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2021-2022学年重庆市南岸区八年级（上）期末数学试卷 word，解析版
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这是一份2021-2022学年重庆市南岸区八年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共27页。
A．2B．﹣2C．16D．±2
2．（4分）计算的结果是（ ）
A．B．2C．3D．4
3．（4分）如图，l1∥l2，l3∥l4，与∠α互补的是（ ）
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
4．（4分）在平面直角坐标系中，下列各点与点（2，3）关于x轴对称的是（ ）
A．（2，﹣3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）
5．（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是9.1环，四人的方差分别是S甲2＝0.63，S乙2＝2.56，S丙2＝0.49，S丁2＝0.46，则射箭成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．（4分）如图，某汽车离开某城市的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，根据图形可知，该汽车行驶的速度为（ ）
A．30km/hB．60km/hC．70km/hD．90km/h
7．（4分）若和都是方程ax+by＝1的解，则a+b的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（4分）如图，在单位为1的方格中，有标号为①、②、③、④的四个三角形，其中直角三角形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（4分）某公司欲招收职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了初步测试，测试成绩如表：
如果将学历、经验和工作态度三项得分依次按30%，30%，40%的比例确定各人的最终得分，那么最终得分最高的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．（4分）某网店销售一款市场上畅销的护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣2x+100B．y＝﹣2x+40C．y＝﹣2x+220D．y＝﹣2x+60
11．（4分）如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（ ）
A．B．C．D．
12．（4分）某数码商店一周年店庆，推出三种优惠券：满299元减50元，满499元减80元，满799元减120元；同时推出满600元享受9折的折扣、满700元享受8.5折的折扣、满800元享受8折的折扣活动．顾客可先选择其中一种优惠券，再选择其中一种折扣．例如：购买700元的商品，可选满700元8.5折，实际付款595元；也可选满499元减80元，再享受620元的9折，实际付款为558元．请通过计算，原价是810元的商品，采用优惠组合后的最低价是（ ）
A．直接选满800元享受8折的折扣
B．先选满299元减50元，再选满700元享受8.5折的折扣
C．先选满499元减80元，再选满700元享受8.5折的折扣
D．先选满799元减120元，再选满600元享受9折的折扣
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）化简：＝ ．
14．（4分）如果一个等腰三角形的底为8，腰长为5，则它的面积是 ．
15．（4分）如图，直角三角形AOB的直角边OA在数轴上，AB与数轴垂直，点O与数轴原点重合，点A表示的实数是2，BA＝2以点O为圆心，OB的长为半径画弧，与数轴交于点C，则点C对应的数是 ．
16．（4分）如图，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P，若点P（1，n），则方程组的解是 ．
17．（4分）如图，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端B距地面2.4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0.8m，则梯子的长度为 m．
18．（4分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ．
三、解答题（本大题7个小题每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）解方程组：
（1）；
（2）．
21．（10分）如图，是单位为1的方格．
（1）在方格中建立直角坐标系，满足A，B两点的坐标分别是（0，2），（0，﹣2），并描出点C（2，﹣2），D（3，0），E（2，2），连接AB，BC，CD，DE，EA．
（2）作出（1）中五边形ABCDE关于y轴的对称图形．
（3）求（2）中所作的五边形ABCDE的周长和面积．
22．（10分）某小区有500户居民，从中随机抽取了100户，调查了他们11月的用水量（单位：吨）．整理抽取的这100户的月用水量，其中小于等于15吨的户数有60户．按月用水量（单位：吨）0～5，5～10，10～15，15～20，25～30，30～35进行分组，绘制了频数分布直方图．
（1）直接写出直方图中x，y的值，以及这100户居民月用水量的中位数所在的组别；
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～5的中间值为2.5）来代替，估计该小区11月的用水总量．
说明：0～5是指大于等于0且小于等于5，5～10是指大于5且小于等于10，以此类推，30～35是指大于30且小于等于35．
23．（10分）已知A，B两地相距的路程为12km，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OCD和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的路程y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系，且OC与EF相交于点P．
（1）求y乙与x的函数关系式以及两人相遇地点P与A地的路程；
（2）求线段OC对应的y甲与x的函数关系式；
（3）求经过多少h，甲、乙两人相距的路程为6km．
24．（10分）为了切实保护长江生态环境，长江实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要140元．
（1）求a，b的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
①求出每天销售获利y（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②元旦节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元（m＞0），草鱼售价全部定为8.5元/斤，为保证元旦节这一天销售这两种鱼获得最小利润，且最小利润为630元，求m的值．
25．（10分）如图，已知△ABC．
（1）请用尺规完成以下作图：延长线段BC，并在线段BC的延长线上截取CD＝AC，连接AD；在BD下方，作∠DBE＝∠ADB；
