山西省侯马市2021-2022学年九年级上学期期末测试数学试题（word版 含答案）

这是一份山西省侯马市2021-2022学年九年级上学期期末测试数学试题（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若式子1x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3
2．（3分）下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．旭日东升D．瓜熟蒂落
3．（3分）“相似三角形”与“全等三角形”有许多共同点，我们在学习“相似三角形”时，常常与“全等三角形”的相关知识对比进行学习，这种学习方式体现的数学思想是（ ）
A．类比思想B．分类思想
C．方程思想D．数形结合思想
4．（3分）祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降x元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为（ ）
A．（3+x）（50+10x）＝120B．（3﹣x）（50+10x）＝120
C．（3+x）（50﹣10x）＝120D．（3﹣x）（50﹣10x）＝120
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（ ）
A．13B．3C．24D．22
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣1，x2＝2，那么抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线（ ）
A．x＝1B．x=12C．x=32D．x=−12
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC、AD、CD，若∠ADC＝70°，则∠CAB的度数是（ ）
A．20°B．30°C．70°D．90°
8．（3分）将抛物线y＝x2先向左平移3个单位再向下平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x+3）2﹣2C．y＝（x﹣3）2+2D．y＝（x﹣3）2﹣2
9．（3分）如图，等边△ABC的边长为6，P为BC上一点，BP＝2，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ）
A．2B．43C．23D．1
10．（3分）如图：在矩形纸片ABCD中，点E在边AD上，沿着BE折叠使点A落在边CD上点F处，过点F作FP∥AD交BE于点P．若tan∠ABE=13，AD＝3cm，则PF的长为（ ）cm．
A．53B．2C．43D．32
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.把答案写在题中的横线上）
11．（3分）已知a＝3+22，b＝3−22，则a2b+ab2＝ ．
12．（3分）如图：是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在“Ⅲ”区域内的概率是 ．
13．（3分）如图，在⊙O中，点A在BC上，∠BOC＝100°．则∠BAC＝ °．
14．（3分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为 ．
15．（3分）已知△ABC中，tanB=23，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为D，且BD：CD＝2：1，则△ABC的面积为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）1224−13+3×(3−2)；
（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．
17．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）在网格内画出和△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，且△A1B1C1和△ABC的位似比为2：1；
（2）分别写出A1、B1、C1三个点的坐标：A1 、B1 、C1 ；
（3）求△A1B1C1的面积为 ．
18．（8分）在一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”“山”“西”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“山”的概率为 ．
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图（或列表法），求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率P1；
（3）乙从中任取一球，记下汉字后再放回口袋中，然后再从中任取一球，记下取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率为P2，不画树状图或列表，写出P2的值，并比较P1，P2的大小．
19．（8分）阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ．
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°＝tan（45°﹣30°）=tan45°−tan30°1+tan45°⋅tan30°=1−331+1×33=(3−3)(3−3)(3+3)(3−3)=12−636=2−3．
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：
（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离8米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据3≈1.732，2≈1.414）
20．（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝45°．
（1）求证：AD＝BD；
（2）若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．
22．（12分）综合与实践：在数学课上，老师让同学们以两个大小不等的等腰直角三角形为主题，探究线段间的关系．
问题情境：如图①，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点D在边AB上，连接BE，点F是BE的中点，连接CD，CF，DF．
探究发现：①请判断△DCF的形状，并说明理由；
②如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转45°时，请证明①中的结论仍然成立；
实践探究：（2）如图③，在（1）的条件下将△ADE绕点A逆时针旋转90°时，在不添加字母的情况下（可以连线），你还能发现哪条线段与线段CF的长度相等．（至少写出一条）
