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全书综合测评-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）
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这是一份全书综合测评-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析），共17页。
全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={x|-3
C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1 }
2.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件,测量这些产品的一项质量指标,其频率分布表如下:
质量指标分组
[10,30)
[30,50)
[50,70)
频率
0.1
0.6
0.3
则可估计这批产品的质量指标的众数(以中点值代替),中位数分别为 ( )
A.30,4313 B.40,43 C.40,4313 D.30,43
3.已知函数f(x)=3-x+1(x≤0),xa+2(x>0),如果f(f(-1))=18,那么实数a的值是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.某学校高一年级有1 802人,高二年级有1 600人,高三年级有1 499人,现采用比例分配的分层抽样方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为 ( )
A.33,33,30 B.36,32,30
C.36,33,29 D.35,32,31
5.若函数y=f(x)的定义域是(0,4],则函数g(x)=f(x)+f(x2)的定义域是 ( )
A.(0,2] B.(0,4]
C.(0,16] D.[-16,0)∪(0,16]
6.已知a,b是实数,则“a>b>0且c
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.小王从甲地到乙地再返回甲地,其往返的时速分别为a和b(a
A.2 B.4
C.6 D.8
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列命题是真命题的是 ( )
A.若幂函数f(x)=xα的图象过点12,4,则α=-12
B.∃x∈(0,1),12x>log12x
C.∀x∈(0,+∞),log12x>log13x
D.命题“∃x∈R,sin x+cos x<1”的否定是“∀x∈R,sin x+cos x≥1”
10.已知函数f(x)=2sin2x+π4,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)在[0,π]上有三个零点
C.当x=π8时,函数f(x)取得最大值
D.为了得到函数f(x)的图象,只需把函数y=2sinx+π4图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
11.设0
A.函数f(x)=1x在定义域内是减函数
B.若g(x)是奇函数,则一定有g(0)=0
C.已知x>0,y>0,且1x+1y=1,若x+y>m2+3m恒成立,则实数m的取值范围是(-4,1)
D.已知函数f(x)=-x2-ax-5(x≤1),ax(x>1)在(-∞,+∞)上是增函数,则a的取值范围是[-3,-1]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.下列调查的样本不合理的是 .(填序号)
①某高中在校内发出一千张印有全校各班级的选票,要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”,以了解最受欢迎的教师是谁;
②为了解工人们对厂长的信任情况,通过选举从全厂10 000多名工人中确定100名代表,然后投票表决;
③为了解全市老年人的健康状况,到某老年公寓进行调查;
④为了解全班同学每天的睡眠时间,在每个小组中各随机选取3名学生进行调查.
14.已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)= .
15.若不等式5-4x+x22-x≥a对x<2恒成立,则a的最大值为 .
16.关于x的方程g(x)=t(t∈R)的实数根个数记为f(t).
(1)若g(x)=x+1,则f(t)= ;
(2)若g(x)=x,x≤0,-x2+2ax+a,x>0(a∈R),存在t使得f(t+2)>f(t)成立,则a的取值范围是 .(本小题第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(1)计算:2+1027-23+2log32-log349-5log259;
(2)已知角α的终边经过点M(1,-2),求sinπ2+α·cos5π2-αcos(π+α)的值.
18.(本小题满分12分) 已知全集为R,集合A=x∈R|x-6x+3>0,B={x∈R|2x2-(a+10)x+5a≤0}.
(1)若B⊆∁RA,求实数a的取值范围.
(2)从下面所给的三个条件中选择一个,说明它是B⊆∁RA的什么条件.
①a∈[-7,12);②a∈(-7,12];③a∈(6,12].
19.(本小题满分12分)已知不等式ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,解关于x的不等式x2-x-a2+a<0.
20.(本小题满分12分)2021年4月23日“世界读书日”来临时,某校为了解中学生课外阅读情况,随机抽取了100名学生,并获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到下表.
