人教A版（2019）高中数学选择性必修一、二知识要点

高二上数学知识要点
专题01 空间向量及其运算
考点一
空间向量的有关概念



1．空间向量的有关概念
（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，其大小叫作向量的模或长度 .
（2）相等向量：方向相同且模相等的向量．
（3）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量，a平行于b记作 a∥b.
（4）共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量．
2．空间向量中的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.
（2）共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.应用：证明线面平行。
（3）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫作空间的一个基底．
3．两个向量的数量积
（1）非零向量a，b的数量积．
（2）空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
易误提醒
（1）共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量．
（2）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
（3）由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量．
（4）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
考点二
空间向量的线性运算




空间向量的线性运算：和平面向量一样，使用三角形法则和平行四边形法则
考点三
空间向量的坐标运算




设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).


向量表示
坐标表示
数量积
a·b

共线
a＝λb(b≠0)

垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)

模
|a|

夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝


易误提醒
（1）空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简．
（2）进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算．
必备方法
用空间向量解决几何问题的一般步骤：
（1）适当的选取基底{a，b，c}．
（2）用a，b，c表示相关向量．
（3）通过运算完成证明或计算问题．
专题02 空间向量在立体几何中的应用
考点一 方向向量与法向量
1．直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
2．平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫作平面α的法向量．
易误提醒
（1）通常取直线上的两个特殊点构成直线的方向向量；当直线平行于x轴，y轴或z轴时，直线的方向向量可分别取i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)．
（2）求平面的法向量时，建立的方程组有无数组解，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个变量赋一特殊值(常赋值－1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但n＝(0,0,0)不能作为法向量．
必备方法
平面的法向量求法步骤：
（1）设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
（2）找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标，；
（3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
（4）解方程组，取其中的一组解，即得法向量，建议法向量取的数值为整数，方便计算．
考点二 利用空间向量证明和求解角和距离的问题
1.利用空间向量证明平行和垂直问题
（1）设直线l1的方向向量为，l2的方向向量为，则:
．
（2）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则:
．
（3）设平面α的法向量为，平面β的法向量为，则:

2.求点面距
①、两点间的距离的求法：、两点间的距离为。
②、点线距离的求法：如图1，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为。

图1 图2 图3
③、点面距离的求法：如图2，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。
※④、两异面直线距离的求法：如图3，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。
⑤、两平行平面间距离的求法：把求两平行平面间的距离转化为求点面距离。
3.求角度：
（1）求两条异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

l1与l2所成的角θ
a与b的夹角
范围
0<θ≤

关系


（2）求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则:
.
（3）求二面角的大小
（1）若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角．(如图a).
（2）设，分别是二面角α－l－β的两个平面α，β的法向量，则向量与的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图b、c)．


易误提醒
（1）空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范围是，两异面直线所成的角的范围是.
（2）用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况．
复习参考题1优生可稍微做一做。
专题03 直线与方程
考点一 直线斜率与倾斜角
1.直线的斜率公式
①已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为，时的图象如图：


②已知直线过点，则直线的斜率为.
考点二 直线的形式与位置关系
1.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y=kx+b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率

两点式
过两点

与两坐标轴均不垂直的直线续表
截距式
纵、横截距

不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
2.两直线的平行与垂直：
(1)直线系方程
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
(2)两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是：A1B2－A2B1＝0.
(3)两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是：A1A2＋B1B2＝0.
3.两直线的交点坐标：联立两直线方程为方程组，方程组的解分别为交点的横坐标和众坐标.
过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0
易误提醒
1．注意两平行线距离公式的应用条件
应用两平行线间距离公式时，两平行线方程中x，y的系数应对应相等．
2．忽略直线斜率不存在的情况
在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在．
3．注意直线方程的限制条件
（1）应用点斜式、斜截式方程时，注意它们不包含垂直于x轴的直线；
（2）应用两点式方程时，注意它不包含与坐标轴垂直的直线；
（3）应用截距式方程时，注意它不包括与坐标轴垂直的直线以及过原点的直线；
（4）在处理直线与圆的位置关系时要充分利用圆的几何性质．
考点三 距离公式
三种距离公式
①两点间的距离：若，则；
②点到直线的距离：点到直线的距离；
③两平行线的距离：若直线的方程分别为，则两平行线的距离.
考点四 与直线有关的对称问题
1.对称问题主要包括中心对称和轴对称
（1）中心对称
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
（2）轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
专题04 圆的方程
1、圆的定义及方程通过第10题适当学会圆的参数方程的应用。
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
()
圆心，半径
一般方程

()
圆心，半径
2、点与圆的位置关系 点，圆的标准方程。
理论依据
点与圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
点在圆上
点在圆外
点在圆内

2、直线与圆、圆与圆的位置关系，15题试着通过88页第5题的结论求解。
（1）直线与圆的位置关系与判断方法
方法
过程
依据
结论
代数法
联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac
Δ>0
相交
Δ＝0
相切
Δ<0
相离
几何法
计算圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系．相交时弦长为l=2
d 相交
d＝r
相切
d>r
相离
（2）圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
　　　方法

