全书综合测评-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

这是一份全书综合测评-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析），共28页。

全书综合测评
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知点P(3,m)在过点M(2,-1)和N(-3,4)的直线上,则m的值是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5　　　　B.2　　　　C.-2　　　　D.-6
2.已知直线a的方向向量为a,平面α的法向量为n,则下列结论成立的是 (　　)
A.若a∥n,则a∥α　　　　　　　B.若a·n=0,则a⊥α
C.若a∥n,则a⊥α　　　　　　　D.若a·n=0,则a∥α
3.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 (　　)
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+5=0或2x+y-5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+5=0或2x-y-5=0
4.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表:
产量x(万件)
14
16
18
20
22
单位成本y(元/件)
12
10
7
a
3
若根据表中提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为y^=-1.15x+28.1,则a的值等于 (　　)
A.4.5　　　　B.5　　　　C.5.5　　　　D.6
5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB、AD、AA1两两的夹角均为60°,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|等于(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.4　　　　D.8
6.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率的取值范围是 (　　)
A.[0.4,1)　　　　　　　B.(0,0.6]
C.(0,0.4]　　　　　　　D.[0.6,1)
7.如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,SA⊥平面ABCD,P为底面ABCD内的一动点,若PB·PS=1,则动点P的轨迹在 (　　)

A.圆上　　　　　　　B.双曲线上
C.抛物线上　　　　　　　D.椭圆上
8.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,渐近线分别为l1,l2,过点F1且与l1垂直的直线l交l1于点P,交l2于点Q,若PQ=2F1P,则双曲线的离心率为 (　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.3
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.对于1x2+x5n(n∈N+),下列判断正确的是 (　　)
A.对任意n∈N+,展开式中有常数项
B.存在n∈N+,展开式中有常数项
C.对任意n∈N+,展开式中不含x项
D.存在n∈N+,展开式中含x项
10.给出下列命题,其中正确的命题是 (　　)
A.设具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则|r|越接近0,x,y之间的线性相关程度越强
B.随机变量X~N(3,22),若X=2Y+3,则DY=1
C.随机变量X服从两点分布,若P(X=0)=13,则DX=49
D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,若X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大
11.如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是 (　　)

A.(AA1+AB+AD)2=2AC2
B.AC1·(AB-AD)=0
C.向量B1C与AA1的夹角是60°
D.BD1与AC所成角的余弦值为63
12.设椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一动点,则下列说法中正确的是 (　　)
A.当点P不在x轴上时,△PF1F2的周长是6
B.当点P不在x轴上时,△PF1F2面积的最大值为3
C.存在点P,使PF1⊥PF2
D.|PF1|的取值范围是[1,3]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.若直线4ax-3by+6=0(a,b∈R)始终平分圆x2+y2+6x-8y+1=0的周长,则a、b满足的条件是　　　　　　　　. 
14.某镇农民年收入服从μ=5000元,σ=200元的正态分布,则该镇农民年收入在5000~5200元间人数的百分比约为　　　　. 
15.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,点D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为　　　　. 

16.在17世纪,有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战,给他出了一道题目:甲、乙两个人赌博,他们两人获胜的概率相等,比赛规则是先胜三局者为赢家,一共进行五局,赢家可以获得100法郎的奖励.当比赛进行到第四局的时候,甲胜了两局,乙胜了一局,这时由于某些原因中止了比赛,那么如何分配这100法郎才比较公平?因为甲输掉后两局的可能性只有12×12=14,也就是说甲赢得后两局或后两局中任意一局的概率为1-14=34,所以甲有75%的期望获得100法郎;而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲,乙连续赢得后两局的概率为12×12=14,即乙有25%的期望获得100法郎.这个故事里出现了“期望”这个词,数学期望由此而来.若某随机事件的概率分布列满足P(ξ=i)=a·i10(i=1,2,3,4),则a=　　　　;若E(bξ+1)=325,则b=　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知动点P到点A(4,0)的距离是到点B(1,1)距离的2倍.
(1)求动点P的轨迹;
(2)求动点P的轨迹图形的面积.










18.(本小题满分12分)某兴趣小组有9名学生,若从这9名学生中选取3人,且选取的3人中恰好有一名女生的概率是1528.
(1)问该小组中男、女学生各有多少人?
(2)9名学生站成一列,现要求女生保持相对顺序不变(即女生前后顺序保持不变)重新站队,请问有多少种重新站队的方法?(要求用数字作答)
(3)9名学生站成一列,要求男生必须两两站在一起,问有多少种站队的方法?(要求用数字作答)









19.(本小题满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.












20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,PA=PB=PD,PE=2EC,O为BD的中点.
(1)证明:OP⊥平面ABCD;
(2)若AB=2,BC=2AD=43,PA=4,求二面角C-BD-E的平面角的余弦值.

