组号
分组
频数
频率
1
[0,5)
5
0.05
2
[5,10)
a
0.35
3
[10,15)
30
b
4
[15,20)
20
0.20
5
[20,25]
10
0.10
合计
100
1
(1)求a,b的值,并在下图中作出这些数据的频率分布直方图;(用阴影涂黑)
(2)根据频率分布直方图估计该组数据的众数及中位数(中位数精确到0.01);
(3)现从第4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校中华诗词比赛,经过比赛后,第4组得分的平均数x=7,方差s2=2,第5组得分的平均数y=7,方差t2=1,则这6人得分的平均数a和方差σ2分别为多少(方差精确到0.01)?
21.(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)=2x-a·2-x (a∈R).
(1)当a>0时,试判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给予证明;
(2)当a=1时,试求g(x)=[f(x)]2+4f(x)(1≤x≤2)的最小值.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin(2ωx+φ)+1ω>0,-π2<φ<π2,函数f(x)的图象经过点-π12,1且f(x)的最小正周期为π2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)图象上所有的点向下平移1个单位长度,再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,然后将图象上所有的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的233倍,得到函数y=h(x)的图象,令函数g(x)=h(x)+1,若y=g(x)在[a,b](a,b∈R且a
答案全解全析
一、单项选择题
1.C 因为集合M={x|-3
3.C ∵函数f(x)=3-x+1(x≤0),xa+2(x>0),
∴f(-1)=3+1=4, f(f(-1))=f(4)=4a+2=18,解得a=2.
4.B 先将每个年级的人数凑整,得高一年级有1 800人,高二年级有1 600人,高三年级有1 500人,三个年级的总人数为1 800+1 600+1 500=4 900,
则每个年级人数占总人数的比例分别为1849,1649,1549,
因此,各年级抽取的人数分别为98×1849=36,98×1649=32,98×1549=30,故选B.
5.A ∵函数f(x)的定义域为(0,4],
∴0
6.A c-1c>0,
又a>b>0,∴-ad>-bc>0⇒adb>0且c
∵a2abb+b=a,
又∵a+b>2ab,
∴2aba+b<2ab2ab=ab,
∴a
二、多项选择题
9.BD 选项A中,4=12α⇒2-α=22⇒α=-2,A错误;
选项B中,在同一平面直角坐标系中作出y=12x与y=log12x的图象,设两图象交点的横坐标为x0,则当x0log12x,B正确;
选项C中,取x=2,log122=-1,
log132=-log32>-1,C错误;
选项D显然正确.故选BD.
10.AC 由T=2π2=π知A正确;
令f(x)=2sin2x+π4=0,即2x+π4=kπ(k∈Z),解得x=kπ2-π8(k∈Z),
∴f(x)在[0,π]上只有两个零点,B错误;
fπ8=2sinπ4+π4=2,C正确;
将y=2sinx+π4图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=2sin12x+π4的图象,D错误.
故选AC.
11.ABC ∵0
∴a2+b2
g(x)是奇函数,但g(0)可以无意义,B不正确;
由1x+1y=1,x>0,y>0,得x+y=1x+1y(x+y)=2+yx+xy≥2+2yx·xy=4,当且仅当x=y时取等号,依题意得m2+3m<4⇒-4
三、填空题
13.答案 ①③
解析 ①在班级旁画“√”与了解最受欢迎的教师没关系,故样本不符合有效性;
②样本合理,属于合理的调查;
③老年公寓中的老年人不能代表全市老年人,故样本缺少代表性;
④在每个小组中各随机选取3名学生进行调查,属于合理的调查.
故调查的样本不合理的是①③.
14.答案 -11
解析 ∵当x>0时, f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,
∴当x>0时, f(x)=2x,
∴当x>0时,g(x)=2x+x2,
又g(x)是奇函数,
∴g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]=-(2+1+4+4)=-11.
15.答案 2
解析 因为x<2,所以5-4x+x22-x=12-x+2-x≥212-x·(2-x)=2,当且仅当12-x=2-x=1时取等号,所以2≥a,即a的最大值为2.