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并填在下面的表格里）
1．（3分）若式子1x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3
【分析】直接利用二次根式的定义得出x的取值范围．
【解答】解：式子1x−3在实数范围内有意义，
则x﹣3＞0，
解得：x＞3．
故选：C．
2．（3分）下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．旭日东升D．瓜熟蒂落
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A．守株待兔，这是随机事件，故A不符合题意；
B．水中捞月，这是不可能事件，故B符合题意；
C．旭日东升，这是必然事件，故C不符合题意；
D．瓜熟蒂落，这是必然事件，故D不符合题意；
故选：B．
3．（3分）“相似三角形”与“全等三角形”有许多共同点，我们在学习“相似三角形”时，常常与“全等三角形”的相关知识对比进行学习，这种学习方式体现的数学思想是（ ）
A．类比思想B．分类思想
C．方程思想D．数形结合思想
【分析】由于在学习“相似三角形”时，常常与“全等三角形”的相关知识对比进行学习，所以这种学习方式体现的数学思想是类比思想．
【解答】解：由题意可知，这种学习方式体现的数学思想是类比思想．
故选：A．
4．（3分）祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降x元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为（ ）
A．（3+x）（50+10x）＝120B．（3﹣x）（50+10x）＝120
C．（3+x）（50﹣10x）＝120D．（3﹣x）（50﹣10x）＝120
【分析】当售价下降x元时，每千克酥梨的销售利润为（3﹣x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克，利用超市每天销售酥梨获得的利润＝每千克的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：当售价下降x元时，每千克酥梨的销售利润为8﹣x﹣5＝（3﹣x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克，
依题意得：（3﹣x）（50+10x）＝120．
故选：B．
5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（ ）
A．13B．3C．24D．22
【分析】设BC＝x，则AB＝3x，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出tanB．
【解答】解：设BC＝x，则AB＝3x，
由勾股定理得，AC＝22x，
tanB=ACBC=22xx=22，
故选：D．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣1，x2＝2，那么抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线（ ）
A．x＝1B．x=12C．x=32D．x=−12
【分析】由一元二次方程的两个根为x1＝﹣1，x2＝2，可求b＝﹣1，再由二次函数的对称轴为x=−b2=12，即可求解．
【解答】解：∵一元二次方程的两个根为x1＝﹣1，x2＝2，
则由韦达定理可得，﹣b＝1，
∴b＝﹣1，
二次函数的对称轴为x=−b2=12，
故选：B．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC、AD、CD，若∠ADC＝70°，则∠CAB的度数是（ ）
A．20°B．30°C．70°D．90°
【分析】连接BC，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC＝70°，
∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，
故选：A．
8．（3分）将抛物线y＝x2先向左平移3个单位再向下平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x+3）2﹣2C．y＝（x﹣3）2+2D．y＝（x﹣3）2﹣2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向左平移3个单位再向下平移2个单位，得到新抛物线的表达式是y＝（x+3）2﹣2．
故选：B．
9．（3分）如图，等边△ABC的边长为6，P为BC上一点，BP＝2，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ）
A．2B．43C．23D．1
【分析】证明△ABP∽△PCD后，利用相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【解答】解：∵∠B＝∠APD＝∠C＝60°，
∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD，
即∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴ABCP=BPCD，
∵AB＝6，BP＝2，
∴64=2CD，
∴CD=43，
故选：B．
10．（3分）如图：在矩形纸片ABCD中，点E在边AD上，沿着BE折叠使点A落在边CD上点F处，过点F作FP∥AD交BE于点P．若tan∠ABE=13，AD＝3cm，则PF的长为（ ）cm．
A．53B．2C．43D．32
【分析】连接AP，由沿着BE折叠使点A落在边CD上点F处，FP∥AD，可得AE＝FE＝FP＝AP，由折叠可知∠ABE＝∠FBE，故tan∠ABE＝tan∠FBE=13，即EFBF=13，而△DEF∽△CFB．有EFBF=DFBC=13，可得DF＝1cm，由勾股定理得AE=53，从而知PF=53cm．
【解答】解：连接AP，如图：
∵沿着BE折叠使点A落在边CD上点F处，
∴F点与A点关于BE对称．
∴AE＝FE，AP＝FP，∠AEB＝∠FEB．
又∵FP∥AD，
∴∠AEB＝∠FPE．
∴∠FEB＝∠FPE．
∴EF＝FP．
∴AE＝FE＝FP＝AP，
由折叠可知，∠ABE＝∠FBE，
∴tan∠ABE＝tan∠FBE=13，
∴EFBF=13，
∵∠EFB＝∠C＝∠D＝90°．
∴∠DFE+∠DEF＝90°，∠DFE+∠BFC＝90°．
∴∠DEF＝∠BFC．
∴△DEF∽△CFB．
∴EFBF=DFBC=13．
∵BC＝AD＝3cm，
∴DF＝1cm，
∵DF2+DE2＝EF2，
∴12+（3﹣AE）2＝AE2，
解得AE=53，
∴PF=53cm，
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.把答案写在题中的横线上）
11．（3分）已知a＝3+22，b＝3−22，则a2b+ab2＝ 6 ．
【分析】先把要求的式子变形为ab（a+b），再代入计算即可．
【解答】解：∵a＝3+22，b＝3−22，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（3+22）（3﹣22）（3+22+3﹣22）＝6；