（2）若AB＝AC，利用（1）完成的图形，猜想∠ABE与∠DBE存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AB＝AC＝3，BC＝4，利用（1）完成的图形，计算AD的长度．
26．（8分）如图，在直角坐标系内，把y＝x的图象向下平移1个单位得到直线AB，直线AB分别交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线，交y轴于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求BD的长；
（3）直接写出所有满足条件的点E；点E在坐标轴上且△ABE为等腰三角形．
2021-2022学年重庆市南岸区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案在答题卡对应方框内涂黑。
1．（4分）4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．16D．±2
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2，
故选：D．
2．（4分）计算的结果是（ ）
A．B．2C．3D．4
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝2，
故选：B．
3．（4分）如图，l1∥l2，l3∥l4，与∠α互补的是（ ）
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
【分析】直接利用平行线的性质得出相等的角以及互补的角进而得出答案．
【解答】解：∵l1∥l2，l3∥l4，
∴∠4+∠5＝180°，∠3＝∠α，
∵∠3＝∠5，
∴∠5＝∠α，
∴∠4+∠α＝180°，
∴图中与∠α互补的角有：∠4．
故选：D．
4．（4分）在平面直角坐标系中，下列各点与点（2，3）关于x轴对称的是（ ）
A．（2，﹣3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣3），
故选：A．
5．（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是9.1环，四人的方差分别是S甲2＝0.63，S乙2＝2.56，S丙2＝0.49，S丁2＝0.46，则射箭成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝0.63，S乙2＝2.56，S丙2＝0.49，S丁2＝0.46，
∴S丁2＜S丙2＜S甲2＜S乙2，
∴射箭成绩最稳定的是丁，
故选：D．
6．（4分）如图，某汽车离开某城市的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，根据图形可知，该汽车行驶的速度为（ ）
A．30km/hB．60km/hC．70km/hD．90km/h
【分析】根据图象得出第1小时到第2小时行驶的路程即可得出速度．
【解答】解：由图象知，汽车第一小时到第2小时行驶的路程为150﹣90＝60（km），
故选：B．
7．（4分）若和都是方程ax+by＝1的解，则a+b的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】把x与y的值代入方程ax+by＝1，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出a+b的值．
【解答】解：把和代入方程ax+by＝1得：
，
由②解得：a＝﹣1，
把a＝﹣1代入①得：﹣2+b＝1，
解得：b＝3，
则a+b＝﹣1+3＝2．
故选：C．
8．（4分）如图，在单位为1的方格中，有标号为①、②、③、④的四个三角形，其中直角三角形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理即可求解．
【解答】解：观察图形可知①是直角三角形；
②∵12+32＝1+9＝10，22+42＝4+16＝20，10+10＝20，
∴②是直角三角形；
③∵22+22＝4+4＝8，32+32＝9+9＝18，52+12＝25+1＝26，8+18＝26，
∴③是直角三角形；
④∵12+22＝1+4＝5，22+42＝4+16＝20，52＝25，5+20＝25，
∴④是直角三角形．
故选：D．
9．（4分）某公司欲招收职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了初步测试，测试成绩如表：
如果将学历、经验和工作态度三项得分依次按30%，30%，40%的比例确定各人的最终得分，那么最终得分最高的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据学历，经验，以及工作态度的得分乘以各自的权重，计算出甲、乙、丙、丁四人的得分，找出得分最高的即可．
【解答】解：根据题意得：
甲得分为：8×30%+6×30%+7×40%＝2.4+1.8+2.8＝7（分）；
乙得分为：9×30%+4×30%+7×40%＝2.7+1.2+2.8＝6.7（分）；
丙得分为：7×30%+8×30%+6×40%＝2.1+2.4+2.4＝6.9（分）；
丁得分为：6×30%+8×30%+5×40%＝1.8+2.4+2＝6.2（分），
∵7＞6.9＞6.7＞6.2，
∴甲得分最高．
故选：A．
10．（4分）某网店销售一款市场上畅销的护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣2x+100B．y＝﹣2x+40C．y＝﹣2x+220D．y＝﹣2x+60
【分析】依据每涨价1元，每星期少卖出2个列出星期销售量为y个与销售单价为x元的函数关系式．
【解答】解：由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220，
∴y＝﹣2x+220．
故选：C．
11．（4分）如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意设∠ABD＝β，∠ACD＝θ，由三角形内角和定理得α+4β+4θ＝180°，从而解决问题，
【解答】解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，
设∠ABD＝β，∠ACD＝θ，
∴∠DBC＝3β，∠DCB＝3θ，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+4β+4θ＝180°，
∴β+θ＝45°﹣，
∴∠BDC＝180°﹣3（β+θ）＝180°﹣3×（45°﹣）＝45，
故选：A．
12．（4分）某数码商店一周年店庆，推出三种优惠券：满299元减50元，满499元减80元，满799元减120元；同时推出满600元享受9折的折扣、满700元享受8.5折的折扣、满800元享受8折的折扣活动．顾客可先选择其中一种优惠券，再选择其中一种折扣．例如：购买700元的商品，可选满700元8.5折，实际付款595元；也可选满499元减80元，再享受620元的9折，实际付款为558元．请通过计算，原价是810元的商品，采用优惠组合后的最低价是（ ）
A．直接选满800元享受8折的折扣
B．先选满299元减50元，再选满700元享受8.5折的折扣
C．先选满499元减80元，再选满700元享受8.5折的折扣
D．先选满799元减120元，再选满600元享受9折的折扣
【分析】根据题意求出各项的折扣后的金额，即可判断．
【解答】解：A、直接选满800元享受8折的折扣后的金额为：810×0.8＝648（元），
B、先选满299元减50元，再选满700元享受8.5折的折扣后的金额为：（810﹣50）×0.85＝646（元），