16.答案 (1)1 (2)(1,+∞)
解析 (1)若g(x)=x+1,则函数的值域为R,且函数为单调函数,故方程g(x)=t有且只有一个根,故f(t)=1.
(2)g(x)=x,x≤0,-x2+2ax+a,x>0(a∈R),
当a≤0时,如图(1),此时f(t+2)≤f(t),不满足题意;
当a>0时,若要满足f(t+2)>f(t),如图(2)所示,只需满足a>0,g(a)>2,所以a2+a>2,解得a>1或a<-2(舍去).
综上可知,a∈(1,+∞).
四、解答题
17.解析 (1)原式=6427-23+2log32-2log323-5log53=342+2-3=-716. (5分)
(2)∵角α的终边经过点M(1,-2),
∴sin α=-21+4=-255, (7分)
∴sinπ2+α·cos5π2-αcos(π+α)
=cosα·sinα-cosα=-sin α=255. (10分)
18.解析 (1)集合A=x∈R|x-6x+3>0
=(-∞,-3)∪(6,+∞), (3分)
所以∁RA=[-3,6]. (5分)
集合B={x∈R|2x2-(a+10)x+5a≤0}={x∈R|(2x-a)(x-5)≤0}.
因为B⊆∁RA,且5∈∁RA=[-3,6],
所以只需-3≤a2≤6, (8分)
所以-6≤a≤12. (9分)
(2)易知B⊆∁RA的充要条件是a∈[-6,12],
选择①,①是B⊆∁RA的既不充分也不必要条件;
选择②,②是B⊆∁RA的必要不充分条件;
选择③,③是B⊆∁RA的充分不必要条件. (12分)
19.解析 ∵ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,
∴当a=0时,1≥0,不等式恒成立; (2分)
当a≠0时,由题意得a>0,Δ=4a2-4a≤0,
解得0
由x2-x-a2+a<0,得(x-a)[x-(1-a)]<0. (8分)
∵0≤a≤1,∴①当1-a>a,即0≤a<12时,a
③当1-a
∴a=35. (1分)
∵0.05+0.35+b+0.20+0.10=1,
∴b=0.30. (2分)
频率分布直方图如下.
(4分)
(2)该组数据众数的估计值为7.50. (5分)
易知中位数应在[10,15)内,设中位数为x,则0.05+0.35+(x-10)×0.06=0.5,解得x≈11.67,故中位数的估计值为11.67.(7分)
(3)因为第4组和第5组的频数之比为2∶1,所以从第4组抽取4人,第5组抽取2人. (8分)
所以这6人得分的平均数
a=4×x+2×y6=4×7+2×76=7, (10分)
方差σ2=4[s2+(x-a)2]+2[t2+(y-a)2]6=4(2+0)+2(1+0)6≈1.67,
即这6人得分的平均数为7,方差为1.67. (12分)
21.解析 (1)f(x)在(1,+∞)上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1
∵10,∴2x1-2x2<0, 1+a2x1+x2>0, (5分)
∴(2x1-2x2)1+a2x1+x2<0, 即f(x1)-f(x2)<0,∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递增. (6分)
(2)设f(x)=t,则g(x)=t+4t,
由(1)知, 当a=1时, f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴当1≤x≤2时,t∈32,154. (9分)
∵y=t+4t在区间32,2上单调递减,在区间2,154上单调递增,
∴当t=2, 即2x-12x=2,即x=log2(2+1)时,g(x)取得最小值,g(x)min=4. (12分)
22.解析 (1)由题意得2π2ω=π2,解得ω=2, (1分)
将点-π12,1代入f(x)的解析式可得1=3sin4×-π12+φ+1,
则-π3+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ+π3,k∈Z,
又因为-π2<φ<π2,所以φ=π3. (3分)
所以f(x)=3sin4x+π3+1. (4分)
(2)将函数y=f(x)图象上所有的点向下平移1个单位长度,
再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,
可得y=3sin2x+π3的图象,
然后将图象上所有的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的233倍,
可得h(x)=2sin2x+π3的图象,
所以g(x)=2sin2x+π3+1.
