高中数学4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时同步练习题

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4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时　空间中的角1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2,则异面直线A1B与B1C夹角的余弦值是(　　).(第1题)A. B. C. D.0解析:如答图,以AC的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则A1(0,-1,2),B(,0,0),B1(,0,2),C(0,1,0),(第1题答图)所以=(,1,-2),=(-,1,-2),所以cos<>=.答案:C2.把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C,若AB=1,AD=,AC=,则平面ABD与平面BCD的夹角为(　　).A.30° B.60° C.120° D.90°解析:过点A作AE⊥BD,过点C作CF⊥BD(图略),则AE=,BE=,所以EF=1.因为,所以||2=||2+||2+||2+2||||·cos<>,且||=||=,||=1,所以cos<>=-,所以平面ABD与平面BCD的夹角是60°,故选B.答案:B3.如图,已知P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC.F为PC的中点,则二面角C-BF-D的平面角的正切值为(　　).(第3题)A. B.C. D.解析:设AC,BD相交于点O,连接OF,如答图.(第3题答图)∵四边形ABCD为菱形,∴O为AC的中点,AC⊥BD.∵F为PC的中点,∴OF∥PA.又PA⊥平面ABCD,∴OF⊥平面ABCD.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz.设PA=AD=AC=1,则BD=,∴B,0,0,F0,0,,C0,,0,D-,0,0.∴=0,,0,且为平面BDF的一个法向量.由=-,0,=,0,-,可求得平面BCF的一个法向量为n=(1,).∴cos<n,>=,从而sin<n,>=,∴tan<n,>=.由图形知二面角C-BF-D的平面角为锐角,∴其正切值为.答案:D4.如图,已知P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在α,β平面内引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的平面角等于(　　).(第4题)A.60° B.70° C.80° D.90°解析:如答图,设PM=a,PN=b,过点M作ME⊥AB于点E,过点N作NF⊥AB于点F,则因∠BPM=∠BPN=45°,故PE=,PF=.(第4题答图)于是=()·()==abcos60°-a×cos45°-×bcos45°+=0.所以.因为EM,FN分别是α,β内的与棱AB垂直的两条直线,所以向量的夹角就是平面α与β的夹角,即为90°.答案:D5.在正四棱锥P-ABCD中,高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB的夹角为　　　　　. (第5题答图)解析:如答图,建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1),∴=(2,2,0),=(0,1,-1).∴cos<>=.∴<>=.∴PE与DB的夹角为.答案:6.在空间直角坐标系O-xyz中,平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),若平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=　　　　　. 解析:平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1).设平面α的法向量为u=(x,y,z),则有从而3x=4y=az,取z=1,得u=,1为平面α的一个法向量,所以|cos<n,u>|=.又因为a>0,所以a=.答案:7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1-B1的平面角大小为　　　　　. (第7题答图)解析:如答图,以C为原点,BC,CD,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为a,则A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),∴=(0,a,0),=(-a,a,a),=(0,0,a).设平面ABD1的法向量为n=(x,y,z),则n·=(x,y,z)·(0,a,0)=ay=0,n·=(x,y,z)·(-a,a,a)=-ax+ay+az=0.∵a≠0,∴y=0,x=z.取x=z=1,则n=(1,0,1)为平面ABD1的一个法向量.同理可得平面B1BD1的一个法向量为m=(1,1,0).∵cos<n,m>=,∴<n,m>=60°.而二面角A-BD1-B1为钝角,故为120°.答案:120°8.如图,在多面体A-PCBE中,四边形PCBE是直角梯形,且PC⊥BC,PE∥BC,平面PCBE⊥平面ABC,AC⊥BE,M是AE的中点,N是PA上的点.(第8题)(1)若MN∥平面ABC,求证:N是PA的中点;(2)若PE=BC,且AC=BC=PC,求二面角E-AB-C的平面角的余弦值.(1)证明:∵PE∥BC,PE⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PE∥平面ABC.∵A∈平面ABC,A∈平面PEA,令平面ABC∩平面PEA=l,∴A∈l.∵PE⊂平面PEA,∴PE∥l.已知MN∥平面ABC,同理可证,MN∥l.∴MN∥PE.∵M是AE的中点,∴N是PA的中点.(2)解:∵平面PCBE⊥平面ABC,平面PCBE∩平面ABC=BC,PC⊥BC,∴PC⊥平面ABC,从而PC⊥AC.∵在梯形PCBE中,PE∥BC,∴PC与BE相交.∵AC⊥BE,∴AC⊥平面PCBE.∵BC⊂平面PCBE,∴AC⊥BC.∴CA,CB,CP两两垂直.如答图,以C为原点,CA,CB,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系C-xyz.(第8题答图)设BC=3a,则E(0,a,3a),A(3a,0,0),B(0,3a,0),C(0,0,0),P(0,0,3a),∴=(3a,-a,-3a),=(0,2a,-3a).已知=(0,0,3a)是平面ABC的一个法向量.设u=(x,y,z)是平面EAB的法向量.由不妨取u=(3,3,2).∴cos<u,>=.由图形知,二面角E-AB-C的平面角为锐角,∴二面角E-AB-C的平面角的余弦值为.