C、先选满499元减80元，再选满700元享受8.5折的折扣后的金额为：（810﹣80）×0.85＝620.5（元），
D、先选满799元减120元，再选满600元享受9折的折扣后的金额为：（810﹣120）×0.9＝621（元），
则648＞646＞621＞620.5，
故采用先选满499元减80元，再选满700元享受8.5折的折扣组合后为最低价，
故选：C．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）化简：＝ 3 ．
【分析】33＝27，根据立方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵33＝27，
∴；
故答案为：3．
14．（4分）如果一个等腰三角形的底为8，腰长为5，则它的面积是 12 ．
【分析】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一可得BD＝4，再利用勾股定理得AD＝3，从而得出答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝3，
∴S△ABC＝×BC×AD＝×8×3＝12，
故答案为：12．
15．（4分）如图，直角三角形AOB的直角边OA在数轴上，AB与数轴垂直，点O与数轴原点重合，点A表示的实数是2，BA＝2以点O为圆心，OB的长为半径画弧，与数轴交于点C，则点C对应的数是 2 ．
【分析】根据勾股定理求出OB的长，即OC的长，从而求出点C对应的数．
【解答】解：由勾股定理知：OB＝，
∴OC＝，
∴点C对应的数是，
故答案为：．
16．（4分）如图，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P，若点P（1，n），则方程组的解是 ．
【分析】根据直线l2：y＝﹣x+4，可得C点坐标，然后根据方程组的解是相应图象的交点坐标，可得答案．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+4经过点P（1，n），
∴n＝﹣1+4＝3，
∴直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4的交点P（1，3），
∴方程组的解是；
故答案为：；
17．（4分）如图，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端B距地面2.4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0.8m，则梯子的长度为 2.5 m．
【分析】设AD＝xm，则AE＝（x+0.8）m，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设AD＝xm，则AE＝（x+0.8）m，
根据勾股定理得，x2+2.42＝（x+0.8）2+22，
解得x＝0.7，
∴AD＝0.7m，
∴AB＝＝2.5（m），
答：梯子的长度为2.5m，
故答案为：2.5．
18．（4分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 25n+50 ．
【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，
设AC＝4x，BC＝3x，
根据勾股定理得，AB＝，
∵3x+4x+5x＝12，
∴x＝1，
∴AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴图①中正方形的面积和为：32+42+52＝25+25＝2×25＝50，
图②中所有正方形的面积和为，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中的所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50，
，
∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为25n+50，
故答案为：25n+50．
三、解答题（本大题7个小题每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）化简二次根式，然后先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法；
（2）化简二次根式，然后先算乘除，再算减法，有小括号先算小括号里面的．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣）×3
＝×3
＝9；
（2）原式＝（3+2﹣5）÷
＝0÷
＝0．
20．（10分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：3+y＝5，
解得：y＝2，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×2﹣②得：y＝5，
把y＝5代入①得：2x﹣5＝3，
解得：x＝4，
则方程组的解为．
21．（10分）如图，是单位为1的方格．
（1）在方格中建立直角坐标系，满足A，B两点的坐标分别是（0，2），（0，﹣2），并描出点C（2，﹣2），D（3，0），E（2，2），连接AB，BC，CD，DE，EA．
（2）作出（1）中五边形ABCDE关于y轴的对称图形．
（3）求（2）中所作的五边形ABCDE的周长和面积．
【分析】（1）根据A，B两点坐标确定平面直角坐标系，进而解答即可．
（2）根据关于y轴对称的性质画出图形即可；
（3）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）五边形ABCDE的周长＝2+++2+4＝8+2，
五边形ABCDE的面积＝．
22．（10分）某小区有500户居民，从中随机抽取了100户，调查了他们11月的用水量（单位：吨）．整理抽取的这100户的月用水量，其中小于等于15吨的户数有60户．按月用水量（单位：吨）0～5，5～10，10～15，15～20，25～30，30～35进行分组，绘制了频数分布直方图．
（1）直接写出直方图中x，y的值，以及这100户居民月用水量的中位数所在的组别；
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～5的中间值为2.5）来代替，估计该小区11月的用水总量．
说明：0～5是指大于等于0且小于等于5，5～10是指大于5且小于等于10，以此类推，30～35是指大于30且小于等于35．
【分析】（1）由小于等于15吨的户数有60户结合第1、3组户数可得x的值，根据各分组户数之和等于总户数可得y的值，再由中位数的定义可得答案；
（2）用小区总户数乘以样本中平均每户的用水量即可．
【解答】解：（1）x＝60﹣（30+3）＝27，
y＝100﹣（60+18+12+6）＝4，
由于一共100个数据，其中位数是第50、51个数据的平均数，而这两个数据均落在10～15这一组，
所以这100户居民月用水量的中位数在10～15这一组；
（2）500××（2.5×3+7.5×27+12.5×30+17.5×18+22.5×12+27.5×6+32.5×4）
＝5×1465
＝7325（吨），
答：估计该小区11月的用水总量为7325吨．
23．（10分）已知A，B两地相距的路程为12km，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OCD和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的路程y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系，且OC与EF相交于点P．