令g(x)=0,得sin2x+π3=-12,
所以2x+π3=2kπ+7π6(k∈Z)或2x+π3=2kπ+11π6(k∈Z),
所以x=kπ+5π12(k∈Z)或x=kπ+3π4(k∈Z),
故函数g(x)的零点为x=kπ+5π12(k∈Z)或x=kπ+3π4(k∈Z),
所以相邻两个零点之间的距离为π3或2π3, (6分)
若b-a的值最小,则a和b都是零点,
此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,nπ+a](n∈N+)上,
分别恰有3,5,…,2n+1个零点,
所以在区间[a,14π+a]上恰有29个零点,
从而在区间(14π+a,b]上至少有1个零点,
所以b-a-14π≥π3,
所以b-a≥14π+π3=43π3,
因此b-a的最小值为43π3. (8分)
(3)m1+3fx8-π12-1+12+32cos x≤0对任意x∈[0,2π]恒成立,
即m1+3sin x2+12+32cos x≤0对任意x∈[0,2π]恒成立,
即-3sin2x2+3msin x2+m+2≤0对任意x∈[0,2π]恒成立,令sin x2=t∈[0,1],
则-3t2+3mt+m+2≤0对任意t∈[0,1]恒成立. (10分)
令φ(t)=-3t2+3mt+m+2,
Δ=9m2-4×(-3)×(m+2)=9m2+12m+24>0恒成立,
即φ(t)在R上有零点.
当m2≥1,即m≥2时,φ(t)在[0,1]上单调递增,
只需φ(1)≤0,即-3+3m+m+2≤0,解得m≤14,此时无解,
当m2≤0,即m≤0时,φ(t)在[0,1]上单调递减,
只需φ(0)≤0,即m+2≤0,解得m≤-2.
综上所述,实数m的取值范围为m≤-2. (12分)
全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={x|-3
C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1 }
2.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件,测量这些产品的一项质量指标,其频率分布表如下:
质量指标分组
[10,30)
[30,50)
[50,70)
频率
0.1
0.6
0.3
则可估计这批产品的质量指标的众数(以中点值代替),中位数分别为 ( )
A.30,4313 B.40,43 C.40,4313 D.30,43
3.已知函数f(x)=3-x+1(x≤0),xa+2(x>0),如果f(f(-1))=18,那么实数a的值是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.某学校高一年级有1 802人,高二年级有1 600人,高三年级有1 499人,现采用比例分配的分层抽样方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为 ( )
A.33,33,30 B.36,32,30
C.36,33,29 D.35,32,31
5.若函数y=f(x)的定义域是(0,4],则函数g(x)=f(x)+f(x2)的定义域是 ( )
A.(0,2] B.(0,4]
C.(0,16] D.[-16,0)∪(0,16]
6.已知a,b是实数,则“a>b>0且c
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.小王从甲地到乙地再返回甲地,其往返的时速分别为a和b(a
A.2 B.4
C.6 D.8
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列命题是真命题的是 ( )
A.若幂函数f(x)=xα的图象过点12,4,则α=-12
B.∃x∈(0,1),12x>log12x
C.∀x∈(0,+∞),log12x>log13x
D.命题“∃x∈R,sin x+cos x<1”的否定是“∀x∈R,sin x+cos x≥1”
10.已知函数f(x)=2sin2x+π4,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)在[0,π]上有三个零点
C.当x=π8时,函数f(x)取得最大值
D.为了得到函数f(x)的图象,只需把函数y=2sinx+π4图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
11.设0
A.函数f(x)=1x在定义域内是减函数
B.若g(x)是奇函数,则一定有g(0)=0
C.已知x>0,y>0,且1x+1y=1,若x+y>m2+3m恒成立,则实数m的取值范围是(-4,1)
D.已知函数f(x)=-x2-ax-5(x≤1),ax(x>1)在(-∞,+∞)上是增函数,则a的取值范围是[-3,-1]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.下列调查的样本不合理的是 .(填序号)
①某高中在校内发出一千张印有全校各班级的选票,要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”,以了解最受欢迎的教师是谁;
②为了解工人们对厂长的信任情况,通过选举从全厂10 000多名工人中确定100名代表,然后投票表决;
③为了解全市老年人的健康状况,到某老年公寓进行调查;
④为了解全班同学每天的睡眠时间,在每个小组中各随机选取3名学生进行调查.