21.(本小题满分12分)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量值落在(495,510]的产品为合格品,否则为不合格品.下表是甲流水线样本的频数分布表,下图是乙流水线样本的频率分布直方图.
产品质量/克
频数
(490,495]
6
(495,500]
8
(500,505]
14
(505,510]
8
(510,515]
4

(1)根据上表数据作出甲流水线样本的频率分布直方图;
(2)若以频率作为概率,试估计从乙流水线任取1件产品,该产品恰好是合格品的概率;

(3)由以上统计数据完成下面2×2列联表,是否有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关?

甲流水线
乙流水线
总计
合格品



不合格品



总计














22.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点3,32,离心率为12.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过右焦点F作一条不与坐标轴平行的直线l,交椭圆C于A,B两点,求△AOB面积的取值范围.






答案全解全析
一、单项选择题
1.C　由两点式求直线MN的方程为x-2-3-2=y-(-1)4-(-1),整理得x+y-1=0,将点P(3,m)代入x+y-1=0,得m=-2.
2.C　由直线的方向向量与平面的法向量的定义知应选C,对于选项D,直线a也可能在平面α内.
3.A　设所求直线方程为2x+y+c=0(c≠1),依题意有|0+0+c|22+12=5,解得c=±5,所以所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0,故选A.
4.B　由题得x=14+16+18+20+225=905=18,
y=12+10+7+a+35=32+a5.
∵点(x,y)在回归直线y=-1.15x+28.1上,
∴32+a5=-1.15×18+28.1,解得a=5,
故选B.
5.A　设AB=a,AD=b,AA1=c,则AC1=a+b+c,所以|AC1|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|AC1|=5.
6.A　设事件A发生的概率为p,则事件A的概率可以构成二项分布,根据二项分布的概率公式可得C41p(1-p)3≤C42p2(1-p)2,
即4(1-p)≤6p,解得p≥0.4.又0 ∴0.4≤p<1.
7.A　由题意,知AS,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为底面ABCD是边长为2的正方形,
所以A(0,0,0),B(2,0,0),连接PA,
因为P为底面ABCD内的一动点,
所以可设P(x,y,0),
因此PA=(-x,-y,0),PB=(2-x,-y,0),
因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥PB,
因此PB·AS=0,
所以由PB·PS=1得PB·PS=PB·(PA+AS)=PB·PA=1,
即x(x-2)+y2=1,整理得(x-1)2+y2=2,
因此动点P的轨迹在圆上.故选A.