（1）求y乙与x的函数关系式以及两人相遇地点P与A地的路程；
（2）求线段OC对应的y甲与x的函数关系式；
（3）求经过多少h，甲、乙两人相距的路程为6km．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到y乙与x的函数关系式以及两人相遇地点与A地的距离；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出线段OC对应的y甲与x的函数关系式；
（3）根据（1）和（2）中的结果，可以得到经过多少小时，甲、乙两人相距6km．
【解答】解：（1）设y乙与x的函数关系式是y乙＝kx+b，
∵点E（0，12），F（2，0）在函数y乙＝kx+b的图象上，
∴，解得，
即y乙与x的函数关系式是y乙＝﹣6x+12，
当x＝0.5时，y乙＝﹣6×0.5+12＝9，
即两人相遇地点与A地的距离是9km；
（2）设线段OC对应的y甲与x的函数关系式是y甲＝ax，
∵点（0.5，9）在函数y甲＝ax的图象上，
∴9＝0.5a，
解得a＝18，
即线段OC对应的y甲与x的函数关系式是y甲＝18x；
（3）①令|18x﹣（﹣6x+12）|＝6，
解得，x1＝（甲h已到B地，故不合题意，舍去），x2＝，
②当甲到达B地时，乙离B地6千米所走时间为：6÷（12÷2）＝1（小时），
综上所述，经过小时或1小时时，甲、乙两人相距6km．
24．（10分）为了切实保护长江生态环境，长江实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要140元．
（1）求a，b的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
①求出每天销售获利y（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②元旦节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元（m＞0），草鱼售价全部定为8.5元/斤，为保证元旦节这一天销售这两种鱼获得最小利润，且最小利润为630元，求m的值．
【分析】（1）根据“购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要140元”，列方程组解答即可；
（2）①根据题意可得每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式，由每天销售获利y＝y1+y2即可得答案；
②由题意得出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得；
（2）①由题意得，销售鲢鱼获利y1＝（6﹣4）x＝2x（80≤x≤120），
（Ⅰ）当300﹣x≤200时，100≤x≤120，销售草鱼获利y2＝（9﹣6）×（300﹣x）＝﹣3x+900；
∴当100≤x≤120时，每天销售获利y＝y1+y2＝2x+（﹣3x+900）＝﹣x+900，
（Ⅱ）当300﹣x＞200时，80≤x＜100，销售草鱼获利y2＝（9﹣6）×200+（8.5﹣6）×（300﹣x﹣200）＝﹣2.5x+850；
∴当80≤x＜100时，每天销售获利y＝y1+y2＝2x+（﹣2.5x+850）＝﹣0.5x+850，
综上所述，y＝；
②设销售获利W元，由题意得：W＝（6﹣m﹣4）x+（8.5﹣6）×（300﹣x）＝（﹣0.5﹣m）x+750，其中80≤x≤120，
∵当﹣0.5﹣m≥0时，W＝（﹣0.5﹣m）x+750≥750，不合题意，
∴﹣0.5﹣m＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝120时，W的值最小，
由题意得：（﹣0.5﹣m）×120+750＝630，
解得m＝0.5，
∴m的值为0.5．
25．（10分）如图，已知△ABC．
（1）请用尺规完成以下作图：延长线段BC，并在线段BC的延长线上截取CD＝AC，连接AD；在BD下方，作∠DBE＝∠ADB；
（2）若AB＝AC，利用（1）完成的图形，猜想∠ABE与∠DBE存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AB＝AC＝3，BC＝4，利用（1）完成的图形，计算AD的长度．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，线段AD，CD即为所求；
（2）如图，射线BE即为所求．
结论：∠ABE＝3∠DBE．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC，
∵∠ADC＝∠DBE，
∴∠ABC＝2∠DBE，
∴∠ABE＝3∠DBE．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC＝3，BC＝4，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2，
∴AH＝＝＝．
∵AC＝CD＝3，
∴DH＝CH+CD＝2+3＝5，
∴AD＝＝＝．
26．（8分）如图，在直角坐标系内，把y＝x的图象向下平移1个单位得到直线AB，直线AB分别交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线，交y轴于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求BD的长；
（3）直接写出所有满足条件的点E；点E在坐标轴上且△ABE为等腰三角形．
【分析】（1）由题意可得y＝x﹣1，再求坐标即可；
（2）先求AB＝，再由∠BDC＝∠BAO，则sin∠BAO＝＝，即可求BD；
（3）分三种情况讨论：当BE＝AE时，E点在AB的垂直平分线上，E点与D点重合；当BA＝BE时，BE＝，则E（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）；当AB＝AE时，E（2，﹣1）．
【解答】解：（1）∵把y＝x的图象向下平移1个单位，
∴y＝x﹣1，
当x＝0时，y＝﹣1，
∴B（0，﹣1），
当y＝0时，x＝2，
∴A（2，0）；
（2）∵A（2，0），B（0，﹣1），
∴AB＝，
∵C为线段AB的中点，
∴C（1，﹣），
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠BAO，
∴sin∠BAO＝＝，
∴BD＝；
（3）当BE＝AE时，E点在AB的垂直平分线上，
∴E点与D点重合，
∴E（，0）；
当BA＝BE时，BE＝，
∴E（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）；
当AB＝AE时，E（2，﹣1）；
综上所述：E点坐标为（，0）或（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）或E（2，﹣1）．
应聘者
项目
甲
乙
丙
丁
学历
8
9
7
6
经验
6
4
8
8
工作态度
7
7
6
5
进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
6
草鱼
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
9
8.5
应聘者
项目
甲
乙
丙
丁
学历
8
9
7
6
经验
6
4
8
8
工作态度
7
7
6
5
进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
6
草鱼