14.已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)= .
15.若不等式5-4x+x22-x≥a对x<2恒成立,则a的最大值为 .
16.关于x的方程g(x)=t(t∈R)的实数根个数记为f(t).
(1)若g(x)=x+1,则f(t)= ;
(2)若g(x)=x,x≤0,-x2+2ax+a,x>0(a∈R),存在t使得f(t+2)>f(t)成立,则a的取值范围是 .(本小题第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(1)计算:2+1027-23+2log32-log349-5log259;
(2)已知角α的终边经过点M(1,-2),求sinπ2+α·cos5π2-αcos(π+α)的值.
18.(本小题满分12分) 已知全集为R,集合A=x∈R|x-6x+3>0,B={x∈R|2x2-(a+10)x+5a≤0}.
(1)若B⊆∁RA,求实数a的取值范围.
(2)从下面所给的三个条件中选择一个,说明它是B⊆∁RA的什么条件.
①a∈[-7,12);②a∈(-7,12];③a∈(6,12].
19.(本小题满分12分)已知不等式ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,解关于x的不等式x2-x-a2+a<0.
20.(本小题满分12分)2021年4月23日“世界读书日”来临时,某校为了解中学生课外阅读情况,随机抽取了100名学生,并获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到下表.
组号
分组
频数
频率
1
[0,5)
5
0.05
2
[5,10)
a
0.35
3
[10,15)
30
b
4
[15,20)
20
0.20
5
[20,25]
10
0.10
合计
100
1
(1)求a,b的值,并在下图中作出这些数据的频率分布直方图;(用阴影涂黑)
(2)根据频率分布直方图估计该组数据的众数及中位数(中位数精确到0.01);
(3)现从第4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校中华诗词比赛,经过比赛后,第4组得分的平均数x=7,方差s2=2,第5组得分的平均数y=7,方差t2=1,则这6人得分的平均数a和方差σ2分别为多少(方差精确到0.01)?
21.(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)=2x-a·2-x (a∈R).
(1)当a>0时,试判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给予证明;
(2)当a=1时,试求g(x)=[f(x)]2+4f(x)(1≤x≤2)的最小值.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin(2ωx+φ)+1ω>0,-π2<φ<π2,函数f(x)的图象经过点-π12,1且f(x)的最小正周期为π2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)图象上所有的点向下平移1个单位长度,再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,然后将图象上所有的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的233倍,得到函数y=h(x)的图象,令函数g(x)=h(x)+1,若y=g(x)在[a,b](a,b∈R且a
答案全解全析
一、单项选择题
1.C 因为集合M={x|-3
3.C ∵函数f(x)=3-x+1(x≤0),xa+2(x>0),
∴f(-1)=3+1=4, f(f(-1))=f(4)=4a+2=18,解得a=2.
4.B 先将每个年级的人数凑整,得高一年级有1 800人,高二年级有1 600人,高三年级有1 500人,三个年级的总人数为1 800+1 600+1 500=4 900,
则每个年级人数占总人数的比例分别为1849,1649,1549,
因此,各年级抽取的人数分别为98×1849=36,98×1649=32,98×1549=30,故选B.