故答案为：6．
12．（3分）如图：是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在“Ⅲ”区域内的概率是 16 ．
【分析】直接利用“Ⅲ”所示区域所占圆周角除以360°，进而得出答案．
【解答】解：指针落在“Ⅲ”区域内的概率是60°360°=16．
故答案为：16．
13．（3分）如图，在⊙O中，点A在BC上，∠BOC＝100°．则∠BAC＝ 130 °．
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，在优弧BC上取一点D，且异于B，C，连接BD，CD，
则四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠BAC＝180°．
∵∠BOC＝100°，
∴∠D＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130．
14．（3分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为 2 ．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF=12CD，BF=12BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF=12CF=12BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF=BFPF=2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故答案为：2
15．（3分）已知△ABC中，tanB=23，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为D，且BD：CD＝2：1，则△ABC的面积为 8或24 ．
【分析】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：如图1所示：
∵BC＝6，BD：CD＝2：1，
∴BD＝4，
∵AD⊥BC，tanB=23，
∴ADBD=23，
∴AD=23BD=83，
∴S△ABC=12BC•AD=12×6×83=8；
如图2所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，
∴BD＝12，
∵AD⊥BC，tanB=23，
∴ADBD=23，
∴AD=23BD＝8，
∴S△ABC=12BC•AD=12×6×8＝24；
综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，
故答案为8或24．
三、解答题（本题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）1224−13+3×(3−2)；
（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．
【分析】（1）先化简二次根式、利用乘法分配律计算，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）1224−13+3×(3−2)
=12×26−33+3−6
=6−33+3−6
＝3−33；
（2）∵（x﹣2）2＝3（x﹣2），
∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（x﹣5）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝2，x2＝5．
17．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）在网格内画出和△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，且△A1B1C1和△ABC的位似比为2：1；
（2）分别写出A1、B1、C1三个点的坐标：A1 （4，8）或（﹣4，﹣8） 、B1 （2，2）或（﹣2，﹣2） 、C1 （8，2）或（﹣8，﹣2） ；
（3）求△A1B1C1的面积为 18 ．
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所画图形得出各点坐标；
（3）利用△A1B1C1所在矩形面积，减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：A1 （4，8）或（﹣4，﹣8）；B1 （2，2）或（﹣2，﹣2），C1（8，2）或（﹣8，﹣2）；
故答案为：（4，8）或（﹣4，﹣8）；（2，2）或（﹣2，﹣2），（8，2）或（﹣8，﹣2）；
（3）△A1B1C1的面积为：12×6×6＝18．
故答案是：18．
18．（8分）在一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”“山”“西”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“山”的概率为 14 ．
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图（或列表法），求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率P1；
（3）乙从中任取一球，记下汉字后再放回口袋中，然后再从中任取一球，记下取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率为P2，不画树状图或列表，写出P2的值，并比较P1，P2的大小．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（3）根据题意知，共有16种结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的有4种结果，根据概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“山”的概率为14，
故答案为：14；
（2）列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的有4种结果，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率P1=13；
（2）根据题意知，共有16种结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的有4种结果，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率P2=416=14．
∴P1＞P2．
19．（8分）阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ．
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°＝tan（45°﹣30°）=tan45°−tan30°1+tan45°⋅tan30°=1−331+1×33=(3−3)(3−3)(3+3)(3−3)=12−636=2−3．