8.B　记O为坐标原点,由题意可得F1(-c,0),不妨设l1:y=-bax,l2:y=bax,则直线l:y=ab(x+c).
由y=ab(x+c),y=-bax,解得x=-a2c,y=abc,
则P-a2c,abc,
故|PF1|=-c+a2c2+-abc2=b,
|OP|=-a2c2+abc2=a.
因为PQ=2F1P,所以|PQ|=2|PF1|,
所以|PQ|=2b,
|OQ|=|OP|2+|PQ|2=a2+4b2,
则cos∠QOF1=|OF1|2+|OQ|2-|F1Q|22|OF1||OQ|=c2+a2+4b2-9b22ca2+4b2.
因为tan∠QOF2=ba,
所以cos∠QOF2=ac,
所以c2+a2+4b2-9b22ca2+4b2+ac=0,
整理得c4-4a2c2+3a4=0,则e4-4e2+3=0,
又e>1,所以e=3.故选B.
二、多项选择题
9.BD　1x2+x5n的展开式的通项为Tr+1=Cnr·1x2n-r·(x5)r=Cnr·x7r-2n(0≤r≤n,r∈N),
令7r-2n=0,得r=2n7,即当n是7的整数倍时,有常数项,故A错误,B正确;
令7r-2n=1,取r=1,n=3,此时展开式中含x项,故C错误,D正确.
故选BD.
10.BD　对于A,|r|越接近0,x,y之间的线性相关程度越弱,故A不正确;
对于B,随机变量X~N(3,22),则EX=3,DX=4,若X=2Y+3,则DX=22DY=4,所以DY=1,故B正确;
对于C,随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=13,∴P(X=1)=23,
EX=0×13+1×23=23,
DX=0-232×13+1-232×23=29,故C不正确;
对于D,因为在10次射击中,击中目标的次数为X,且X~B(10,0.8),所以当X=k(k∈N)时,对应的概率P(X=k)=C10k×0.8k×0.210-k,当k≥1时,P(X=k)P(X=k-1)=C10k×0.8k×0.210-kC10k-1×0.8k-1×0.210-k+1=4(11-k)k,令P(X=k)P(X=k-1)=4(11-k)k≥1,得44-4k≥k,即1≤k≤445,因为k∈N,所以1≤k≤8且k∈N,即当k=8时,概率P(X=k)最大,故D正确.
故选BD.
11.AB　由题意得各棱长都相等,设棱长为1,则AA1·AB=AA1·AD=AD·AB=1×1×cos60°=12,
(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA1·AB+2AB·AD+2AA1·AD
=1+1+1+3×2×12=6,
而2AC2=2(AB+AD)2=2(AB2+AD2+2AB·AD)=2×1+1+2×12=2×3=6,所以A正确.
AC1·(AB-AD)=(AA1+AB+AD)·(AB-AD)
=AA1·AB-AA1·AD+AB2-AB·AD+AD·AB-AD2=0,所以B正确.
因为△AA1D为等边三角形,所以∠AA1D=60°.
所以向量A1D与AA1的夹角是120°,而向量B1C=A1D,所以向量B1C与AA1的夹角是120°,所以C不正确.
因为BD1=AD+AA1-AB,AC=AB+AD,
所以|BD1|=(AD+AA1-AB)2=2,
|AC|=(AB+AD)2=3,
BD1·AC=(AD+AA1-AB)·(AB+AD)=1,
所以cos=BD1·AC|BD1|·|AC|=12×3=66,所以D不正确.
故选AB.
12.ABD　由椭圆方程可知,a=2,b=3,从而c=a2-b2=1.
当点P不在x轴上时,因为|PF1|+|PF2|=2a=4,|F1F2|=2c=2,
所以△PF1F2的周长是6,故A正确.
设点P(x0,y0)(y0≠0),因为|F1F2|=2,
所以S△PF1F2=12|F1F2||y0|=y0.
因为0<|y0|≤b=3,所以△PF1F2面积的最大值为3,故B正确.
由椭圆的几何性质可知,当P为椭圆C短轴的一个端点时,∠F1PF2最大,
此时,|PF1|=|PF2|=a=2,又|F1F2|=2,
所以△PF1F2为正三角形,
所以∠F1PF2=60°,
所以不存在点P,使PF1⊥PF2,故C错误.
易知当P为椭圆C的右顶点时,|PF1|取最大值,此时|PF1|=a+c=3;
当P为椭圆C的左顶点时,|PF1|取最小值,此时|PF1|=a-c=1,
所以|PF1|∈[1,3],故D正确.
故选ABD.
三、填空题
13.答案　2a+2b-1=0
解析　圆的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=24,由题意得圆心(-3,4)在直线4ax-3by+6=0上,所以2a+2b-1=0.
14.答案　34.13%
解析　设X表示该镇农民的年收入,则X~N(5000,2002).
由P(5000-200 得P(5000 故此镇农民年收入在5000~5200元间的人数的百分比约为34.13%.
15.答案　64
解析　解法一:分别取AC、A1C1的中点M、M1,连接MM1、BM.过D作DN∥BM交MM1于点N,易证DN⊥平面AA1C1C.连接AN,则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角.

因为在Rt△DAN中,DN=BM=32,AD=2,所以sin∠DAN=DNAD=322=64.
解法二:分别取AC、A1C1的中点O、E,连接OB,OE,∵△ABC为正三角形,O为AC的中点,
∴OB⊥AC,∵OE∥AA1,AA1⊥平面ABC,
∴OE⊥平面ABC,以O为原点,OA、OB、OE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
在正三角形ABC中,BM=32AB=32,
∴A12,0,0,B0,32,0,D0,32,1,
∴AD=-12,32,1,
易知平面AA1C1C的一个法向量为e=(0,1,0),
设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ,则
sinθ=|cos|=|AD·e||AD|·|e|=64.