5.A ∵函数f(x)的定义域为(0,4],
∴0
6.A c
又a>b>0,∴-ad>-bc>0⇒ad
∵a
又∵a+b>2ab,
∴2aba+b<2ab2ab=ab,
∴a
二、多项选择题
9.BD 选项A中,4=12α⇒2-α=22⇒α=-2,A错误;
选项B中,在同一平面直角坐标系中作出y=12x与y=log12x的图象,设两图象交点的横坐标为x0,则当x0
选项C中,取x=2,log122=-1,
log132=-log32>-1,C错误;
选项D显然正确.故选BD.
10.AC 由T=2π2=π知A正确;
令f(x)=2sin2x+π4=0,即2x+π4=kπ(k∈Z),解得x=kπ2-π8(k∈Z),
∴f(x)在[0,π]上只有两个零点,B错误;
fπ8=2sinπ4+π4=2,C正确;
将y=2sinx+π4图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=2sin12x+π4的图象,D错误.
故选AC.
11.ABC ∵0
∴a2+b2
g(x)是奇函数,但g(0)可以无意义,B不正确;
由1x+1y=1,x>0,y>0,得x+y=1x+1y(x+y)=2+yx+xy≥2+2yx·xy=4,当且仅当x=y时取等号,依题意得m2+3m<4⇒-4
三、填空题
13.答案 ①③
解析 ①在班级旁画“√”与了解最受欢迎的教师没关系,故样本不符合有效性;
②样本合理,属于合理的调查;
③老年公寓中的老年人不能代表全市老年人,故样本缺少代表性;
④在每个小组中各随机选取3名学生进行调查,属于合理的调查.
故调查的样本不合理的是①③.
14.答案 -11
解析 ∵当x>0时, f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,
∴当x>0时, f(x)=2x,
∴当x>0时,g(x)=2x+x2,
又g(x)是奇函数,
∴g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]=-(2+1+4+4)=-11.
15.答案 2
解析 因为x<2,所以5-4x+x22-x=12-x+2-x≥212-x·(2-x)=2,当且仅当12-x=2-x=1时取等号,所以2≥a,即a的最大值为2.
16.答案 (1)1 (2)(1,+∞)
解析 (1)若g(x)=x+1,则函数的值域为R,且函数为单调函数,故方程g(x)=t有且只有一个根,故f(t)=1.
(2)g(x)=x,x≤0,-x2+2ax+a,x>0(a∈R),
当a≤0时,如图(1),此时f(t+2)≤f(t),不满足题意;
当a>0时,若要满足f(t+2)>f(t),如图(2)所示,只需满足a>0,g(a)>2,所以a2+a>2,解得a>1或a<-2(舍去).
综上可知,a∈(1,+∞).
四、解答题
17.解析 (1)原式=6427-23+2log32-2log323-5log53=342+2-3=-716. (5分)
(2)∵角α的终边经过点M(1,-2),
∴sin α=-21+4=-255, (7分)
∴sinπ2+α·cos5π2-αcos(π+α)
=cosα·sinα-cosα=-sin α=255. (10分)
18.解析 (1)集合A=x∈R|x-6x+3>0
=(-∞,-3)∪(6,+∞), (3分)
所以∁RA=[-3,6]. (5分)
集合B={x∈R|2x2-(a+10)x+5a≤0}={x∈R|(2x-a)(x-5)≤0}.
因为B⊆∁RA,且5∈∁RA=[-3,6],
所以只需-3≤a2≤6, (8分)
所以-6≤a≤12. (9分)
(2)易知B⊆∁RA的充要条件是a∈[-6,12],
选择①,①是B⊆∁RA的既不充分也不必要条件;
选择②,②是B⊆∁RA的必要不充分条件;
选择③,③是B⊆∁RA的充分不必要条件. (12分)
19.解析 ∵ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,
∴当a=0时,1≥0,不等式恒成立; (2分)
当a≠0时,由题意得a>0,Δ=4a2-4a≤0,
解得0
由x2-x-a2+a<0,得(x-a)[x-(1-a)]<0. (8分)
∵0≤a≤1,∴①当1-a>a,即0≤a<12时,a
③当1-a
∴a=35. (1分)
∵0.05+0.35+b+0.20+0.10=1,
∴b=0.30. (2分)
频率分布直方图如下.