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
9
8.5
A．2B．﹣2C．16D．±2
2．（4分）计算的结果是（ ）
A．B．2C．3D．4
3．（4分）如图，l1∥l2，l3∥l4，与∠α互补的是（ ）
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
4．（4分）在平面直角坐标系中，下列各点与点（2，3）关于x轴对称的是（ ）
A．（2，﹣3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）
5．（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是9.1环，四人的方差分别是S甲2＝0.63，S乙2＝2.56，S丙2＝0.49，S丁2＝0.46，则射箭成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．（4分）如图，某汽车离开某城市的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，根据图形可知，该汽车行驶的速度为（ ）
A．30km/hB．60km/hC．70km/hD．90km/h
7．（4分）若和都是方程ax+by＝1的解，则a+b的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（4分）如图，在单位为1的方格中，有标号为①、②、③、④的四个三角形，其中直角三角形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（4分）某公司欲招收职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了初步测试，测试成绩如表：
如果将学历、经验和工作态度三项得分依次按30%，30%，40%的比例确定各人的最终得分，那么最终得分最高的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．（4分）某网店销售一款市场上畅销的护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣2x+100B．y＝﹣2x+40C．y＝﹣2x+220D．y＝﹣2x+60
11．（4分）如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（ ）
A．B．C．D．
12．（4分）某数码商店一周年店庆，推出三种优惠券：满299元减50元，满499元减80元，满799元减120元；同时推出满600元享受9折的折扣、满700元享受8.5折的折扣、满800元享受8折的折扣活动．顾客可先选择其中一种优惠券，再选择其中一种折扣．例如：购买700元的商品，可选满700元8.5折，实际付款595元；也可选满499元减80元，再享受620元的9折，实际付款为558元．请通过计算，原价是810元的商品，采用优惠组合后的最低价是（ ）
A．直接选满800元享受8折的折扣
B．先选满299元减50元，再选满700元享受8.5折的折扣
C．先选满499元减80元，再选满700元享受8.5折的折扣
D．先选满799元减120元，再选满600元享受9折的折扣
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）化简：＝ ．
14．（4分）如果一个等腰三角形的底为8，腰长为5，则它的面积是 ．
15．（4分）如图，直角三角形AOB的直角边OA在数轴上，AB与数轴垂直，点O与数轴原点重合，点A表示的实数是2，BA＝2以点O为圆心，OB的长为半径画弧，与数轴交于点C，则点C对应的数是 ．
16．（4分）如图，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P，若点P（1，n），则方程组的解是 ．
17．（4分）如图，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端B距地面2.4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0.8m，则梯子的长度为 m．
18．（4分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ．
三、解答题（本大题7个小题每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）解方程组：
（1）；
（2）．
21．（10分）如图，是单位为1的方格．
（1）在方格中建立直角坐标系，满足A，B两点的坐标分别是（0，2），（0，﹣2），并描出点C（2，﹣2），D（3，0），E（2，2），连接AB，BC，CD，DE，EA．
（2）作出（1）中五边形ABCDE关于y轴的对称图形．
（3）求（2）中所作的五边形ABCDE的周长和面积．
22．（10分）某小区有500户居民，从中随机抽取了100户，调查了他们11月的用水量（单位：吨）．整理抽取的这100户的月用水量，其中小于等于15吨的户数有60户．按月用水量（单位：吨）0～5，5～10，10～15，15～20，25～30，30～35进行分组，绘制了频数分布直方图．
（1）直接写出直方图中x，y的值，以及这100户居民月用水量的中位数所在的组别；
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～5的中间值为2.5）来代替，估计该小区11月的用水总量．
说明：0～5是指大于等于0且小于等于5，5～10是指大于5且小于等于10，以此类推，30～35是指大于30且小于等于35．
23．（10分）已知A，B两地相距的路程为12km，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OCD和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的路程y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系，且OC与EF相交于点P．
（1）求y乙与x的函数关系式以及两人相遇地点P与A地的路程；
（2）求线段OC对应的y甲与x的函数关系式；
（3）求经过多少h，甲、乙两人相距的路程为6km．
24．（10分）为了切实保护长江生态环境，长江实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要140元．
（1）求a，b的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
①求出每天销售获利y（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②元旦节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元（m＞0），草鱼售价全部定为8.5元/斤，为保证元旦节这一天销售这两种鱼获得最小利润，且最小利润为630元，求m的值．
25．（10分）如图，已知△ABC．
（1）请用尺规完成以下作图：延长线段BC，并在线段BC的延长线上截取CD＝AC，连接AD；在BD下方，作∠DBE＝∠ADB；
（2）若AB＝AC，利用（1）完成的图形，猜想∠ABE与∠DBE存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AB＝AC＝3，BC＝4，利用（1）完成的图形，计算AD的长度．