解法三:取AC的中点M,连接BM.
设BA=a,BC=b,BD=c,
由条件知a·b=12,a·c=0,b·c=0,
AD=AB+BD=-a+c,
易知平面AA1C1C的一个法向量为BM=12(a+b).
设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ,则
sinθ=|cos|=|AD·BM||AD|·|BM|,
∵AD·BM=(-a+c)·12(a+b)
=-34,
|AD|=(-a+c)2=|-a|2+|c|2-2a·c=2,
|BM|=14(a+b)2
=14(|a|2+|b|2+2a·b)=32,
∴sinθ=64.
16.答案　1;95
解析　因为P(ξ=i)=a·i10(i=1,2,3,4),所以a10+2a10+3a10+4a10=1,
解得a=1.
E(bξ+1)=(b+1)×110+(2b+1)×210+(3b+1)×310+(4b+1)×410=325,
解得b=95.
四、解答题
17.解析　(1)设点P(x,y),
由题意可得|PA|=2|PB|,A(4,0),B(1,1),
即(x-4)2+y2=2(x-1)2+(y-1)2,
化简整理得(x+2)2+(y-2)2=20, (3分)
所以动点P的轨迹是以(-2,2)为圆心,25为半径的圆. (5分)
(2)由(1)知动点P的轨迹是圆,其半径是25,因此其面积S=π·(25)2=20π. (10分)
18.解析　(1)设男生有x人,则女生有(9-x)人,
由题意得Cx2C9-x1C93=1528, (2分)
所以x=6.
经检验符合题意,故男生有6人,女生有3人.(4分)
(2)由(1)知,男生有6人,女生有3人.
解法一:
第一步:让6名男生先从9个位置中选6个位置,共有A96=60480种方法; (5分)
第二步:余下的位置让3名女生去站,因为要保持相对顺序不变,故只有1种选择, (6分)
因此一共有60480×1-1=60479种重新站队的方法. (8分)
解法二:
9名学生站队共有A99种站队方法,
3名女生有A33种站队顺序, (5分)
因此一共有A99A33=60480种站队方法, (6分)
所以重新站队的方法有60480-1=60479种. (8分)
(3)由(1)知,男生有6人,女生有3人,第一步:将6名男生分成3组,每组2人,共有C62C42C22A33=15种分法; (9分)
第二步:三名女生站好队,然后将3组男生插入她们形成的空中,共有A33A43=144种站队方法; (10分)
第三步:3组男生中每组男生站队方法都有A22=2种, (11分)
故一共有15×144×23=17280种站队方法. (12分)
19.解析　记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,
B表示事件:甲需使用设备,
C表示事件:丁需使用设备,
D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备. (2分)
(1)P(D)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2BC)
=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)·P(B)P(C)=0.31. (4分)
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,
则P(X=0)=P(BA0C)=P(B)P(A0)·P(C)
=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,
P(X=1)=P(BA0C+BA0C+BA1C)
=P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)
=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25, (6分)
P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,
P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, (8分)
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)
=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38, (10分)
故EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)
=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2. (12分)
20.解析　(1)证明:取AD的中点F,连接PF,OF.
因为PA=PD,F为AD的中点,所以PF⊥AD.
因为O为BD的中点,F为AD的中点,所以OF∥AB.
因为AB⊥AD,所以OF⊥AD, (2分)
因为OF∩PF=F,OF⊂平面POF,PF⊂平面POF,所以AD⊥平面POF.
又OP⊂平面POF,所以AD⊥OP.
因为PB=PD,O为BD的中点,所以PO⊥BD. (4分)
因为AD∩BD=D,AD⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以OP⊥平面ABCD. (6分)
(2)以O为坐标原点,FO所在直线为x轴,平行AD的直线为y轴,OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

∵AB=2,AD=23,AB⊥AD,∴BD=4,
∴OB=OD=12BD=2, (8分)
又PB=PA=4,∴OP=23,
则B(1,-3,0),D(-1,3,0),C(1,33,0),P(0,0,23),
∵PE=2EC,∴E23,23,233,
故BD=(-2,23,0),
DE=53,3,233.
设平面BDE的法向量为m=(x,y,z),则m·BD=-2x+23y=0,m·DE=53x+3y+233z=0,
取x=3,则m=(3,1,-4), (10分)
取平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),记二面角C-BD-E的大小为θ,
由题图可知θ为锐角,则cosθ=|cos|=|m·n||m||n|=425×1=255. (12分)
21.解析　(1)根据所给的每一组的频数和样本容量作出每一组的频率,在平面直角坐标系中作出频率分布直方图,甲流水线样本的频率分布直方图如下:

(4分)
(2)由题图知,乙样本中合格品数为(0.06+0.09+0.03)×5×40=36,故合格品的频率为3640=0.9,据此可估计从乙流水线上任取1件产品,该产品为合格品的概率为0.9. (8分)
(3)补充完整的2×2列联表如下:

甲流
水线
乙流
水线
总计
合格品
30
36
66
不合格品
10
4
14
总计
40
40
80
计算得χ2≈3.117,
∵3.117>2.706,∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关. (12分)
22.解析　(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点3,32,离心率为12,
所以3a2+34b2=1,ca=12,a2=b2+c2,解得a=2,b=3, (3分)
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1. (4分)
(2)设直线l:x=my+1,m≠0, (5分)
联立得x=my+1,x24+y23=1,
消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0. (7分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,
得|AB|=1+m2y1-y2=1+m2·(y1+y2)2-4y1y2=12(m2+1)3m2+4,
又O到直线l的距离d0=1m2+1,
所以S△AOB=12×12(m2+1)3m2+4×1m2+1
=6m2+13m2+4=6m2+13(m2+1)+1
=63m2+1+1m2+1, (10分)
令t=m2+1∈(1,+∞),
则S△AOB=63t+1t,
设y=3t+1t(t>1),则y'=3-1t2>0在(1,+∞)上恒成立,
即y=3t+1t在(1,+∞)上单调递增,
所以3t+1t∈(4,+∞),
所以S△AOB=63m2+1+1m2+1∈0,32,
即△AOB面积的取值范围为0,32. (12分)