北师大版数学·必修2 平行关系与垂直关系习题课 试卷

这是一份北师大版数学·必修2 平行关系与垂直关系习题课 试卷，共9页。
平行关系与垂直关系习题课A级　基础巩固一、选择题1．下列结论中正确的是(　B　)A．平行于同一平面的两条直线平行B．同时与两条异面直线平行的平面有无数多个C．如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行D．直线l与平面α不相交，则l∥α[解析]　平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面，所以A不正确；一条直线上有两点在一个平面外，则直线与平面相交或平行，所以C不正确；直线与平面不相交，意味着直线与平面平行或在平面内，D不正确．2．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于(　A　)A．5　 B．6　　C．8　 D．10[解析]　如图，取AD的中点P，连接PM、PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5．3．下列五个结论中正确结论的个数是(　B　)①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α 内的任何一条直线平行；③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⃘α，那么b∥α；⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α．A．0　　 B．1　　　C．2　　 D．3[解析]　如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′⃘平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′平面ABB′A′，故⑤错误，故选B．4．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面(　C　)A．至多有一个是直角三角形 B．至多有两个是直角三角形C．可能都是直角三角形 D．必然都是非直角三角形[解析]　注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在线面垂直关系较多的情况下，如图所示长方体中，三棱锥A－A1C1D1的三个侧面都是直角三角形．5．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　B　)A．①③ B．①④ C．①③ D．②④[解析]　对于选项①，取NP中点G，由三角形中位线性质易证：MG∥AB，故①正确；对于选项④，易证NP∥AB，故选B．6．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中错误的为(　C　)A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°[解析]　依题意得MN∥PQ，MN∥平面ABC，又MN、AC平面ACD，且MN与AC无公共点，因此有MN∥AC，AC∥平面MNPQ.同理，BD∥PN.又截面MNPQ是正方形，因此有AC⊥BD，直线PM与BD所成的角是45°.综上所述，其中错误的是C，选C．二、填空题7．已知直线b，平面α，有以下条件：①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b与α无公共点；④b不在α内，且与α内的一条直线平行．其中能推出b∥α的条件有__②③④__.(把你认为正确的序号都填上)[解析]　①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α．8．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为__45°__．[解析]　如图，设C在平面α内的射影为O点，连结AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝，∴CM＝，CO＝．∴sin∠CMO＝＝，∴∠CMO＝45°．三、解答题9．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．附：锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．[解析]　(1)由已知得△ABC≌△DBC，∴AC＝DC，又G为AD的中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD，∴AD⊥面BGC．又EF∥AD，∴EF⊥面BCG．(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于O．由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥面BDC．又G为AD中点，因此G到平面BDC距离h是AO的一半，在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝，∴VD－BCG＝VG－BCD＝S△DBC·h＝××BD·BC·sin120°·＝．10．(2017·全国卷Ⅲ文，19)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．[解析]　(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO．因为AD＝CD，所以AC⊥DO．又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO．从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD．(2)解：连接EO．由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO．在Rt△AOB中，BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°．由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC．又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD．故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1．B级　素养提升一、选择题1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是 (　B　)A．AC B．BDC．A1D1 D．A1A[解析]　∵BD⊥AC，BD⊥A1A，AC∩A1A＝A，∴BD⊥平面ACC1A1．又∵CE平面ACC1A1，∴BD⊥CE．2．a、b是两条异面直线，下列结论正确的是(　D　)A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b平行B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b相交C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行[解析]　A错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与a平行了．B错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能作一条直线与a，b相交．C错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有a∥b，这与a，b异面矛盾．D正确，在a上任取一点A，过A点作直线c∥b，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是唯一的．二、填空题3．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的__外心__.(填“重心”“外心”“内心”“垂心”)[解析]　P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．4．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个结论：①α∥β，l⃘β⇒l⊥m；　　　　②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；  ④l⊥m⇒α∥β．其中正确的两个结论是__①③__．[解析]　⇒l⊥m，故①对；⇒l∥β或lβ，又m是β内的一条直线，故l∥m不对；⇒α⊥β，∴③对；⇒mα或m∥α，无论哪种情况与mβ结合都不能得出α∥β．三、解答题5．在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．[解析]　(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC．因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC．因为直线BC平面ABC，所以AA1⊥BC．又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1．(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知，O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以，MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE．连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO．因为直线DE⃘平面A1MC，MO平面A1MC．所以直线DE∥平面A1MC．即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC．6．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD、PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD．[解析]　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD．(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE．所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD．又因为BE⃘平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD．(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知PA⊥底面ABCD．所以PA⊥CD．所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥PD．因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF，又因为CD⊥BE，BE∩EF＝E，所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PCD．C级　能力拔高(2017·全国Ⅱ卷文，18)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．(1)证明：直线BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P－ABCD的体积．[解析]　(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD．又BC⃘平面PAD，AD平面PAD，故BC∥平面PAD．(2)解：如图，取AD的中点M，连接PM，CM．由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD．因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD．因为CM底面ABCD，所以PM⊥CM．设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x．如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝x．因为△PCD的面积为2，所以×x×x＝2，解得x＝－2(舍去)或x＝2．于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2．所以四棱锥P－ABCD的体积V＝××2＝4．