(4分)
(2)该组数据众数的估计值为7.50. (5分)
易知中位数应在[10,15)内,设中位数为x,则0.05+0.35+(x-10)×0.06=0.5,解得x≈11.67,故中位数的估计值为11.67.(7分)
(3)因为第4组和第5组的频数之比为2∶1,所以从第4组抽取4人,第5组抽取2人. (8分)
所以这6人得分的平均数
a=4×x+2×y6=4×7+2×76=7, (10分)
方差σ2=4[s2+(x-a)2]+2[t2+(y-a)2]6=4(2+0)+2(1+0)6≈1.67,
即这6人得分的平均数为7,方差为1.67. (12分)
21.解析 (1)f(x)在(1,+∞)上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1
∵1
∴(2x1-2x2)1+a2x1+x2<0, 即f(x1)-f(x2)<0,∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递增. (6分)
(2)设f(x)=t,则g(x)=t+4t,
由(1)知, 当a=1时, f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴当1≤x≤2时,t∈32,154. (9分)
∵y=t+4t在区间32,2上单调递减,在区间2,154上单调递增,
∴当t=2, 即2x-12x=2,即x=log2(2+1)时,g(x)取得最小值,g(x)min=4. (12分)
22.解析 (1)由题意得2π2ω=π2,解得ω=2, (1分)
将点-π12,1代入f(x)的解析式可得1=3sin4×-π12+φ+1,
则-π3+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ+π3,k∈Z,
又因为-π2<φ<π2,所以φ=π3. (3分)
所以f(x)=3sin4x+π3+1. (4分)
(2)将函数y=f(x)图象上所有的点向下平移1个单位长度,
再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,
可得y=3sin2x+π3的图象,
然后将图象上所有的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的233倍,
可得h(x)=2sin2x+π3的图象,
所以g(x)=2sin2x+π3+1.
令g(x)=0,得sin2x+π3=-12,
所以2x+π3=2kπ+7π6(k∈Z)或2x+π3=2kπ+11π6(k∈Z),
所以x=kπ+5π12(k∈Z)或x=kπ+3π4(k∈Z),
故函数g(x)的零点为x=kπ+5π12(k∈Z)或x=kπ+3π4(k∈Z),
所以相邻两个零点之间的距离为π3或2π3, (6分)
若b-a的值最小,则a和b都是零点,
此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,nπ+a](n∈N+)上,
分别恰有3,5,…,2n+1个零点,
所以在区间[a,14π+a]上恰有29个零点,
从而在区间(14π+a,b]上至少有1个零点,
所以b-a-14π≥π3,
所以b-a≥14π+π3=43π3,
因此b-a的最小值为43π3. (8分)
(3)m1+3fx8-π12-1+12+32cos x≤0对任意x∈[0,2π]恒成立,
即m1+3sin x2+12+32cos x≤0对任意x∈[0,2π]恒成立,
即-3sin2x2+3msin x2+m+2≤0对任意x∈[0,2π]恒成立,令sin x2=t∈[0,1],
则-3t2+3mt+m+2≤0对任意t∈[0,1]恒成立. (10分)
令φ(t)=-3t2+3mt+m+2,
Δ=9m2-4×(-3)×(m+2)=9m2+12m+24>0恒成立,
即φ(t)在R上有零点.
当m2≥1,即m≥2时,φ(t)在[0,1]上单调递增,
只需φ(1)≤0,即-3+3m+m+2≤0,解得m≤14,此时无解,
当m2≤0,即m≤0时,φ(t)在[0,1]上单调递减,
只需φ(0)≤0,即m+2≤0,解得m≤-2.
综上所述,实数m的取值范围为m≤-2. (12分)
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