2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业16《导数与不等式问题》（教师版）

这是一份2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业16《导数与不等式问题》（教师版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( C )
A．[－5，－3] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－6，－\f(9,8))) C．[－6，－2] D．[－4，－3]
解析：当x∈(0,1]时，a≥－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))3－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2＋eq \f(1,x)，令t＝eq \f(1,x)，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，在t∈[1，＋∞)上，g′(t)0)，
则h′(x)＝eq \f(x＋3x－1,x2).当x∈(0,1)时，h′(x)0，函数h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.
二、填空题
3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是(－∞，－20]．
解析：令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)．因为f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.所以f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.
4．已知函数f(x)＝ax2－xlnx在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))上单调递增，则实数a的取值范围是a≥eq \f(1,2).
解析：f′(x)＝2ax－lnx－1≥0，解得2a≥eq \f(lnx＋1,x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))上恒成立，
构造函数g(x)＝eq \f(lnx＋1,x)，g′(x)＝eq \f(\f(1,x)·x－lnx＋1,x2)＝eq \f(－lnx,x2)＝0，解得x＝1，
∴g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(x)的最大值为g(1)＝1，
∴2a≥1，a≥eq \f(1,2)，故填a≥eq \f(1,2).
5．设函数f(x)＝eq \f(x2＋1,x)，g(x)＝eq \f(x,ex)，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式eq \f(gx1,k)≤eq \f(fx2,k＋1)恒成立，则正数k的取值范围是k≥eq \f(1,2e－1).
解析：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式eq \f(gx1,k)≤eq \f(fx2,k＋1)恒成立，等价于eq \f(gx1,fx2)≤eq \f(k,k＋1)恒成立，f(x)＝eq \f(x2＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号，即f(x)的最小值是2，由g(x)＝eq \f(x,ex)，则g′(x)＝eq \f(ex－xex,ex2)＝eq \f(1－x,ex)，由g′(x)>0得00时，求证f(x)≥aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))；
(3)若在区间(1，e)上e eq \s\up15(eq \f(x,a)) －e eq \s\up15(eq \f(1,a)) x0)，则g′(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,x2))).
令g′(x)>0，即aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,x2)))>0，解得x>1，令g′(x)0，(ax－1)lna在R上是增函数，
当00，即f(1)>f(－1)；
当0