位置关系　
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
相离
d＞r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)
无解
（2）．必会结论
(1)两圆公切线的条数
位置关系
内含
内切
相交
外切
外离
公切线条数
0
1
2
3
4
(2)圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(3)两圆相交时公共弦的方程
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时，公共弦所在的直线方程为(D2－D1)x＋(E2－E1)y＋(F2－F1)＝0.
注：
1．求圆的方程的两种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
3．圆的切线方程的求法
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k，注意点在圆外时的切线有两条，若求出来只有一条，则另一条的斜率不存在。.
4．弦长的求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
5．解决直线与圆综合问题的常用结论
(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与直线l相交的情形：①圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；
②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；
③过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
专题05 椭圆
一、椭圆的定义
1．平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则M点的轨迹为椭圆；
(2)若a＝c，则M点的轨迹为线段F1F2；
(3)若a 二、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
三、必会结论
(1)点P(x0，y0)与椭圆＋＝1的关系
①点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.
②点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.
③点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
(2)若P为椭圆＋＝1上任一点，F为其一个焦点，O是椭圆的中心(坐标原点)，则有a－c≤|PF|≤a＋c，b≤|PO|≤a.
2．必清误区
在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则有|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
注：
1．求椭圆方程的方法
(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
2．焦点三角形中的常用结论
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等，常用到的结论有：(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ；(3)当P为短轴端点时，θ最大．（4）
3.求椭圆离心率的方法
（1）．直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
（2）．列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
3．解决直线与椭圆有关问题的求解策略
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
4．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝(k为直线斜率)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
5.过焦点的弦中最短的为通径：



专题06 双曲线
一、双曲线的定义
1．平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
2．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，M点不存在．
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
三、必会结论
(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．
(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为±.
(3)渐近线与离心率
－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝.
(4)过双曲线的焦点垂直于实轴的直线被双曲线截的弦长为.
(5)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程为－＝t(t≠0)．
（6）焦点到渐进弦的距离为b。
2．必清误区
直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
注：
1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧
（1）．常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．
（2）．技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．
提醒：利用双曲线的定义解决问题，要注意三点：
(1)距离之差的绝对值．(2)2a<|F1F2|.(3)焦点所在坐标轴的位置．
2．求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，写出方程．
(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．
常见设法有：
①与双曲线－＝1共渐近线的可设为－＝λ(λ≠0)；
②若渐近线方程为y＝±x，则可设为－＝λ(λ≠0)；
③若过两个已知点，则设为＋＝1(mn<0)．
3．求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，c表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．
4．求曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
5.解决与双曲线有关综合问题的方法
（1）．解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解．
（2）．解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍．
专题07 抛物线
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
二、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
三、必会结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切，以AF为直径的圆与y轴相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p.通径是过焦点最短的弦．
（5）
四、必知联系
(1)若抛物线的开口方向不能确定，可设抛物线的标准方程为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
(2)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切，或直线平行于对称轴，即由得ay2＋by＋c＝0或ax2＋bx＋c＝0.当时，直线与抛物线相切，当a＝0时，此时直线就是与对称轴平行的直线．
注：
1．抛物线几何性质的确定
由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．
2．求抛物线的标准方程的方法及流程
(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
3.与抛物线有关的最值问题的求解策略
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
4. 解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
（1）．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
（2）．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
（3）．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解决．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
专题8 等差数列及其前n项和
一、　等差数列
1．定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
2．通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.
3．前n项和公式：Sn＝na1＋＝.注意实际的项数。
4．a，b的等差中项A＝.
二、　等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
(1)若m，n，p，q，k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，
则am＋an＝ap＋aq＝2ak.
(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.
(3)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}是等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．
(5)若数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an，
S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)．
（6） 若等差数列{an}的项数为2n，则，
项数为2n-1,则
（7）若，若
三、必会结论
(1)等差数列的增减性：d＞0时为递增数列，且当a1＜0时，前n项和Sn有最小值，d＜0时为递减数列，且当a1＞0时，前n项和Sn有最大值．
(2)数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)是{an}成等差数列的充分条件．
(3)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.
(4)若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.
四．必知联系
(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数．
(2)公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．
注：
1．等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
2．等差数列前n项和公式的应用方法
根据不同的已知条件选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使用公式Sn＝na1＋d，若已知通项公式，则使用公式Sn＝.
3.等差数列的四个判定方法
（1）．定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
（2）．等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．
（3）．通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．
（4）．前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
4．求等差数列前n项和最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
(3)项的符号法：当a1＞0，d＜0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1＜0，d＞0时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个．
5．求数列{|an|}前n项和的方法
(1)先求an，令an≥0(an≤0)找出an≥0与an<0的项．
(2)根据n的取值范围，分类讨论求和．
专题9 等比数列及其前n项和
一、　等比数列的有关概念
1．定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，公比的表达式为＝q.
2．5等比中项
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
二、　等比数列的有关公式
1．通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m.
2．前n项和公式：Sn＝
三、．必会结论
等比数列的性质
(1)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a.
(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{|an|}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．
(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．
(5)若等比数列{an}共2k(k∈N*)项，则＝q.
四、必清误区
(1)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，与等差数列不同．
(2)由an＋1＝qan(q≠0)并不能断言{an}是等比数列，还要验证a1≠0.
注：
1.解决等比数列有关问题的常见思想方法
（1）．方程的思想
等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
（2）．数形结合的思想
通项an＝a1qn－1可化为an＝qn，因此an是关于n的函数，点(n，an)是曲线y＝qx上一群孤立的点．
（3）．分类讨论的思想
当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考点，也是易错点．
2.等比数列的判定方法
（1）．定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
（2）．等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
（3）．通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
（4）．前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
专题10 数列通项公式的求法、数列求和
1. 数列通项公式的几种求法:
（1）、观察法。
（2）、公式法：（1）等差数列的通项公式：
（2）等比数列的通项公式：
（3）、已知求：
（4）、累加法：若
（5）、累乘法：
（6）、构造法：已知与的递推关系，求
①形如：可以用待定系数来求通项；
②形如：的递推数列可以用倒数法求通项。
2.　数列求和的常见方法
（1）．公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝
（2）．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
（3）．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．
（4）．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)裂项时常用的三种变形：
①＝－；
②＝；
③＝－.
（5）．分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（6）．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．