26．（8分）如图，在直角坐标系内，把y＝x的图象向下平移1个单位得到直线AB，直线AB分别交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线，交y轴于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求BD的长；
（3）直接写出所有满足条件的点E；点E在坐标轴上且△ABE为等腰三角形．
2021-2022学年重庆市南岸区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案在答题卡对应方框内涂黑。
1．（4分）4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．16D．±2
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2，
故选：D．
2．（4分）计算的结果是（ ）
A．B．2C．3D．4
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝2，
故选：B．
3．（4分）如图，l1∥l2，l3∥l4，与∠α互补的是（ ）
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
【分析】直接利用平行线的性质得出相等的角以及互补的角进而得出答案．
【解答】解：∵l1∥l2，l3∥l4，
∴∠4+∠5＝180°，∠3＝∠α，
∵∠3＝∠5，
∴∠5＝∠α，
∴∠4+∠α＝180°，
∴图中与∠α互补的角有：∠4．
故选：D．
4．（4分）在平面直角坐标系中，下列各点与点（2，3）关于x轴对称的是（ ）
A．（2，﹣3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣3），
故选：A．
5．（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是9.1环，四人的方差分别是S甲2＝0.63，S乙2＝2.56，S丙2＝0.49，S丁2＝0.46，则射箭成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝0.63，S乙2＝2.56，S丙2＝0.49，S丁2＝0.46，
∴S丁2＜S丙2＜S甲2＜S乙2，
∴射箭成绩最稳定的是丁，
故选：D．
6．（4分）如图，某汽车离开某城市的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，根据图形可知，该汽车行驶的速度为（ ）
A．30km/hB．60km/hC．70km/hD．90km/h
【分析】根据图象得出第1小时到第2小时行驶的路程即可得出速度．
【解答】解：由图象知，汽车第一小时到第2小时行驶的路程为150﹣90＝60（km），
故选：B．
7．（4分）若和都是方程ax+by＝1的解，则a+b的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】把x与y的值代入方程ax+by＝1，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出a+b的值．
【解答】解：把和代入方程ax+by＝1得：
，
由②解得：a＝﹣1，
把a＝﹣1代入①得：﹣2+b＝1，
解得：b＝3，
则a+b＝﹣1+3＝2．
故选：C．
8．（4分）如图，在单位为1的方格中，有标号为①、②、③、④的四个三角形，其中直角三角形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理即可求解．
【解答】解：观察图形可知①是直角三角形；
②∵12+32＝1+9＝10，22+42＝4+16＝20，10+10＝20，
∴②是直角三角形；
③∵22+22＝4+4＝8，32+32＝9+9＝18，52+12＝25+1＝26，8+18＝26，
∴③是直角三角形；
④∵12+22＝1+4＝5，22+42＝4+16＝20，52＝25，5+20＝25，
∴④是直角三角形．
故选：D．
9．（4分）某公司欲招收职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了初步测试，测试成绩如表：
如果将学历、经验和工作态度三项得分依次按30%，30%，40%的比例确定各人的最终得分，那么最终得分最高的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据学历，经验，以及工作态度的得分乘以各自的权重，计算出甲、乙、丙、丁四人的得分，找出得分最高的即可．
【解答】解：根据题意得：
甲得分为：8×30%+6×30%+7×40%＝2.4+1.8+2.8＝7（分）；
乙得分为：9×30%+4×30%+7×40%＝2.7+1.2+2.8＝6.7（分）；
丙得分为：7×30%+8×30%+6×40%＝2.1+2.4+2.4＝6.9（分）；
丁得分为：6×30%+8×30%+5×40%＝1.8+2.4+2＝6.2（分），
∵7＞6.9＞6.7＞6.2，
∴甲得分最高．
故选：A．
10．（4分）某网店销售一款市场上畅销的护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣2x+100B．y＝﹣2x+40C．y＝﹣2x+220D．y＝﹣2x+60
【分析】依据每涨价1元，每星期少卖出2个列出星期销售量为y个与销售单价为x元的函数关系式．
【解答】解：由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220，
∴y＝﹣2x+220．
故选：C．
11．（4分）如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意设∠ABD＝β，∠ACD＝θ，由三角形内角和定理得α+4β+4θ＝180°，从而解决问题，
【解答】解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，
设∠ABD＝β，∠ACD＝θ，
∴∠DBC＝3β，∠DCB＝3θ，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+4β+4θ＝180°，
∴β+θ＝45°﹣，
∴∠BDC＝180°﹣3（β+θ）＝180°﹣3×（45°﹣）＝45，
故选：A．
12．（4分）某数码商店一周年店庆，推出三种优惠券：满299元减50元，满499元减80元，满799元减120元；同时推出满600元享受9折的折扣、满700元享受8.5折的折扣、满800元享受8折的折扣活动．顾客可先选择其中一种优惠券，再选择其中一种折扣．例如：购买700元的商品，可选满700元8.5折，实际付款595元；也可选满499元减80元，再享受620元的9折，实际付款为558元．请通过计算，原价是810元的商品，采用优惠组合后的最低价是（ ）
A．直接选满800元享受8折的折扣
B．先选满299元减50元，再选满700元享受8.5折的折扣
C．先选满499元减80元，再选满700元享受8.5折的折扣
D．先选满799元减120元，再选满600元享受9折的折扣
【分析】根据题意求出各项的折扣后的金额，即可判断．
【解答】解：A、直接选满800元享受8折的折扣后的金额为：810×0.8＝648（元），
B、先选满299元减50元，再选满700元享受8.5折的折扣后的金额为：（810﹣50）×0.85＝646（元），
C、先选满499元减80元，再选满700元享受8.5折的折扣后的金额为：（810﹣80）×0.85＝620.5（元），
D、先选满799元减120元，再选满600元享受9折的折扣后的金额为：（810﹣120）×0.9＝621（元），
则648＞646＞621＞620.5，
故采用先选满499元减80元，再选满700元享受8.5折的折扣组合后为最低价，
