C ，D 重合），所以DE=λDC0<λ<1 .因为AE=AD+DE ，且AE=AD+μAB=AD+2μDC=AD+2μλDE ,
所以2μλ=1 ,即μ=λ2 .
因为0<λ<1 ，所以0<μ<12 .
[B级 综合运用]
11. 已知在▱ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM=mAB ，AN=nADm⋅n≠0 ，若MN//BE ，则nm= ( B )
A. 1 B. 2 C. 12 D. −2
[解析]选B.依题意设MN=λBE ，则MN=MA+AN=−mAB+nAD=λBC+CE=λAD−12AB ，即−mAB+nAD=−12λAB+λAD ，所以−m=−12λ，n=λ， 故nm=2 .故选B.
12.（多选）在△ABC 中，点D 满足BD=DC ，当点E 在线段AD 上移动时，记AE=λAB+μAC ，则( BD )
A. λ=2μ B. λ=μ
C. λ−22+μ2 的最小值为2D. λ−22+μ2 的最小值为52
[解析]选BD.由BD=DC ,得AD=12AB+AC .又点E 在线段AD 上移动，
设AE=kAD=12kAB+AC=12kAB+12kAC ，0≤k≤1 ，
所以λ=12k ,μ=12k ,故A错误，B正确；
λ−22+μ2=12k−22+12k2=12k2−2k+4=12k−22+2 ，当k=1 时，有最小值52 ，故C错误，D正确.故选BD.
13.如图，在△ABO 中，已知OA=a ，OB=b ，OM=13a ，ON=12b ，则用向量a ，b 表示OP= 15a+25b .
[解析]设OP=ma+nb ，又OM=13a ，ON=12b ，
所以OP=3mOM+nOB=mOA+2nON .
又A ,P ,N 三点共线，B ,P ,M 三点共线，
所以3m+n=1，m+2n=1， 解得m=15，n=25，
所以OP=15a+25b .
14.若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM=35AB+25AC ,则△ABM 与△ABC 的面积之比为25 .
[解析]由题意得AM−AB=25AC−AB ，即BM=25BC ，则点M 在边BC 上，且BM=25BC ，所以S△ABMS△ABC=BMBC=25 ，所以△ABM 与△ABC 的面积之比为25 .