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：
（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离8米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据3≈1.732，2≈1.414）
【分析】（1）根据题意即可求出结果；
（2）利用锐角三角函数即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知：
sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cs30°﹣cs45°sin30°
=22×32−22×12
=64−24
=6−24；
（2）在Rt△BDE中，
∵∠BED＝90°，∠BDE＝75°，DE＝AC＝8米，
∴∠DBE＝15°．
∴BE=DEtan∠DBE=DEtan15°
=82−3=（16+83）（米）．
∴AB=AE+BE=1.62+16+83≈31.5（米）．
答：乌蒙铁塔的高度约为31.5米．
20．（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
10（1+x）2＝12.1，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）＝13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21＝12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务
∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6＝11160≈2（人）．
答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝45°．
（1）求证：AD＝BD；
（2）若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，证明∠DAB＝∠ABD＝45°，可得结论；
（2）在Rt△ACB中，解直角三角形求出AB即可．
【解答】（1）证明；如图，连接OC．
∵∠DCB＝45°，
∴∠DAB＝∠DCB＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝45°，
∵∠DAB＝∠ABC＝45°，
∴AD＝BD．
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3．
22．（12分）综合与实践：在数学课上，老师让同学们以两个大小不等的等腰直角三角形为主题，探究线段间的关系．
问题情境：如图①，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点D在边AB上，连接BE，点F是BE的中点，连接CD，CF，DF．
探究发现：①请判断△DCF的形状，并说明理由；
②如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转45°时，请证明①中的结论仍然成立；
实践探究：（2）如图③，在（1）的条件下将△ADE绕点A逆时针旋转90°时，在不添加字母的情况下（可以连线），你还能发现哪条线段与线段CF的长度相等．（至少写出一条）
【分析】探究发现：①△DCF是等腰直角三角形；先证明EF＝BF＝DF，再证明∠DFC＝90°，即△DCF是等腰直角三角形；
②证明：如图，延长DF交BC于点G，证明△DEF≌△GBF（AAS），得DE＝GB，DF＝GF，再证DF⊥CF．得△DCF是等腰直角三角形；
实践探索：延长DF交AB于点M，连接CM，DM，先证明△BMF≌△EDF（AAS），再证明△BCM≌△ACD（SAS），得MC＝DC，∠BCM＝∠DCA，∠MCD＝∠BCA＝90°，即可求解．
【解答】解：探究发现：①△DCF是等腰直角三角形；
证明：∵△BCE是直角三角形，点F是BE的中点，
∴EF＝BF＝CF，
∵△BDE是直角三角形，点F是BE的中点，
∴EF＝BF＝DF，
∴CF＝DF，
∵EF＝CF，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵EF＝DF，
∴∠FDE＝∠FED，
∵∠FEC+∠FED＝180°﹣∠AED＝135°，
∴∠FDE+∠FCE＝135°，
根据四边形内角和可得：∠DFC＝90°，
即△DCF是等腰直角三角形；
②证明：如图，延长DF交BC于点G，
∵点D落在AC上，∠ACB＝∠ADE＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF，
∵点F是BE的中点，
∴EF＝BF，
在△DEF和△GBF中，
∠EDF＝∠BGF，∠DEF＝∠CBF，EF＝BF，
∴△DEF≌△GBF（AAS），
∴DE＝GB，DF＝GF，
又∵AD＝DE，AC＝BC，
∴DC＝GC，
又∵∠ACB＝90°，DF＝CF＝GF，
∴DF⊥CF．
∴△DCF是等腰直角三角形；
实践探索：①CF＝FD；②CF＝AF；
延长DF交AB于点M，连接CM，DM，
将△ADE绕点A逆时针旋转90°，得∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴BA∥DE，
∴∠BMF＝∠FDE，
∵∠BFM＝∠EFD，
∵BF＝EF，
∴△BMF≌△EDF（AAS），
∴BM＝DE，MF＝DF，
∵BC＝DC，∠CBM＝∠CAD＝45°，
∴△BCM≌△ACD（SAS），
∴MC＝DC，∠BCM＝∠DCA，
∴∠MCD＝∠BCA＝90°，
∴△MCD是等腰直角三角形，
又∵MF＝DF，
∴CF＝DF＝MF，
Rt△MAD中，F是MD的中点，
∴AF＝DF＝MF，
∴与CF相等的线段有AF，DF．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
【分析】（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解；
（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即可求解；
（3）PD＝HPsin∠PFD=22（x﹣4﹣x2+3x+4，即可求解．
【解答】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，
故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；
（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），
PD＝HPsin∠PHD=22（x﹣4﹣x2+3x+4）=−22x2+22x，
∵−22＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为22，
此时点P（2，﹣6）．美
丽
山
西
美
丽，美
山，美
西，美
丽
美，丽
山，丽
西，丽
山
美，山
丽，山
西，山
西
美，西
丽，西
山，西