故选：C．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）化简：＝ 3 ．
【分析】33＝27，根据立方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵33＝27，
∴；
故答案为：3．
14．（4分）如果一个等腰三角形的底为8，腰长为5，则它的面积是 12 ．
【分析】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一可得BD＝4，再利用勾股定理得AD＝3，从而得出答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝3，
∴S△ABC＝×BC×AD＝×8×3＝12，
故答案为：12．
15．（4分）如图，直角三角形AOB的直角边OA在数轴上，AB与数轴垂直，点O与数轴原点重合，点A表示的实数是2，BA＝2以点O为圆心，OB的长为半径画弧，与数轴交于点C，则点C对应的数是 2 ．
【分析】根据勾股定理求出OB的长，即OC的长，从而求出点C对应的数．
【解答】解：由勾股定理知：OB＝，
∴OC＝，
∴点C对应的数是，
故答案为：．
16．（4分）如图，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4相交于点P，若点P（1，n），则方程组的解是 ．
【分析】根据直线l2：y＝﹣x+4，可得C点坐标，然后根据方程组的解是相应图象的交点坐标，可得答案．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+4经过点P（1，n），
∴n＝﹣1+4＝3，
∴直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4的交点P（1，3），
∴方程组的解是；
故答案为：；
17．（4分）如图，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端B距地面2.4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0.8m，则梯子的长度为 2.5 m．
【分析】设AD＝xm，则AE＝（x+0.8）m，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设AD＝xm，则AE＝（x+0.8）m，
根据勾股定理得，x2+2.42＝（x+0.8）2+22，
解得x＝0.7，
∴AD＝0.7m，
∴AB＝＝2.5（m），
答：梯子的长度为2.5m，
故答案为：2.5．
18．（4分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 25n+50 ．
【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，
设AC＝4x，BC＝3x，
根据勾股定理得，AB＝，
∵3x+4x+5x＝12，
∴x＝1，
∴AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴图①中正方形的面积和为：32+42+52＝25+25＝2×25＝50，
图②中所有正方形的面积和为，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中的所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50，
，
∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为25n+50，
故答案为：25n+50．
三、解答题（本大题7个小题每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）化简二次根式，然后先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法；
（2）化简二次根式，然后先算乘除，再算减法，有小括号先算小括号里面的．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣）×3
＝×3
＝9；
（2）原式＝（3+2﹣5）÷
＝0÷
＝0．
20．（10分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：3+y＝5，
解得：y＝2，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×2﹣②得：y＝5，
把y＝5代入①得：2x﹣5＝3，
解得：x＝4，
则方程组的解为．
21．（10分）如图，是单位为1的方格．
（1）在方格中建立直角坐标系，满足A，B两点的坐标分别是（0，2），（0，﹣2），并描出点C（2，﹣2），D（3，0），E（2，2），连接AB，BC，CD，DE，EA．
（2）作出（1）中五边形ABCDE关于y轴的对称图形．
（3）求（2）中所作的五边形ABCDE的周长和面积．
【分析】（1）根据A，B两点坐标确定平面直角坐标系，进而解答即可．
（2）根据关于y轴对称的性质画出图形即可；
（3）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）五边形ABCDE的周长＝2+++2+4＝8+2，
五边形ABCDE的面积＝．
22．（10分）某小区有500户居民，从中随机抽取了100户，调查了他们11月的用水量（单位：吨）．整理抽取的这100户的月用水量，其中小于等于15吨的户数有60户．按月用水量（单位：吨）0～5，5～10，10～15，15～20，25～30，30～35进行分组，绘制了频数分布直方图．
（1）直接写出直方图中x，y的值，以及这100户居民月用水量的中位数所在的组别；
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～5的中间值为2.5）来代替，估计该小区11月的用水总量．
说明：0～5是指大于等于0且小于等于5，5～10是指大于5且小于等于10，以此类推，30～35是指大于30且小于等于35．
【分析】（1）由小于等于15吨的户数有60户结合第1、3组户数可得x的值，根据各分组户数之和等于总户数可得y的值，再由中位数的定义可得答案；
（2）用小区总户数乘以样本中平均每户的用水量即可．
【解答】解：（1）x＝60﹣（30+3）＝27，
y＝100﹣（60+18+12+6）＝4，
由于一共100个数据，其中位数是第50、51个数据的平均数，而这两个数据均落在10～15这一组，
所以这100户居民月用水量的中位数在10～15这一组；
（2）500××（2.5×3+7.5×27+12.5×30+17.5×18+22.5×12+27.5×6+32.5×4）
＝5×1465
＝7325（吨），
答：估计该小区11月的用水总量为7325吨．
23．（10分）已知A，B两地相距的路程为12km，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OCD和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的路程y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系，且OC与EF相交于点P．
（1）求y乙与x的函数关系式以及两人相遇地点P与A地的路程；
（2）求线段OC对应的y甲与x的函数关系式；
（3）求经过多少h，甲、乙两人相距的路程为6km．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到y乙与x的函数关系式以及两人相遇地点与A地的距离；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出线段OC对应的y甲与x的函数关系式；
（3）根据（1）和（2）中的结果，可以得到经过多少小时，甲、乙两人相距6km．
【解答】解：（1）设y乙与x的函数关系式是y乙＝kx+b，
∵点E（0，12），F（2，0）在函数y乙＝kx+b的图象上，
∴，解得，
即y乙与x的函数关系式是y乙＝﹣6x+12，
当x＝0.5时，y乙＝﹣6×0.5+12＝9，
即两人相遇地点与A地的距离是9km；
（2）设线段OC对应的y甲与x的函数关系式是y甲＝ax，
∵点（0.5，9）在函数y甲＝ax的图象上，
∴9＝0.5a，
解得a＝18，
即线段OC对应的y甲与x的函数关系式是y甲＝18x；
（3）①令|18x﹣（﹣6x+12）|＝6，
解得，x1＝（甲h已到B地，故不合题意，舍去），x2＝，
②当甲到达B地时，乙离B地6千米所走时间为：6÷（12÷2）＝1（小时），
综上所述，经过小时或1小时时，甲、乙两人相距6km．
24．（10分）为了切实保护长江生态环境，长江实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要140元．
（1）求a，b的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
①求出每天销售获利y（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②元旦节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元（m＞0），草鱼售价全部定为8.5元/斤，为保证元旦节这一天销售这两种鱼获得最小利润，且最小利润为630元，求m的值．
【分析】（1）根据“购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要140元”，列方程组解答即可；
（2）①根据题意可得每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式，由每天销售获利y＝y1+y2即可得答案；
②由题意得出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得；
（2）①由题意得，销售鲢鱼获利y1＝（6﹣4）x＝2x（80≤x≤120），
（Ⅰ）当300﹣x≤200时，100≤x≤120，销售草鱼获利y2＝（9﹣6）×（300﹣x）＝﹣3x+900；
∴当100≤x≤120时，每天销售获利y＝y1+y2＝2x+（﹣3x+900）＝﹣x+900，
（Ⅱ）当300﹣x＞200时，80≤x＜100，销售草鱼获利y2＝（9﹣6）×200+（8.5﹣6）×（300﹣x﹣200）＝﹣2.5x+850；
∴当80≤x＜100时，每天销售获利y＝y1+y2＝2x+（﹣2.5x+850）＝﹣0.5x+850，
综上所述，y＝；
②设销售获利W元，由题意得：W＝（6﹣m﹣4）x+（8.5﹣6）×（300﹣x）＝（﹣0.5﹣m）x+750，其中80≤x≤120，
∵当﹣0.5﹣m≥0时，W＝（﹣0.5﹣m）x+750≥750，不合题意，
∴﹣0.5﹣m＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝120时，W的值最小，
由题意得：（﹣0.5﹣m）×120+750＝630，
解得m＝0.5，
∴m的值为0.5．
25．（10分）如图，已知△ABC．
（1）请用尺规完成以下作图：延长线段BC，并在线段BC的延长线上截取CD＝AC，连接AD；在BD下方，作∠DBE＝∠ADB；
（2）若AB＝AC，利用（1）完成的图形，猜想∠ABE与∠DBE存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AB＝AC＝3，BC＝4，利用（1）完成的图形，计算AD的长度．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，线段AD，CD即为所求；
（2）如图，射线BE即为所求．
结论：∠ABE＝3∠DBE．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC，
∵∠ADC＝∠DBE，
∴∠ABC＝2∠DBE，
∴∠ABE＝3∠DBE．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC＝3，BC＝4，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2，
∴AH＝＝＝．
∵AC＝CD＝3，
∴DH＝CH+CD＝2+3＝5，
∴AD＝＝＝．
26．（8分）如图，在直角坐标系内，把y＝x的图象向下平移1个单位得到直线AB，直线AB分别交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线，交y轴于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求BD的长；
（3）直接写出所有满足条件的点E；点E在坐标轴上且△ABE为等腰三角形．
【分析】（1）由题意可得y＝x﹣1，再求坐标即可；
（2）先求AB＝，再由∠BDC＝∠BAO，则sin∠BAO＝＝，即可求BD；
（3）分三种情况讨论：当BE＝AE时，E点在AB的垂直平分线上，E点与D点重合；当BA＝BE时，BE＝，则E（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）；当AB＝AE时，E（2，﹣1）．
【解答】解：（1）∵把y＝x的图象向下平移1个单位，
∴y＝x﹣1，
当x＝0时，y＝﹣1，
∴B（0，﹣1），
当y＝0时，x＝2，
∴A（2，0）；
（2）∵A（2，0），B（0，﹣1），
∴AB＝，
∵C为线段AB的中点，
∴C（1，﹣），
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠BAO，
∴sin∠BAO＝＝，
∴BD＝；
（3）当BE＝AE时，E点在AB的垂直平分线上，
∴E点与D点重合，
∴E（，0）；
当BA＝BE时，BE＝，
∴E（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）；
当AB＝AE时，E（2，﹣1）；
综上所述：E点坐标为（，0）或（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）或E（2，﹣1）．
应聘者
项目
甲
乙
丙
丁
学历
8
9
7
6
经验
6
4
8
8
工作态度
7
7
6
5
进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
6
草鱼
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
9
8.5
应聘者
项目
甲
乙
丙
丁
学历
8
9
7
6
经验
6
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工作态度
7
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6
5
进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
6
草鱼
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
9
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